Страница 229 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

1. Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (рис. 228).

1. Чтобы найти площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге, можно использовать формулу площади для прямоугольного треугольника, поскольку на рисунке изображен именно он. Вертикальная и горизонтальная стороны треугольника перпендикулярны друг другу, так как они лежат на линиях сетки.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$, где $a$ и $b$ — это длины его катетов (сторон, образующих прямой угол).

Из условия известно, что размер одной клетки составляет 1 см ? 1 см. Посчитаем длины катетов по клеткам:
Длина вертикального катета $a$ составляет 4 клетки, то есть $a = 4$ см.
Длина горизонтального катета $b$ составляет 5 клеток, то есть $b = 5$ см.

Теперь подставим эти значения в формулу для вычисления площади:
$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = \frac{20}{2} \text{ см}^2 = 10 \text{ см}^2$.

Альтернативным способом является мысленное достраивание треугольника до прямоугольника со сторонами 4 см и 5 см. Площадь такого прямоугольника будет равна $4 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 20 \text{ см}^2$. Треугольник занимает ровно половину этого прямоугольника, следовательно, его площадь равна $20 \text{ см}^2 / 2 = 10 \text{ см}^2$.

Ответ: 10 см².

2. Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (рис. 229).

Для нахождения площади треугольника, изображенного на клетчатой бумаге, можно использовать несколько способов. Рассмотрим два наиболее популярных.

Способ 1: Использование формулы площади треугольника

Классическая формула для вычисления площади треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ – это длина основания треугольника, а $h$ – высота, проведенная к этому основанию.

1. В качестве основания ($a$) удобно выбрать сторону треугольника, которая расположена на горизонтальной линии сетки. Посчитав клетки, определим её длину. Длина этой стороны составляет 3 клетки. Так как по условию размер одной клетки равен 1 см ? 1 см, то длина основания $a = 3$ см.
2. Высота ($h$) — это перпендикуляр, опущенный из вершины, противолежащей основанию, на прямую, содержащую это основание. Из рисунка видно, что высота, проведенная к выбранному основанию, равна 4 клеткам. Следовательно, $h = 4$ см.
3. Теперь подставим найденные значения длины основания и высоты в формулу площади:
   $S = \frac{1}{2} \cdot 3 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = \frac{12}{2} \text{ см}^2 = 6 \text{ см}^2$.

Способ 2: Метод достраивания до прямоугольника (метод вычитания)

Этот метод заключается в том, чтобы "вписать" данный треугольник в прямоугольник, стороны которого параллельны линиям сетки. Затем из площади этого прямоугольника вычитаются площади фигур, которые не принадлежат исходному треугольнику.

1. Опишем вокруг треугольника прямоугольник. Его вершины будут иметь координаты, соответствующие крайним точкам треугольника. Ширина прямоугольника составит $5 - 1 = 4$ клетки (4 см), а высота $5 - 1 = 4$ клетки (4 см).
2. Найдем площадь этого прямоугольника:
   $S_{прям} = 4 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 16 \text{ см}^2$.
3. Теперь найдем площади двух прямоугольных треугольников, которые являются "лишними" (находятся внутри прямоугольника, но вне нашего треугольника).
   • Площадь первого "лишнего" треугольника (в левой части прямоугольника) с катетами 1 см и 4 см:
     $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 2 \text{ см}^2$.
   • Площадь второго "лишнего" треугольника (в правой верхней части прямоугольника) с катетами 4 см и 4 см:
     $S_2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 8 \text{ см}^2$.
4. Чтобы найти площадь искомого треугольника, вычтем из площади прямоугольника площади "лишних" треугольников:
   $S = S_{прям} - S_1 - S_2 = 16 \text{ см}^2 - 2 \text{ см}^2 - 8 \text{ см}^2 = 6 \text{ см}^2$.

Как видно, оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: 6 см?.

3. Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (рис. 230).

Для нахождения площади треугольника, изображённого на клетчатой бумаге, можно использовать один из двух удобных методов.

Способ 1: Метод достраивания до прямоугольника

Этот метод основан на том, чтобы "заключить" треугольник в прямоугольник, стороны которого идут вдоль линий сетки, а затем вычесть из площади этого прямоугольника площади лишних частей.

1. Построим прямоугольник, который будет содержать наш треугольник. Стороны прямоугольника должны быть параллельны линиям сетки, и каждая вершина треугольника должна касаться стороны прямоугольника.

   Из рисунка видно, что по горизонтали треугольник занимает 5 клеток, а по вертикали — 3 клетки. Размер одной клетки 1 см ? 1 см. Таким образом, мы получаем прямоугольник со сторонами 5 см и 3 см.

2. Найдём площадь этого прямоугольника ($S_{прям}$):
   $S_{прям} = 5 \text{ см} \times 3 \text{ см} = 15 \text{ см}^2$.

3. Прямоугольник состоит из нашего треугольника и трёх других, прямоугольных треугольников по углам. Найдём их площади.

