Номер 862, страница 219 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

862. На сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС (либо на одной из сторон и продолжениях двух других сторон) отмечены соответственно точки С₁, А₁ и В₁. Докажите, что прямые АА₁, ВВ₁ и СС₁ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда:

б) для любой точки О, не лежащей на прямых АВ, ВС и СА, выполняется равенство

Это утверждение известно как тригонометрическая форма теоремы Чевы. Мы докажем оба пункта, показав эквивалентность данных условий стандартной теореме Чевы.

Стандартная теорема Чевы утверждает, что прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется соотношение для длин отрезков:

$ \frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1 $

Это соотношение справедливо и в случае, когда точки $A_1, B_1, C_1$ лежат на продолжениях сторон (при использовании направленных отрезков, но для синусной формы это не требует отдельных оговорок, так как $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$).

a) Докажем, что прямые $AA_1, BB_1, CC_1$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда $ \frac{\sin \angle ACC_1}{\sin \angle C_1CB} \cdot \frac{\sin \angle BAA_1}{\sin \angle A_1AC} \cdot \frac{\sin \angle CBB_1}{\sin \angle B_1BA} = 1 $.

Для доказательства мы установим эквивалентность этого условия и стандартной теоремы Чевы. Рассмотрим соотношения отрезков на сторонах треугольника.

Рассмотрим отношение $ \frac{AC_1}{C_1B} $. Применим теорему синусов к треугольникам $ACC_1$ и $BCC_1$.

В $\triangle ACC_1$: $ \frac{AC_1}{\sin \angle ACC_1} = \frac{CC_1}{\sin \angle A} $. Отсюда $ AC_1 = \frac{CC_1 \cdot \sin \angle ACC_1}{\sin \angle A} $.

В $\triangle BCC_1$: $ \frac{C_1B}{\sin \angle C_1CB} = \frac{CC_1}{\sin \angle B} $. Отсюда $ C_1B = \frac{CC_1 \cdot \sin \angle C_1CB}{\sin \angle B} $.

Разделив одно выражение на другое, получим:

$ \frac{AC_1}{C_1B} = \frac{\sin \angle ACC_1}{\sin \angle C_1CB} \cdot \frac{\sin \angle B}{\sin \angle A} $

Аналогично, для двух других отношений отрезков:

Для $ \frac{BA_1}{A_1C} $, применяя теорему синусов к $\triangle ABA_1$ и $\triangle ACA_1$:

$ \frac{BA_1}{A_1C} = \frac{\sin \angle BAA_1}{\sin \angle A_1AC} \cdot \frac{\sin \angle C}{\sin \angle B} $

Для $ \frac{CB_1}{B_1A} $, применяя теорему синусов к $\triangle BCB_1$ и $\triangle BAB_1$:

$ \frac{CB_1}{B_1A} = \frac{\sin \angle CBB_1}{\sin \angle B_1BA} \cdot \frac{\sin \angle A}{\sin \angle C} $

Теперь перемножим эти три равенства:

$ \frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = \left(\frac{\sin \angle ACC_1}{\sin \angle C_1CB} \cdot \frac{\sin \angle B}{\sin \angle A}\right) \cdot \left(\frac{\sin \angle BAA_1}{\sin \angle A_1AC} \cdot \frac{\sin \angle C}{\sin \angle B}\right) \cdot \left(\frac{\sin \angle CBB_1}{\sin \angle B_1BA} \cdot \frac{\sin \angle A}{\sin \angle C}\right) $

Сгруппируем множители:

$ \frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = \left(\frac{\sin \angle ACC_1}{\sin \angle C_1CB} \cdot \frac{\sin \angle BAA_1}{\sin \angle A_1AC} \cdot \frac{\sin \angle CBB_1}{\sin \angle B_1BA}\right) \cdot \left(\frac{\sin \angle B \cdot \sin \angle C \cdot \sin \angle A}{\sin \angle A \cdot \sin \angle B \cdot \sin \angle C}\right) $

Вторая скобка равна 1, следовательно:

$ \frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = \frac{\sin \angle ACC_1}{\sin \angle C_1CB} \cdot \frac{\sin \angle BAA_1}{\sin \angle A_1AC} \cdot \frac{\sin \angle CBB_1}{\sin \angle B_1BA} $

Из этого равенства следует, что условие $ \frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1 $ (стандартная теорема Чевы) эквивалентно условию $ \frac{\sin \angle ACC_1}{\sin \angle C_1CB} \cdot \frac{\sin \angle BAA_1}{\sin \angle A_1AC} \cdot \frac{\sin \angle CBB_1}{\sin \angle B_1BA} = 1 $.

