Номер 868, страница 228 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

868. Найдите эксцентриситет и напишите уравнения директрис гиперболы y =$\frac{k}{x}$ (k > 0).

Уравнение гиперболы $y = \frac{k}{x}$ (при условии $k > 0$) можно записать в виде $xy = k$. Это уравнение представляет собой равнобочную (или прямоугольную) гиперболу, асимптотами которой являются оси координат. Чтобы найти эксцентриситет и уравнения директрис, необходимо привести это уравнение к каноническому виду $\frac{(x')^2}{a^2} - \frac{(y')^2}{b^2} = 1$. Это можно сделать, повернув систему координат на угол $\alpha = 45^\circ$, чтобы оси гиперболы совпали с осями новой системы координат.

Формулы поворота координат на угол $\alpha = 45^\circ$ связывают старые координаты $(x, y)$ с новыми $(x', y')$ следующим образом:

$x = x' \cos 45^\circ - y' \sin 45^\circ = \frac{x' - y'}{\sqrt{2}}$

$y = x' \sin 45^\circ + y' \cos 45^\circ = \frac{x' + y'}{\sqrt{2}}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение гиперболы $xy = k$:

$\left(\frac{x' - y'}{\sqrt{2}}\right) \left(\frac{x' + y'}{\sqrt{2}}\right) = k$

$\frac{(x')^2 - (y')^2}{2} = k$

Перепишем уравнение в канонической форме:

$\frac{(x')^2}{2k} - \frac{(y')^2}{2k} = 1$

Из канонического уравнения видно, что квадраты полуосей гиперболы равны: $a^2 = 2k$ и $b^2 = 2k$. Отсюда, действительная и мнимая полуоси равны: $a = b = \sqrt{2k}$.

Эксцентриситет

Эксцентриситет гиперболы $e$ определяется по формуле $e = \frac{c}{a}$, где $c$ — расстояние от центра до фокуса, и $c^2 = a^2 + b^2$.

Найдем $c$:

$c^2 = a^2 + b^2 = 2k + 2k = 4k \implies c = \sqrt{4k} = 2\sqrt{k}$.

Теперь можем вычислить эксцентриситет:

$e = \frac{c}{a} = \frac{2\sqrt{k}}{\sqrt{2k}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

Ответ: Эксцентриситет гиперболы равен $\sqrt{2}$.

Уравнения директрис

В новой, повернутой системе координат $(x', y')$, уравнения директрис для гиперболы имеют вид $x' = \pm \frac{a}{e}$.

Подставим значения $a$ и $e$:

$x' = \pm \frac{\sqrt{2k}}{\sqrt{2}} = \pm \sqrt{k}$.

Чтобы найти уравнения директрис в исходной системе координат $(x, y)$, необходимо выразить $x'$ через $x$ и $y$. Формула обратного преобразования для $x'$ (поворот осей на $45^\circ$):

$x' = x \cos 45^\circ + y \sin 45^\circ = \frac{x+y}{\sqrt{2}}$.

Подставим это выражение в уравнения директрис $x' = \pm \sqrt{k}$:

$\frac{x+y}{\sqrt{2}} = \pm \sqrt{k}$.

Умножив обе части на $\sqrt{2}$, получаем уравнения директрис в исходной системе координат:

$x+y = \pm \sqrt{2k}$.

Ответ: Уравнения директрис: $x+y - \sqrt{2k} = 0$ и $x+y + \sqrt{2k} = 0$.