Страница 212 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

836. На стороне ВС треугольника АВС отмечена точка D так, что ВD : АВ = DС : АС. Докажите, что отрезок АD — биссектриса треугольника АВС.

Пусть дан треугольник $ABC$. На его стороне $BC$ отмечена точка $D$ такая, что выполняется соотношение $BD : AB = DC : AC$. Это соотношение можно записать в виде пропорции: $$ \frac{BD}{AB} = \frac{DC}{AC} $$ Требуется доказать, что отрезок $AD$ является биссектрисой угла $BAC$, то есть что $\angle BAD = \angle CAD$.

Доказательство проведем с использованием теоремы синусов. Обозначим $\angle BAD = \alpha$ и $\angle CAD = \beta$. Наша цель — доказать, что $\alpha = \beta$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. По теореме синусов, отношения сторон к синусам противолежащих углов равны: $$ \frac{BD}{\sin(\angle BAD)} = \frac{AB}{\sin(\angle ADB)} $$ Подставив наши обозначения, получим: $$ \frac{BD}{\sin(\alpha)} = \frac{AB}{\sin(\angle ADB)} $$ Из этой пропорции выразим отношение $\frac{BD}{AB}$: $$ \frac{BD}{AB} = \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\angle ADB)} \quad (1) $$

Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. Аналогично применим теорему синусов: $$ \frac{DC}{\sin(\angle CAD)} = \frac{AC}{\sin(\angle ADC)} $$ Подставив наши обозначения, получим: $$ \frac{DC}{\sin(\beta)} = \frac{AC}{\sin(\angle ADC)} $$ Выразим отношение $\frac{DC}{AC}$: $$ \frac{DC}{AC} = \frac{\sin(\beta)}{\sin(\angle ADC)} \quad (2) $$

Углы $\angle ADB$ и $\angle ADC$ являются смежными, так как они вместе образуют развернутый угол при вершине $D$ на прямой $BC$. Следовательно, их сумма равна $180^\circ$: $$ \angle ADC = 180^\circ - \angle ADB $$ Для синусов смежных углов справедливо равенство: $$ \sin(\angle ADC) = \sin(180^\circ - \angle ADB) = \sin(\angle ADB) $$

По условию задачи дано, что $\frac{BD}{AB} = \frac{DC}{AC}$. Приравняем правые части выражений (1) и (2), которые мы получили из теоремы синусов: $$ \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\angle ADB)} = \frac{\sin(\beta)}{\sin(\angle ADC)} $$ Используя равенство синусов смежных углов $\sin(\angle ADB) = \sin(\angle ADC)$, мы можем заменить $\sin(\angle ADC)$ в знаменателе правой части: $$ \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\angle ADB)} = \frac{\sin(\beta)}{\sin(\angle ADB)} $$ Поскольку точка $D$ лежит на стороне $BC$, угол $\angle ADB$ не является ни $0^\circ$, ни $180^\circ$, поэтому его синус не равен нулю. Значит, мы можем умножить обе части равенства на $\sin(\angle ADB)$, чтобы сократить знаменатели. В результате получаем: $$ \sin(\alpha) = \sin(\beta) $$

Углы $\alpha$ и $\beta$ являются частями угла $BAC$ треугольника $ABC$. Следовательно, они оба положительны и их сумма $\alpha + \beta = \angle BAC$ меньше $180^\circ$. Из равенства $\sin(\alpha) = \sin(\beta)$ для углов в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$ следует два возможных варианта:
1. $\alpha = \beta$
2. $\alpha = 180^\circ - \beta$, что эквивалентно $\alpha + \beta = 180^\circ$.

Второй вариант невозможен, так как сумма $\alpha + \beta$ образует угол $\angle BAC$ треугольника, а угол треугольника всегда строго меньше $180^\circ$. Следовательно, верным может быть только первый вариант: $\alpha = \beta$.

Так как $\angle BAD = \angle CAD$, то по определению отрезок $AD$ является биссектрисой угла $BAC$ треугольника $ABC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

837. Биссектриса внешнего угла при вершине А треугольника АВС пересекает прямую ВС в точке D. Докажите, что ВD : АВ = DС : АС.

Доказательство:

Пусть дан треугольник $ABC$. Продлим сторону $BA$ за вершину $A$ и отметим на этом продолжении произвольную точку $K$. Тогда внешний угол при вершине $A$ — это угол $\angle KAC$. Пусть $AD$ — биссектриса этого угла, то есть $\angle KAD = \angle DAC$. По условию, прямая $AD$ пересекает прямую, содержащую сторону $BC$, в точке $D$. Для определённости, не умаляя общности, будем считать, что $AB \neq AC$. В этом случае точка $D$ не совпадает с $B$ или $C$ и лежит на продолжении отрезка $BC$. Предположим, что $D$ лежит на продолжении $BC$ за точку $C$ (этот случай соответствует $AB > AC$).