Поскольку стандартная теорема Чевы является необходимым и достаточным условием пересечения прямых $AA_1, BB_1, CC_1$ в одной точке, то и данное в пункте а) условие также является необходимым и достаточным.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Докажем, что прямые $AA_1, BB_1, CC_1$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда для любой точки $O$, не лежащей на прямых $AB, BC$ и $CA$, выполняется равенство $ \frac{\sin \angle AOC_1}{\sin \angle C_1OB} \cdot \frac{\sin \angle BOA_1}{\sin \angle A_1OC} \cdot \frac{\sin \angle COB_1}{\sin \angle B_1OA} = 1 $.

Как и в пункте а), докажем эквивалентность этого условия и стандартной теоремы Чевы. Возьмем произвольную точку $O$, не лежащую на сторонах треугольника (или их продолжениях).

Рассмотрим отношение отрезков $ \frac{AC_1}{C_1B} $. Применим теорему синусов к треугольникам $OAC_1$ и $OBC_1$.

В $\triangle OAC_1$: $ \frac{AC_1}{\sin \angle AOC_1} = \frac{OA}{\sin \angle OC_1A} $.

В $\triangle OBC_1$: $ \frac{C_1B}{\sin \angle C_1OB} = \frac{OB}{\sin \angle OC_1B} $.

Поскольку точки $A, C_1, B$ лежат на одной прямой, углы $\angle OC_1A$ и $\angle OC_1B$ являются смежными, следовательно, $\sin \angle OC_1A = \sin \angle OC_1B$. Разделив первое уравнение на второе, получим:

$ \frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{\sin \angle C_1OB}{\sin \angle AOC_1} = \frac{OA}{OB} \implies \frac{AC_1}{C_1B} = \frac{\sin \angle AOC_1}{\sin \angle C_1OB} \cdot \frac{OA}{OB} $

Аналогично, для двух других отношений отрезков:

Для $ \frac{BA_1}{A_1C} $, применяя теорему синусов к $\triangle OBA_1$ и $\triangle OCA_1$:

$ \frac{BA_1}{A_1C} = \frac{\sin \angle BOA_1}{\sin \angle A_1OC} \cdot \frac{OB}{OC} $

Для $ \frac{CB_1}{B_1A} $, применяя теорему синусов к $\triangle OCB_1$ и $\triangle OAB_1$:

$ \frac{CB_1}{B_1A} = \frac{\sin \angle COB_1}{\sin \angle B_1OA} \cdot \frac{OC}{OA} $

Теперь перемножим эти три равенства:

$ \frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = \left(\frac{\sin \angle AOC_1}{\sin \angle C_1OB} \cdot \frac{OA}{OB}\right) \cdot \left(\frac{\sin \angle BOA_1}{\sin \angle A_1OC} \cdot \frac{OB}{OC}\right) \cdot \left(\frac{\sin \angle COB_1}{\sin \angle B_1OA} \cdot \frac{OC}{OA}\right) $

Сгруппируем множители:

$ \frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = \left(\frac{\sin \angle AOC_1}{\sin \angle C_1OB} \cdot \frac{\sin \angle BOA_1}{\sin \angle A_1OC} \cdot \frac{\sin \angle COB_1}{\sin \angle B_1OA}\right) \cdot \left(\frac{OA}{OB} \cdot \frac{OB}{OC} \cdot \frac{OC}{OA}\right) $

Произведение во второй скобке равно 1. Таким образом, получаем:

$ \frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = \frac{\sin \angle AOC_1}{\sin \angle C_1OB} \cdot \frac{\sin \angle BOA_1}{\sin \angle A_1OC} \cdot \frac{\sin \angle COB_1}{\sin \angle B_1OA} $

Это равенство показывает, что условие стандартной теоремы Чевы $ \frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1 $ эквивалентно условию из пункта б). Следовательно, данное условие также является необходимым и достаточным для пересечения прямых $AA_1, BB_1, CC_1$ в одной точке.

Ответ: Утверждение доказано.