Номер 838, страница 212 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

838. Биссектрисы АА₁, ВВ₁ и СС₁ треугольника АВС со сторонами АВ = с, ВС = а и СА = b пересекаются в точке О.

в) Может ли хотя бы одна из биссектрис треугольника делиться точкой О пополам? г) Докажите, что одна из биссектрис делится точкой О в отношении 2 : 1, считая от вершины, тогда и только тогда, когда одна из сторон треугольника равна полусумме двух других сторон.

а)

Рассмотрим треугольник $ABC$ со сторонами $AB=c$, $BC=a$, $CA=b$. Биссектрисы $AA_1, BB_1, CC_1$ пересекаются в точке $O$.

Чтобы найти отношение $\frac{AO}{OA_1}$, рассмотрим треугольник $AB B_1$. В этом треугольнике $AO$ является биссектрисой угла $A$. По свойству биссектрисы, она делит противолежащую сторону $BB_1$ в отношении, равном отношению прилежащих сторон:

$\frac{AO}{OB_1} = \frac{AB}{AB_1}$. Ой, это не то отношение.

Воспользуемся другим подходом. Рассмотрим треугольник $ACA_1$. В нем $CO$ является биссектрисой угла $C$. По свойству биссектрисы, она делит противолежащую сторону $AA_1$ в отношении:

$\frac{AO}{OA_1} = \frac{AC}{CA_1}$

Теперь найдем длину отрезка $CA_1$. $AA_1$ – биссектриса угла $A$ в треугольнике $ABC$. По свойству биссектрисы треугольника:

$\frac{BA_1}{CA_1} = \frac{AB}{AC} = \frac{c}{b}$

Мы знаем, что $BA_1 + CA_1 = BC = a$. Из пропорции имеем $BA_1 = \frac{c}{b} CA_1$. Подставим в сумму:

$\frac{c}{b} CA_1 + CA_1 = a$

$CA_1 \left(\frac{c}{b} + 1\right) = a$

$CA_1 \left(\frac{c+b}{b}\right) = a$

$CA_1 = \frac{ab}{b+c}$

Теперь подставим $CA_1$ в формулу для искомого отношения:

$\frac{AO}{OA_1} = \frac{AC}{CA_1} = \frac{b}{\frac{ab}{b+c}} = \frac{b(b+c)}{ab} = \frac{b+c}{a}$

Аналогично, применяя свойство биссектрисы к другим треугольникам, можно получить остальные отношения.Рассмотрим треугольник $BCB_1$, в нем $AO$ — биссектриса угла $A$. Нет, это неверно.

Рассмотрим треугольник $ABB_1$. $AO$ является биссектрисой угла $A$. Тогда $\frac{BO}{OB_1} = \frac{AB}{AB_1}$. Найдем $AB_1$. По свойству биссектрисы $BB_1$ в треугольнике $ABC$: $\frac{AB_1}{CB_1} = \frac{AB}{BC} = \frac{c}{a}$. $AB_1 + CB_1 = AC = b$. Отсюда $CB_1 = b - AB_1$.$\frac{AB_1}{b-AB_1} = \frac{c}{a} \Rightarrow a \cdot AB_1 = c(b-AB_1) \Rightarrow (a+c)AB_1 = bc \Rightarrow AB_1 = \frac{bc}{a+c}$.Тогда $\frac{BO}{OB_1} = \frac{c}{\frac{bc}{a+c}} = \frac{a+c}{b}$.

Рассмотрим треугольник $ACC_1$. $BO$ не является биссектрисой. Рассмотрим треугольник $BCC_1$. $BO$ - биссектриса угла $B$. Тогда $\frac{CO}{OC_1} = \frac{BC}{BC_1}$. Найдем $BC_1$. По свойству биссектрисы $CC_1$ в треугольнике $ABC$: $\frac{AC_1}{BC_1} = \frac{AC}{BC} = \frac{b}{a}$. $AC_1 + BC_1 = AB = c$. Отсюда $AC_1 = c - BC_1$.$\frac{c-BC_1}{BC_1} = \frac{b}{a} \Rightarrow a(c-BC_1) = b \cdot BC_1 \Rightarrow ac = (a+b)BC_1 \Rightarrow BC_1 = \frac{ac}{a+b}$.Тогда $\frac{CO}{OC_1} = \frac{a}{\frac{ac}{a+b}} = \frac{a+b}{c}$.