Проведём через вершину $C$ прямую, параллельную биссектрисе $AD$. Пусть она пересекает сторону $AB$ в точке $E$.

Так как по построению $CE \parallel AD$, то при пересечении этих параллельных прямых секущими можно установить равенство углов:
1. При пересечении секущей $AC$: накрест лежащие углы $\angle DAC$ и $\angle ACE$ равны. То есть, $\angle DAC = \angle ACE$.
2. При пересечении секущей $BK$ (прямая, содержащая сторону $AB$): соответственные углы $\angle KAD$ и $\angle AEC$ равны. То есть, $\angle KAD = \angle AEC$.

Поскольку $AD$ является биссектрисой угла $\angle KAC$, мы знаем, что $\angle KAD = \angle DAC$. Из этого и равенств углов, полученных выше, следует, что $\angle ACE = \angle AEC$.

В треугольнике $AEC$ два угла равны ($\angle ACE = \angle AEC$), следовательно, $\triangle AEC$ является равнобедренным с основанием $EC$. Это означает, что боковые стороны, лежащие против равных углов, равны: $AE = AC$.

Теперь рассмотрим треугольник $BDA$. Прямая $CE$ параллельна его стороне $AD$ ($CE \parallel AD$) и пересекает две другие стороны $BD$ и $BA$. По теореме о пропорциональных отрезках (обобщенной теореме Фалеса), которая следует из подобия треугольников $\triangle BCE$ и $\triangle BDA$, имеем следующее соотношение: $\frac{BC}{BD} = \frac{BE}{BA}$

Из расположения точек на прямой $AB$ имеем $BE = BA - AE$. Так как мы доказали, что $AE = AC$, мы можем заменить $AE$ на $AC$ и получить $BE = BA - AC$. Подставим это выражение в полученную ранее пропорцию: $\frac{BC}{BD} = \frac{BA - AC}{BA}$

Преобразуем это равенство, используя основное свойство пропорции (перекрестное умножение): $BC \cdot BA = BD \cdot (BA - AC)$ $BC \cdot BA = BD \cdot BA - BD \cdot AC$ Перенесем член с $AC$ в левую часть, а член с $BC$ в правую: $BD \cdot AC = BD \cdot BA - BC \cdot BA$ $BD \cdot AC = BA \cdot (BD - BC)$

Так как в нашем случае точка $C$ лежит между точками $B$ и $D$, то разность длин отрезков $BD$ и $BC$ равна длине отрезка $CD$, то есть $CD = BD - BC$. Подставив это в последнее равенство, получаем: $BD \cdot AC = AB \cdot DC$

Это равенство можно переписать в виде пропорции, разделив обе части на $AB \cdot AC$ (так как длины сторон треугольника не равны нулю): $\frac{BD}{AB} = \frac{DC}{AC}$ Что эквивалентно записи $BD : AB = DC : AC$. Утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что для биссектрисы внешнего угла треугольника выполняется соотношение $BD : AB = DC : AC$.

838. Биссектрисы АА₁, ВВ₁ и СС₁ треугольника АВС со сторонами АВ = с, ВС = а и СА = b пересекаются в точке О.

в) Может ли хотя бы одна из биссектрис треугольника делиться точкой О пополам? г) Докажите, что одна из биссектрис делится точкой О в отношении 2 : 1, считая от вершины, тогда и только тогда, когда одна из сторон треугольника равна полусумме двух других сторон.

а)

Рассмотрим треугольник $ABC$ со сторонами $AB=c$, $BC=a$, $CA=b$. Биссектрисы $AA_1, BB_1, CC_1$ пересекаются в точке $O$.

Чтобы найти отношение $\frac{AO}{OA_1}$, рассмотрим треугольник $AB B_1$. В этом треугольнике $AO$ является биссектрисой угла $A$. По свойству биссектрисы, она делит противолежащую сторону $BB_1$ в отношении, равном отношению прилежащих сторон:

$\frac{AO}{OB_1} = \frac{AB}{AB_1}$. Ой, это не то отношение.

