Номер 5, страница 229 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

5. Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (рис. 232).

Для того чтобы найти площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге, можно воспользоваться несколькими методами. Размер каждой клетки составляет 1 см ? 1 см.

Способ 1: Использование формулы площади трапеции

Площадь трапеции вычисляется по классической формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — это длины оснований, а $h$ — высота.

Определим параметры трапеции по клеткам на рисунке:
1. Верхнее основание ($a$) имеет длину 3 клетки, что соответствует $a = 3$ см.
2. Нижнее основание ($b$) имеет длину 5 клеток, что соответствует $b = 5$ см.
3. Высота ($h$), как перпендикулярное расстояние между основаниями, составляет 3 клетки, то есть $h = 3$ см.

Теперь подставим полученные значения в формулу площади:

$S = \frac{3 + 5}{2} \cdot 3 = \frac{8}{2} \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$ см?.

Ответ: 12 см?.

Способ 2: Метод разложения на простые фигуры

Данную трапецию можно разделить на две простые фигуры: прямоугольник и прямоугольный треугольник.

1. Прямоугольник. Он имеет ширину 3 клетки и высоту 3 клетки. Его площадь ($S_{прям}$) равна:
$S_{прям} = 3 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 9$ см?.

2. Прямоугольный треугольник. Он расположен слева. Его высота равна высоте трапеции, то есть 3 см. Основание треугольника равно разности длин оснований трапеции: $5 \text{ см} - 3 \text{ см} = 2$ см. Площадь треугольника ($S_{треуг}$) равна:
$S_{треуг} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 2 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 3$ см?.

Общая площадь трапеции равна сумме площадей прямоугольника и треугольника:

$S = S_{прям} + S_{треуг} = 9 \text{ см?} + 3 \text{ см?} = 12$ см?.

Ответ: 12 см?.

Способ 3: Использование формулы Пика

Формула Пика позволяет найти площадь многоугольника, вершины которого находятся в узлах целочисленной решётки: $S = I + \frac{B}{2} - 1$, где $I$ — количество узлов сетки строго внутри многоугольника, а $B$ — количество узлов на его границе.

1. Внутренние узлы ($I$). Посчитаем точки внутри фигуры: их 7.
2. Граничные узлы ($B$). Посчитаем точки на сторонах фигуры: на нижнем основании — 6, на правом — 4, на верхнем — 4, на наклонной стороне — 2. Общее число уникальных точек на границе равно 12 ($B=12$).

Подставим значения в формулу:

$S = 7 + \frac{12}{2} - 1 = 7 + 6 - 1 = 12$ см?.

Ответ: 12 см?.