Ответ: $\frac{AO}{OA_1} = \frac{b+c}{a}$, $\frac{BO}{OB_1} = \frac{a+c}{b}$, $\frac{CO}{OC_1} = \frac{a+b}{c}$.

б)

1. Докажем, что $\frac{AO}{AA_1} + \frac{BO}{BB_1} + \frac{CO}{CC_1} = 2$.

Используем отношения, найденные в пункте а).Из $\frac{AO}{OA_1} = \frac{b+c}{a}$ следует, что $OA_1 = AO \cdot \frac{a}{b+c}$.Поскольку $AA_1 = AO + OA_1$, то $AA_1 = AO + AO \cdot \frac{a}{b+c} = AO \left(1 + \frac{a}{b+c}\right) = AO \left(\frac{b+c+a}{b+c}\right)$.Отсюда получаем отношение $\frac{AO}{AA_1} = \frac{b+c}{a+b+c}$.

Аналогично для двух других биссектрис:$\frac{BO}{BB_1} = \frac{a+c}{a+b+c}$

$\frac{CO}{CC_1} = \frac{a+b}{a+b+c}$

Сложим эти три отношения:

$\frac{AO}{AA_1} + \frac{BO}{BB_1} + \frac{CO}{CC_1} = \frac{b+c}{a+b+c} + \frac{a+c}{a+b+c} + \frac{a+b}{a+b+c} = \frac{(b+c) + (a+c) + (a+b)}{a+b+c} = \frac{2a+2b+2c}{a+b+c} = \frac{2(a+b+c)}{a+b+c} = 2$.

Что и требовалось доказать.

2. Докажем, что $\frac{OA_1}{AA_1} + \frac{OB_1}{BB_1} + \frac{OC_1}{CC_1} = 1$.(Предполагается, что в условии опечатка и имеется в виду $OA_1$, а не $AO_1$).

Это можно доказать двумя способами.

Способ 1. Выразим отношение $\frac{OA_1}{AA_1}$.Так как $AA_1 = AO + OA_1$, то $\frac{OA_1}{AA_1} = \frac{OA_1}{AO+OA_1}$. Разделим числитель и знаменатель на $OA_1$:

$\frac{OA_1}{AA_1} = \frac{1}{\frac{AO}{OA_1} + 1}$.

Используя результат из пункта а) $\frac{AO}{OA_1} = \frac{b+c}{a}$:

$\frac{OA_1}{AA_1} = \frac{1}{\frac{b+c}{a} + 1} = \frac{1}{\frac{b+c+a}{a}} = \frac{a}{a+b+c}$.

Аналогично: $\frac{OB_1}{BB_1} = \frac{b}{a+b+c}$ и $\frac{OC_1}{CC_1} = \frac{c}{a+b+c}$.

Сложим эти три отношения:

$\frac{OA_1}{AA_1} + \frac{OB_1}{BB_1} + \frac{OC_1}{CC_1} = \frac{a}{a+b+c} + \frac{b}{a+b+c} + \frac{c}{a+b+c} = \frac{a+b+c}{a+b+c} = 1$.

Что и требовалось доказать.

Способ 2. Используем уже доказанное тождество.

$\frac{AO}{AA_1} + \frac{BO}{BB_1} + \frac{CO}{CC_1} = 2$.

Заменим $AO = AA_1 - OA_1$, $BO = BB_1 - OB_1$, $CO = CC_1 - OC_1$:

$\frac{AA_1 - OA_1}{AA_1} + \frac{BB_1 - OB_1}{BB_1} + \frac{CC_1 - OC_1}{CC_1} = 2$.

$\left(1 - \frac{OA_1}{AA_1}\right) + \left(1 - \frac{OB_1}{BB_1}\right) + \left(1 - \frac{OC_1}{CC_1}\right) = 2$.

