Номер 832, страница 202 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

832. Докажите, что в выпуклый многоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда окружности, вписанные в два треугольника, на которые он разделяется диагональю, касаются этой диагонали в одной точке.

Данное утверждение является критерием («тогда и только тогда»), поэтому для его доказательства необходимо рассмотреть две части: необходимость и достаточность. Утверждение в задаче в его строгой формулировке применимо к выпуклому четырехугольнику, так как только четырехугольник разделяется любой своей диагональю на два треугольника. Для многоугольников с большим числом вершин диагональ будет разделять их на два многоугольника, из которых как минимум один не будет треугольником. Поэтому будем доказывать утверждение для выпуклого четырехугольника.

Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Проведем диагональ $AC$. Она разделяет четырехугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Обозначим длины сторон: $AB = a$, $BC = b$, $CD = c$, $DA = d$. Длину диагонали $AC$ обозначим как $k$.

Доказательство необходимости (?)

Дано: В выпуклый четырехугольник $ABCD$ можно вписать окружность.
Доказать: Окружности, вписанные в $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$, касаются диагонали $AC$ в одной точке.

Если в четырехугольник $ABCD$ можно вписать окружность, то он является описанным. Согласно теореме Пито для описанных четырехугольников, суммы длин его противолежащих сторон равны: $AB + CD = BC + DA$ $a + c = b + d$

Рассмотрим окружность, вписанную в треугольник $\triangle ABC$. Пусть она касается диагонали $AC$ в точке $M$. Расстояние от вершины $A$ до точки касания $M$ на стороне $AC$ вычисляется по формуле $AM = p_{\triangle ABC} - BC$, где $p_{\triangle ABC}$ — полупериметр треугольника $\triangle ABC$. $p_{\triangle ABC} = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{a + b + k}{2}$ Следовательно, $AM = \frac{a + b + k}{2} - b = \frac{a - b + k}{2}$.

Теперь рассмотрим окружность, вписанную в треугольник $\triangle ADC$. Пусть она касается диагонали $AC$ в точке $N$. Расстояние от вершины $A$ до точки касания $N$ на стороне $AC$ находится аналогично: $AN = p_{\triangle ADC} - CD$, где $p_{\triangle ADC}$ — полупериметр треугольника $\triangle ADC$. $p_{\triangle ADC} = \frac{AD + DC + AC}{2} = \frac{d + c + k}{2}$ Следовательно, $AN = \frac{d + c + k}{2} - c = \frac{d - c + k}{2}$.

Из условия, что в четырехугольник $ABCD$ можно вписать окружность, мы знаем, что $a + c = b + d$, откуда следует $a - b = d - c$. Сравним выражения для $AM$ и $AN$: $AM = \frac{(a - b) + k}{2}$ $AN = \frac{(d - c) + k}{2}$ Так как $a - b = d - c$, то $AM = AN$. Поскольку точки $M$ и $N$ лежат на одном отрезке $AC$ и находятся на одинаковом расстоянии от точки $A$, они совпадают ($M=N$). Таким образом, окружности, вписанные в $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$, касаются диагонали $AC$ в одной и той же точке. Необходимость доказана.

Доказательство достаточности (?)

Дано: Окружности, вписанные в $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$, касаются диагонали $AC$ в одной точке.
Доказать: В четырехугольник $ABCD$ можно вписать окружность.

Пусть окружности, вписанные в треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$, касаются общей диагонали $AC$ в одной и той же точке $K$.

Найдем расстояние от вершины $A$ до точки касания $K$ на стороне $AC$ для треугольника $\triangle ABC$: $AK = p_{\triangle ABC} - BC = \frac{AB + BC + AC}{2} - BC = \frac{a + b + k}{2} - b = \frac{a - b + k}{2}$.

Теперь найдем расстояние от вершины $A$ до той же точки касания $K$ на стороне $AC$ для треугольника $\triangle ADC$: $AK = p_{\triangle ADC} - CD = \frac{AD + DC + AC}{2} - CD = \frac{d + c + k}{2} - c = \frac{d - c + k}{2}$.

Поскольку по условию точка касания одна и та же, то вычисленные расстояния должны быть равны: $\frac{a - b + k}{2} = \frac{d - c + k}{2}$ $a - b + k = d - c + k$ $a - b = d - c$ $a + c = b + d$

Полученное равенство $AB + CD = BC + DA$ является признаком описанного четырехугольника (обратная теорема Пито). То есть, если в выпуклом четырехугольнике суммы длин противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность. Таким образом, достаточность доказана.

Так как доказаны и необходимость, и достаточность, исходное утверждение является верным.

Ответ: Утверждение доказано.