   • Треугольник 1 (вверху слева): Это прямоугольный треугольник, катеты которого равны 2 см и 3 см. Его площадь $S_1$ равна:
     $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3 \text{ см}^2$.

   • Треугольник 2 (вверху справа): Это прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 2 см. Его площадь $S_2$ равна:
     $S_2 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3 \text{ см}^2$.

   • Треугольник 3 (внизу): Это прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 1 см. Его площадь $S_3$ равна:
     $S_3 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 1 = 2,5 \text{ см}^2$.

4. Чтобы найти площадь искомого треугольника ($S_{иск}$), нужно из площади большого прямоугольника вычесть сумму площадей трёх маленьких треугольников:
   $S_{иск} = S_{прям} - (S_1 + S_2 + S_3)$
   $S_{иск} = 15 - (3 + 3 + 2,5) = 15 - 8,5 = 6,5 \text{ см}^2$.

Ответ: 6,5 см².

Способ 2: Формула Пика

Формула Пика — это элегантный способ для вычисления площади многоугольника, все вершины которого находятся в узлах целочисленной решётки (на пересечениях линий сетки).

Формула выглядит так: $S = I + \frac{B}{2} - 1$, где:

• $I$ — количество узлов сетки, находящихся строго внутри многоугольника.
• $B$ — количество узлов сетки, лежащих на границах многоугольника (включая вершины).

1. Найдём число узлов на границе треугольника ($B$).
   На сторонах треугольника, кроме его вершин, нет других узлов сетки. Вершин у треугольника 3.
   Следовательно, $B = 3$.

2. Найдём число узлов внутри треугольника ($I$).
   Если внимательно посчитать точки на рисунке, то мы увидим, что внутри треугольника находится ровно 6 узлов сетки.

3. Подставим найденные значения $I=6$ и $B=3$ в формулу Пика:
   $S = 6 + \frac{3}{2} - 1 = 6 + 1,5 - 1 = 5 + 1,5 = 6,5 \text{ см}^2$.

Ответ: 6,5 см².

4. Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (рис. 231).

Для нахождения площади треугольника, изображенного на клетчатой бумаге, можно использовать несколько способов. Размер одной клетки составляет 1 см ? 1 см, следовательно, площадь одной клетки равна 1 см?.

Способ 1: Метод достроения и вычитания площадей

Этот метод заключается в том, чтобы вычислить площадь треугольника через площади более простых фигур, таких как прямоугольники и трапеции, которые легко посчитать на клетчатой бумаге.

1. Введем систему координат. Поместим начало координат (0,0) в левый нижний угол сетки, изображенной на рисунке. Тогда вершины треугольника будут иметь следующие координаты: A(1, 1), B(3, 4) и C(6, 5).

2. Площадь искомого треугольника можно выразить через площади трапеций, которые образуются при проектировании его вершин на ось Ox. Пусть A', B', C' — проекции точек A, B, C на ось Ox, тогда A'(1, 0), B'(3, 0), C'(6, 0).

Площадь треугольника ABC равна сумме площадей трапеций ABB'A' и BCC'B' минус площадь трапеции ACC'A':$S_{ABC} = S_{ABB'A'} + S_{BCC'B'} - S_{ACC'A'}$

3. Вычислим площади этих трапеций по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота.

• Трапеция ABB'A' имеет основания $AA' = 1$ и $BB' = 4$, а высоту $A'B' = 3-1=2$. Ее площадь: $S_{ABB'A'} = \frac{1+4}{2} \cdot 2 = 5$ см?.
• Трапеция BCC'B' имеет основания $BB' = 4$ и $CC' = 5$, а высоту $B'C' = 6-3=3$. Ее площадь: $S_{BCC'B'} = \frac{4+5}{2} \cdot 3 = 4.5 \cdot 3 = 13.5$ см?.
• Трапеция ACC'A' имеет основания $AA' = 1$ и $CC' = 5$, а высоту $A'C' = 6-1=5$. Ее площадь: $S_{ACC'A'} = \frac{1+5}{2} \cdot 5 = 3 \cdot 5 = 15$ см?.

4. Теперь найдем площадь треугольника ABC:$S_{ABC} = 5 \text{ см}^2 + 13.5 \text{ см}^2 - 15 \text{ см}^2 = 3.5 \text{ см}^2$.

Ответ: 3,5 см?.

Способ 2: Формула Пика

Формула Пика — это простой способ нахождения площади многоугольника, все вершины которого расположены в узлах координатной сетки. Формула выглядит так: $S = В + \frac{Г}{2} - 1$, где $В$ — это количество узлов сетки внутри многоугольника, а $Г$ — количество узлов на его границе.

1. Найдем количество узлов на границе треугольника ($Г$). Граница состоит из трех отрезков. Вершины треугольника (1,1), (3,4), (6,5) лежат в узлах сетки. Между вершинами на сторонах треугольника других узлов нет.Всего на границе треугольника 3 узла (это его вершины). Таким образом, $Г = 3$.