Воспользуемся другим подходом. Рассмотрим треугольник $ACA_1$. В нем $CO$ является биссектрисой угла $C$. По свойству биссектрисы, она делит противолежащую сторону $AA_1$ в отношении:

$\frac{AO}{OA_1} = \frac{AC}{CA_1}$

Теперь найдем длину отрезка $CA_1$. $AA_1$ – биссектриса угла $A$ в треугольнике $ABC$. По свойству биссектрисы треугольника:

$\frac{BA_1}{CA_1} = \frac{AB}{AC} = \frac{c}{b}$

Мы знаем, что $BA_1 + CA_1 = BC = a$. Из пропорции имеем $BA_1 = \frac{c}{b} CA_1$. Подставим в сумму:

$\frac{c}{b} CA_1 + CA_1 = a$

$CA_1 \left(\frac{c}{b} + 1\right) = a$

$CA_1 \left(\frac{c+b}{b}\right) = a$

$CA_1 = \frac{ab}{b+c}$

Теперь подставим $CA_1$ в формулу для искомого отношения:

$\frac{AO}{OA_1} = \frac{AC}{CA_1} = \frac{b}{\frac{ab}{b+c}} = \frac{b(b+c)}{ab} = \frac{b+c}{a}$

Аналогично, применяя свойство биссектрисы к другим треугольникам, можно получить остальные отношения.Рассмотрим треугольник $BCB_1$, в нем $AO$ — биссектриса угла $A$. Нет, это неверно.

Рассмотрим треугольник $ABB_1$. $AO$ является биссектрисой угла $A$. Тогда $\frac{BO}{OB_1} = \frac{AB}{AB_1}$. Найдем $AB_1$. По свойству биссектрисы $BB_1$ в треугольнике $ABC$: $\frac{AB_1}{CB_1} = \frac{AB}{BC} = \frac{c}{a}$. $AB_1 + CB_1 = AC = b$. Отсюда $CB_1 = b - AB_1$.$\frac{AB_1}{b-AB_1} = \frac{c}{a} \Rightarrow a \cdot AB_1 = c(b-AB_1) \Rightarrow (a+c)AB_1 = bc \Rightarrow AB_1 = \frac{bc}{a+c}$.Тогда $\frac{BO}{OB_1} = \frac{c}{\frac{bc}{a+c}} = \frac{a+c}{b}$.

Рассмотрим треугольник $ACC_1$. $BO$ не является биссектрисой. Рассмотрим треугольник $BCC_1$. $BO$ - биссектриса угла $B$. Тогда $\frac{CO}{OC_1} = \frac{BC}{BC_1}$. Найдем $BC_1$. По свойству биссектрисы $CC_1$ в треугольнике $ABC$: $\frac{AC_1}{BC_1} = \frac{AC}{BC} = \frac{b}{a}$. $AC_1 + BC_1 = AB = c$. Отсюда $AC_1 = c - BC_1$.$\frac{c-BC_1}{BC_1} = \frac{b}{a} \Rightarrow a(c-BC_1) = b \cdot BC_1 \Rightarrow ac = (a+b)BC_1 \Rightarrow BC_1 = \frac{ac}{a+b}$.Тогда $\frac{CO}{OC_1} = \frac{a}{\frac{ac}{a+b}} = \frac{a+b}{c}$.

Ответ: $\frac{AO}{OA_1} = \frac{b+c}{a}$, $\frac{BO}{OB_1} = \frac{a+c}{b}$, $\frac{CO}{OC_1} = \frac{a+b}{c}$.

б)

1. Докажем, что $\frac{AO}{AA_1} + \frac{BO}{BB_1} + \frac{CO}{CC_1} = 2$.

Используем отношения, найденные в пункте а).Из $\frac{AO}{OA_1} = \frac{b+c}{a}$ следует, что $OA_1 = AO \cdot \frac{a}{b+c}$.Поскольку $AA_1 = AO + OA_1$, то $AA_1 = AO + AO \cdot \frac{a}{b+c} = AO \left(1 + \frac{a}{b+c}\right) = AO \left(\frac{b+c+a}{b+c}\right)$.Отсюда получаем отношение $\frac{AO}{AA_1} = \frac{b+c}{a+b+c}$.

Аналогично для двух других биссектрис:$\frac{BO}{BB_1} = \frac{a+c}{a+b+c}$

$\frac{CO}{CC_1} = \frac{a+b}{a+b+c}$

Сложим эти три отношения:

$\frac{AO}{AA_1} + \frac{BO}{BB_1} + \frac{CO}{CC_1} = \frac{b+c}{a+b+c} + \frac{a+c}{a+b+c} + \frac{a+b}{a+b+c} = \frac{(b+c) + (a+c) + (a+b)}{a+b+c} = \frac{2a+2b+2c}{a+b+c} = \frac{2(a+b+c)}{a+b+c} = 2$.

Что и требовалось доказать.

