Номер 867, страница 228 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

867. Исследуйте взаимное расположение эллипса x²9+ y²4= 1 и гиперболы y =22x.

Для исследования взаимного расположения эллипса и гиперболы найдем их точки пересечения. Для этого необходимо решить систему уравнений, задающих эти кривые:

$\begin{cases} \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 \\ y = \frac{2\sqrt{2}}{x} \end{cases}$

Из второго уравнения системы выразим $y^2$:

$y^2 = \left(\frac{2\sqrt{2}}{x}\right)^2 = \frac{4 \cdot 2}{x^2} = \frac{8}{x^2}$

Теперь подставим полученное выражение для $y^2$ в уравнение эллипса:

$\frac{x^2}{9} + \frac{8/x^2}{4} = 1$

Упростим второе слагаемое:

$\frac{x^2}{9} + \frac{2}{x^2} = 1$

Это уравнение является биквадратным. Сделаем замену переменной для его решения. Пусть $t = x^2$. Поскольку по уравнению гиперболы $x \neq 0$, то $t > 0$.

$\frac{t}{9} + \frac{2}{t} = 1$

Умножим обе части уравнения на $9t$ (так как $t \neq 0$), чтобы избавиться от дробей:

$t \cdot t + 2 \cdot 9 = 1 \cdot 9t$

$t^2 + 18 = 9t$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 - 9t + 18 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 9, а их произведение равно 18. Корни легко находятся: $t_1 = 3$ и $t_2 = 6$.

Оба корня положительны, что соответствует условию $t > 0$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $x$:

1. Если $t_1 = 3$, то $x^2 = 3$, откуда $x = \pm\sqrt{3}$.

2. Если $t_2 = 6$, то $x^2 = 6$, откуда $x = \pm\sqrt{6}$.

Мы получили четыре различных значения для абсциссы $x$. Для каждого из них найдем соответствующую ординату $y$, используя уравнение гиперболы $y = \frac{2\sqrt{2}}{x}$.

При $x = \sqrt{3}$, $y = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$. Точка пересечения $M_1\left(\sqrt{3}, \frac{2\sqrt{6}}{3}\right)$.

При $x = -\sqrt{3}$, $y = \frac{2\sqrt{2}}{-\sqrt{3}} = -\frac{2\sqrt{6}}{3}$. Точка пересечения $M_2\left(-\sqrt{3}, -\frac{2\sqrt{6}}{3}\right)$.

При $x = \sqrt{6}$, $y = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$. Точка пересечения $M_3\left(\sqrt{6}, \frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$.

При $x = -\sqrt{6}$, $y = \frac{2\sqrt{2}}{-\sqrt{6}} = -\frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$. Точка пересечения $M_4\left(-\sqrt{6}, -\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$.

Так как система уравнений имеет четыре различных действительных решения, то эллипс и гипербола пересекаются в четырех точках.

Ответ: Эллипс и гипербола пересекаются в четырех точках с координатами: $\left(\sqrt{3}, \frac{2\sqrt{6}}{3}\right)$, $\left(-\sqrt{3}, -\frac{2\sqrt{6}}{3}\right)$, $\left(\sqrt{6}, \frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$ и $\left(-\sqrt{6}, -\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$.