2. Найдем количество узлов внутри треугольника ($В$). Посмотрев на рисунок, можно посчитать все узлы сетки, которые находятся строго внутри фигуры. Это точки с координатами: (2,2), (3,3), (4,4).Всего внутри треугольника 3 узла. Таким образом, $В = 3$.

3. Подставим найденные значения в формулу Пика:$S = 3 + \frac{3}{2} - 1 = 3 + 1.5 - 1 = 3.5$.

Поскольку площадь одной клетки равна 1 см?, то площадь треугольника равна 3,5 см?.

Ответ: 3,5 см?.

5. Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (рис. 232).

Для того чтобы найти площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге, можно воспользоваться несколькими методами. Размер каждой клетки составляет 1 см ? 1 см.

Способ 1: Использование формулы площади трапеции

Площадь трапеции вычисляется по классической формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — это длины оснований, а $h$ — высота.

Определим параметры трапеции по клеткам на рисунке:
1. Верхнее основание ($a$) имеет длину 3 клетки, что соответствует $a = 3$ см.
2. Нижнее основание ($b$) имеет длину 5 клеток, что соответствует $b = 5$ см.
3. Высота ($h$), как перпендикулярное расстояние между основаниями, составляет 3 клетки, то есть $h = 3$ см.

Теперь подставим полученные значения в формулу площади:

$S = \frac{3 + 5}{2} \cdot 3 = \frac{8}{2} \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$ см?.

Ответ: 12 см?.

Способ 2: Метод разложения на простые фигуры

Данную трапецию можно разделить на две простые фигуры: прямоугольник и прямоугольный треугольник.

1. Прямоугольник. Он имеет ширину 3 клетки и высоту 3 клетки. Его площадь ($S_{прям}$) равна:
$S_{прям} = 3 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 9$ см?.

2. Прямоугольный треугольник. Он расположен слева. Его высота равна высоте трапеции, то есть 3 см. Основание треугольника равно разности длин оснований трапеции: $5 \text{ см} - 3 \text{ см} = 2$ см. Площадь треугольника ($S_{треуг}$) равна:
$S_{треуг} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 2 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 3$ см?.

Общая площадь трапеции равна сумме площадей прямоугольника и треугольника:

$S = S_{прям} + S_{треуг} = 9 \text{ см?} + 3 \text{ см?} = 12$ см?.

Ответ: 12 см?.

Способ 3: Использование формулы Пика

Формула Пика позволяет найти площадь многоугольника, вершины которого находятся в узлах целочисленной решётки: $S = I + \frac{B}{2} - 1$, где $I$ — количество узлов сетки строго внутри многоугольника, а $B$ — количество узлов на его границе.

1. Внутренние узлы ($I$). Посчитаем точки внутри фигуры: их 7.
2. Граничные узлы ($B$). Посчитаем точки на сторонах фигуры: на нижнем основании — 6, на правом — 4, на верхнем — 4, на наклонной стороне — 2. Общее число уникальных точек на границе равно 12 ($B=12$).

Подставим значения в формулу:

$S = 7 + \frac{12}{2} - 1 = 7 + 6 - 1 = 12$ см?.

Ответ: 12 см?.

6. Найдите площадь трапеции, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (рис. 233).

Для того чтобы найти площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге, можно воспользоваться несколькими способами. Размер одной клетки составляет 1 см ? 1 см.

Способ 1: Использование формулы площади трапеции

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — это длины оснований трапеции, а $h$ — её высота.

1. Определим длины оснований и высоту трапеции, посчитав количество клеток на рисунке:

- Длина нижнего основания ($a$) равна 5 клеткам, что соответствует $a = 5$ см.

- Длина верхнего основания ($b$) равна 2 клеткам, что соответствует $b = 2$ см.

- Высота ($h$), то есть перпендикулярное расстояние между основаниями, равна 3 клеткам, что соответствует $h = 3$ см.

2. Подставим найденные значения в формулу площади:

$S = \frac{5 + 2}{2} \cdot 3 = \frac{7}{2} \cdot 3 = 3.5 \cdot 3 = 10.5$ см?.

Ответ: 10.5 см?

Способ 2: Метод разложения на простые фигуры

Этот способ заключается в том, чтобы разбить трапецию на фигуры, площади которых легко вычислить (прямоугольник и треугольники), и затем сложить их площади.

1. Проведем высоты из вершин верхнего основания к нижнему. Трапеция разобьется на один прямоугольник и два прямоугольных треугольника.

2. Вычислим площадь каждой из получившихся фигур:

- Площадь левого прямоугольного треугольника с катетами 1 см и 3 см: $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 = 1.5$ см?.

- Площадь центрального прямоугольника со сторонами 2 см и 3 см: $S_2 = 2 \cdot 3 = 6$ см?.

- Площадь правого прямоугольного треугольника с катетами 2 см и 3 см: $S_3 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3$ см?.

3. Найдем общую площадь трапеции как сумму площадей этих трех фигур:

$S = S_1 + S_2 + S_3 = 1.5 + 6 + 3 = 10.5$ см?.

Ответ: 10.5 см?