2. Докажем, что $\frac{OA_1}{AA_1} + \frac{OB_1}{BB_1} + \frac{OC_1}{CC_1} = 1$.(Предполагается, что в условии опечатка и имеется в виду $OA_1$, а не $AO_1$).

Это можно доказать двумя способами.

Способ 1. Выразим отношение $\frac{OA_1}{AA_1}$.Так как $AA_1 = AO + OA_1$, то $\frac{OA_1}{AA_1} = \frac{OA_1}{AO+OA_1}$. Разделим числитель и знаменатель на $OA_1$:

$\frac{OA_1}{AA_1} = \frac{1}{\frac{AO}{OA_1} + 1}$.

Используя результат из пункта а) $\frac{AO}{OA_1} = \frac{b+c}{a}$:

$\frac{OA_1}{AA_1} = \frac{1}{\frac{b+c}{a} + 1} = \frac{1}{\frac{b+c+a}{a}} = \frac{a}{a+b+c}$.

Аналогично: $\frac{OB_1}{BB_1} = \frac{b}{a+b+c}$ и $\frac{OC_1}{CC_1} = \frac{c}{a+b+c}$.

Сложим эти три отношения:

$\frac{OA_1}{AA_1} + \frac{OB_1}{BB_1} + \frac{OC_1}{CC_1} = \frac{a}{a+b+c} + \frac{b}{a+b+c} + \frac{c}{a+b+c} = \frac{a+b+c}{a+b+c} = 1$.

Что и требовалось доказать.

Способ 2. Используем уже доказанное тождество.

$\frac{AO}{AA_1} + \frac{BO}{BB_1} + \frac{CO}{CC_1} = 2$.

Заменим $AO = AA_1 - OA_1$, $BO = BB_1 - OB_1$, $CO = CC_1 - OC_1$:

$\frac{AA_1 - OA_1}{AA_1} + \frac{BB_1 - OB_1}{BB_1} + \frac{CC_1 - OC_1}{CC_1} = 2$.

$\left(1 - \frac{OA_1}{AA_1}\right) + \left(1 - \frac{OB_1}{BB_1}\right) + \left(1 - \frac{OC_1}{CC_1}\right) = 2$.

$3 - \left(\frac{OA_1}{AA_1} + \frac{OB_1}{BB_1} + \frac{OC_1}{CC_1}\right) = 2$.

$\frac{OA_1}{AA_1} + \frac{OB_1}{BB_1} + \frac{OC_1}{CC_1} = 3 - 2 = 1$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Тождества доказаны.

в)

Вопрос заключается в том, может ли точка $O$ делить биссектрису, например $AA_1$, пополам. Это означает, что $AO = OA_1$, или $\frac{AO}{OA_1} = 1$.

Из пункта а) мы знаем, что $\frac{AO}{OA_1} = \frac{b+c}{a}$.

Таким образом, условие $AO = OA_1$ эквивалентно уравнению $\frac{b+c}{a} = 1$, что означает $b+c = a$.

Однако, для любого невырожденного треугольника должно выполняться неравенство треугольника, согласно которому сумма длин двух любых сторон должна быть больше длины третьей стороны. В нашем случае, $b+c > a$.

Равенство $b+c = a$ возможно только для вырожденного треугольника, когда точки $A, B, C$ лежат на одной прямой, и точка $A$ лежит между $B$ и $C$. Но это уже не треугольник.

Поскольку для любого треугольника $b+c > a$, то $\frac{b+c}{a} > 1$. Следовательно, $\frac{AO}{OA_1} > 1$, то есть $AO > OA_1$.

Аналогичные рассуждения верны для двух других биссектрис:$\frac{BO}{OB_1} = \frac{a+c}{b} > 1$

$\frac{CO}{OC_1} = \frac{a+b}{c} > 1$

Таким образом, точка пересечения биссектрис никогда не может делить биссектрису пополам. Она всегда расположена дальше от вершины, чем от стороны.

Ответ: Нет, не может.

г)

Нам нужно доказать утверждение "тогда и только тогда", что требует доказательства в обе стороны.

Утверждение: "Одна из биссектрис делится точкой $O$ в отношении 2:1, считая от вершины" $\iff$ "Одна из сторон треугольника равна полусумме двух других сторон".

Доказательство ($\Rightarrow$):

Предположим, что одна из биссектрис, например $AA_1$, делится точкой $O$ в отношении 2:1, считая от вершины. Это означает, что $\frac{AO}{OA_1} = \frac{2}{1} = 2$.

Из пункта а) мы знаем, что $\frac{AO}{OA_1} = \frac{b+c}{a}$.