$3 - \left(\frac{OA_1}{AA_1} + \frac{OB_1}{BB_1} + \frac{OC_1}{CC_1}\right) = 2$.

$\frac{OA_1}{AA_1} + \frac{OB_1}{BB_1} + \frac{OC_1}{CC_1} = 3 - 2 = 1$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Тождества доказаны.

в)

Вопрос заключается в том, может ли точка $O$ делить биссектрису, например $AA_1$, пополам. Это означает, что $AO = OA_1$, или $\frac{AO}{OA_1} = 1$.

Из пункта а) мы знаем, что $\frac{AO}{OA_1} = \frac{b+c}{a}$.

Таким образом, условие $AO = OA_1$ эквивалентно уравнению $\frac{b+c}{a} = 1$, что означает $b+c = a$.

Однако, для любого невырожденного треугольника должно выполняться неравенство треугольника, согласно которому сумма длин двух любых сторон должна быть больше длины третьей стороны. В нашем случае, $b+c > a$.

Равенство $b+c = a$ возможно только для вырожденного треугольника, когда точки $A, B, C$ лежат на одной прямой, и точка $A$ лежит между $B$ и $C$. Но это уже не треугольник.

Поскольку для любого треугольника $b+c > a$, то $\frac{b+c}{a} > 1$. Следовательно, $\frac{AO}{OA_1} > 1$, то есть $AO > OA_1$.

Аналогичные рассуждения верны для двух других биссектрис:$\frac{BO}{OB_1} = \frac{a+c}{b} > 1$

$\frac{CO}{OC_1} = \frac{a+b}{c} > 1$

Таким образом, точка пересечения биссектрис никогда не может делить биссектрису пополам. Она всегда расположена дальше от вершины, чем от стороны.

Ответ: Нет, не может.

г)

Нам нужно доказать утверждение "тогда и только тогда", что требует доказательства в обе стороны.

Утверждение: "Одна из биссектрис делится точкой $O$ в отношении 2:1, считая от вершины" $\iff$ "Одна из сторон треугольника равна полусумме двух других сторон".

Доказательство ($\Rightarrow$):

Предположим, что одна из биссектрис, например $AA_1$, делится точкой $O$ в отношении 2:1, считая от вершины. Это означает, что $\frac{AO}{OA_1} = \frac{2}{1} = 2$.

Из пункта а) мы знаем, что $\frac{AO}{OA_1} = \frac{b+c}{a}$.

Приравнивая эти два выражения, получаем:

$\frac{b+c}{a} = 2$

$b+c = 2a$

$a = \frac{b+c}{2}$

Это означает, что сторона $a$ (противолежащая вершине $A$, из которой выходит биссектриса) равна полусумме двух других сторон $b$ и $c$.Если бы мы предположили, что $\frac{BO}{OB_1}=2$, то получили бы $b = \frac{a+c}{2}$. Если $\frac{CO}{OC_1}=2$, то $c = \frac{a+b}{2}$.Таким образом, первая часть доказана.

Доказательство ($\Leftarrow$):

Теперь предположим, что одна из сторон треугольника равна полусумме двух других. Пусть, например, $a = \frac{b+c}{2}$.

Мы хотим доказать, что одна из биссектрис делится точкой $O$ в отношении 2:1. Найдем отношение, в котором точка $O$ делит биссектрису $AA_1$. Это отношение равно $\frac{AO}{OA_1}$.

Из пункта а) мы знаем формулу: $\frac{AO}{OA_1} = \frac{b+c}{a}$.

Подставим в эту формулу наше предположение $a = \frac{b+c}{2}$. Из него следует, что $b+c = 2a$.

$\frac{AO}{OA_1} = \frac{2a}{a} = 2$.

Это означает, что биссектриса $AA_1$ делится точкой $O$ в отношении 2:1, считая от вершины $A$.Аналогично, если бы мы начали с $b=\frac{a+c}{2}$, то получили бы $\frac{BO}{OB_1}=2$. Если бы $c=\frac{a+b}{2}$, то $\frac{CO}{OC_1}=2$.Таким образом, вторая часть доказана.

Мы доказали утверждение в обе стороны.

Ответ: Утверждение доказано.