Номер 841, страница 213 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

841. Докажите, что из медиан данного треугольника можно построить треугольник, и найдите отношение его площади к площади данного треугольника.

Задача состоит из двух частей: 1) доказать, что из медиан можно построить треугольник, и 2) найти отношение площади этого треугольника к площади исходного. Решим их последовательно, используя единый подход через геометрическое построение.

Доказательство возможности построения треугольника

Пусть дан треугольник $ABC$. Проведем в нем медианы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$, длины которых равны $m_a$, $m_b$ и $m_c$ соответственно. Пусть $O$ — точка пересечения медиан (центроид).

Выполним дополнительное построение. На продолжении медианы $CC_1$ за точку $C_1$ отложим отрезок $C_1K$, равный отрезку $OC_1$. Таким образом, точка $C_1$ является серединой отрезка $OK$.

Рассмотрим четырехугольник $AOBK$. Его диагонали $AB$ и $OK$ пересекаются в точке $C_1$. Поскольку $C_1$ — середина стороны $AB$ (так как $CC_1$ — медиана) и, по построению, $C_1$ — середина $OK$, то четырехугольник $AOBK$ является параллелограммом (по признаку параллелограмма, если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм).

Из свойств параллелограмма следует, что его противоположные стороны равны: $AK = OB$ и $BK = OA$.

Известно, что точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Значит:
$OA = \frac{2}{3}m_a$
$OB = \frac{2}{3}m_b$
$OC = \frac{2}{3}m_c$

Рассмотрим треугольник $OAK$. Его стороны равны $OA$, $AK$ и $OK$. Выразим их длины через длины медиан:
1. $OA = \frac{2}{3}m_a$
2. $AK = OB = \frac{2}{3}m_b$
3. $OK = OC_1 + C_1K = 2 \cdot OC_1$. Так как $O$ делит медиану $CC_1$ в отношении 2:1, то $OC_1 = \frac{1}{3}m_c$, следовательно, $OK = 2 \cdot \frac{1}{3}m_c = \frac{2}{3}m_c$.

Мы построили треугольник $OAK$, стороны которого равны $\frac{2}{3}m_a, \frac{2}{3}m_b, \frac{2}{3}m_c$. Так как этот треугольник существует, то для его сторон выполняется неравенство треугольника, например: $OA + AK > OK$, или $\frac{2}{3}m_a + \frac{2}{3}m_b > \frac{2}{3}m_c$. Умножив обе части на $\frac{3}{2}$, получим $m_a + m_b > m_c$. Аналогично для других сторон.

Поскольку для отрезков с длинами $m_a, m_b, m_c$ выполняется неравенство треугольника, из них можно построить треугольник.
Ответ: Доказано, что из медиан данного треугольника можно построить треугольник.

Нахождение отношения площадей

Пусть $S$ — площадь треугольника $ABC$, а $S_m$ — площадь треугольника, построенного из медиан $m_a, m_b, m_c$.

Из предыдущего пункта мы знаем, что существует треугольник $OAK$ со сторонами $\frac{2}{3}m_a, \frac{2}{3}m_b, \frac{2}{3}m_c$. Обозначим его площадь $S_{OAK}$.

Треугольник, построенный из медиан (с площадью $S_m$), подобен треугольнику $OAK$. Коэффициент подобия $k$ равен отношению их соответственных сторон:
$k = \frac{m_a}{(2/3)m_a} = \frac{3}{2}$

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:
$\frac{S_m}{S_{OAK}} = k^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$
Отсюда $S_m = \frac{9}{4}S_{OAK}$.

Теперь найдем площадь треугольника $OAK$ через площадь исходного треугольника $S$.
Медианы $AA_1, BB_1, CC_1$ делят треугольник $ABC$ на шесть равновеликих (равных по площади) треугольников: $AOC_1, C_1OB, BOA_1, A_1OC, COB_1, B_1OA$. Площадь каждого из них равна $\frac{S}{6}$.

В нашем построении точка $C_1$ является серединой отрезка $OK$. Следовательно, отрезок $AC_1$ является медианой треугольника $OAK$. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника: $S_{OAC_1} = S_{AKC_1}$.

Таким образом, площадь треугольника $OAK$ равна:
$S_{OAK} = S_{OAC_1} + S_{AKC_1} = 2 \cdot S_{OAC_1}$

Так как $S_{OAC_1} = \frac{S}{6}$, то:
$S_{OAK} = 2 \cdot \frac{S}{6} = \frac{S}{3}$

Наконец, подставим найденное значение $S_{OAK}$ в формулу для $S_m$:
$S_m = \frac{9}{4} S_{OAK} = \frac{9}{4} \cdot \frac{S}{3} = \frac{3}{4}S$

Таким образом, искомое отношение площади треугольника из медиан к площади данного треугольника равно $\frac{S_m}{S} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$.