Приравнивая эти два выражения, получаем:

$\frac{b+c}{a} = 2$

$b+c = 2a$

$a = \frac{b+c}{2}$

Это означает, что сторона $a$ (противолежащая вершине $A$, из которой выходит биссектриса) равна полусумме двух других сторон $b$ и $c$.Если бы мы предположили, что $\frac{BO}{OB_1}=2$, то получили бы $b = \frac{a+c}{2}$. Если $\frac{CO}{OC_1}=2$, то $c = \frac{a+b}{2}$.Таким образом, первая часть доказана.

Доказательство ($\Leftarrow$):

Теперь предположим, что одна из сторон треугольника равна полусумме двух других. Пусть, например, $a = \frac{b+c}{2}$.

Мы хотим доказать, что одна из биссектрис делится точкой $O$ в отношении 2:1. Найдем отношение, в котором точка $O$ делит биссектрису $AA_1$. Это отношение равно $\frac{AO}{OA_1}$.

Из пункта а) мы знаем формулу: $\frac{AO}{OA_1} = \frac{b+c}{a}$.

Подставим в эту формулу наше предположение $a = \frac{b+c}{2}$. Из него следует, что $b+c = 2a$.

$\frac{AO}{OA_1} = \frac{2a}{a} = 2$.

Это означает, что биссектриса $AA_1$ делится точкой $O$ в отношении 2:1, считая от вершины $A$.Аналогично, если бы мы начали с $b=\frac{a+c}{2}$, то получили бы $\frac{BO}{OB_1}=2$. Если бы $c=\frac{a+b}{2}$, то $\frac{CO}{OC_1}=2$.Таким образом, вторая часть доказана.

Мы доказали утверждение в обе стороны.

Ответ: Утверждение доказано.

839. Докажите, что произведение двух сторон треугольника равно произведению высоты, проведённой к третьей стороне, на диаметр описанной окружности.

Пусть дан произвольный треугольник $ABC$. Обозначим длины его сторон, противолежащих вершинам $A$, $B$ и $C$, как $a$, $b$ и $c$ соответственно (то есть, $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$). Пусть $h_c$ — высота, проведённая из вершины $C$ к стороне $AB$. Пусть $R$ — радиус описанной около треугольника окружности, а $2R$ — её диаметр.

Нам необходимо доказать, что произведение двух сторон, например $AC$ и $BC$, равно произведению высоты, проведённой к третьей стороне $AB$, на диаметр описанной окружности. Иными словами, мы доказываем следующее равенство: $a \cdot b = h_c \cdot 2R$.

Для доказательства выполним дополнительное построение. Проведём из вершины $C$ диаметр описанной окружности $CD$. Точка $D$ будет лежать на той же окружности. Длина отрезка $CD$ равна $2R$. Соединим точку $D$ с вершиной $B$.

Рассмотрим два треугольника: $\triangle ACH$ (где $H$ — основание высоты $CH=h_c$ на стороне $AB$) и $\triangle DCB$.

1. Треугольник $\triangle ACH$ является прямоугольным, так как $CH$ — высота по построению, следовательно, $\angle AHC = 90^\circ$.

2. Треугольник $\triangle DCB$ также является прямоугольным. Угол $\angle CBD$ — это вписанный угол, который опирается на диаметр $CD$. По свойству вписанного угла, опирающегося на диаметр, его величина равна $90^\circ$. Таким образом, $\angle CBD = 90^\circ$.

3. Вписанные углы $\angle CAB$ (или $\angle A$) и $\angle CDB$ (или $\angle D$) опираются на одну и ту же дугу $BC$. Следовательно, по теореме о вписанных углах, эти углы равны: $\angle CAB = \angle CDB$.

Поскольку у треугольников $\triangle ACH$ и $\triangle DCB$ есть две пары соответственно равных углов ($\angle AHC = \angle CBD = 90^\circ$ и $\angle HAC = \angle BDC$), эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Из подобия треугольников $\triangle ACH \sim \triangle DCB$ следует пропорциональность их соответствующих сторон. Запишем отношение сторон, лежащих напротив равных углов:

$\frac{AC}{DC} = \frac{CH}{CB}$

Подставим в эту пропорцию обозначения длин отрезков: $AC=b$, $DC=2R$, $CH=h_c$ и $CB=a$.

$\frac{b}{2R} = \frac{h_c}{a}$

Применив основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:

$a \cdot b = h_c \cdot 2R$

Таким образом, мы доказали, что произведение двух сторон треугольника равно произведению высоты, проведённой к третьей стороне, на диаметр описанной окружности. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.