Страница 231 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

20. Периметр прямоугольника равен 34, а площадь равна 60. Найдите диагональ этого прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. По условию задачи $P = 34$, следовательно:
$2(a + b) = 34$
$a + b = \frac{34}{2} = 17$

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. По условию задачи $S = 60$, следовательно:
$a \cdot b = 60$

Диагональ прямоугольника $d$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, образованном сторонами $a$, $b$ и диагональю $d$. По теореме Пифагора, квадрат диагонали равен сумме квадратов сторон:
$d^2 = a^2 + b^2$

Для нахождения $a^2 + b^2$ воспользуемся известным тождеством квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Выразим из этого тождества $a^2 + b^2$:
$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$

Теперь мы можем подставить ранее найденные значения $a+b=17$ и $ab=60$ в это выражение:
$d^2 = (17)^2 - 2 \cdot 60$

Выполним вычисления:
$d^2 = 289 - 120$
$d^2 = 169$

Найдем длину диагонали $d$, извлекая квадратный корень:
$d = \sqrt{169} = 13$

Ответ: 13

21. Стороны параллелограмма равны 9 и 15. Высота, проведённая к первой стороне, равна 10. Найдите высоту, проведённую ко второй стороне параллелограмма.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой площади параллелограмма. Площадь параллелограмма ($S$) равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
Пусть $a$ и $b$ — это стороны параллелограмма, а $h_a$ и $h_b$ — высоты, проведенные к сторонам $a$ и $b$ соответственно.
Из условия задачи нам известно:
Первая сторона $a = 9$.
Вторая сторона $b = 15$.
Высота, проведенная к первой стороне, $h_a = 10$.
Нужно найти высоту, проведенную ко второй стороне, то есть $h_b$.

Площадь параллелограмма можно вычислить двумя способами, используя известные данные:
1. Через первую сторону и высоту к ней: $S = a \cdot h_a$
2. Через вторую сторону и высоту к ней: $S = b \cdot h_b$

Поскольку площадь фигуры одна и та же, мы можем приравнять эти два выражения:
$a \cdot h_a = b \cdot h_b$

Сначала вычислим площадь параллелограмма, используя первую сторону и проведенную к ней высоту:
$S = 9 \cdot 10 = 90$

Теперь, зная площадь и длину второй стороны, мы можем найти высоту, проведенную к ней:
$90 = 15 \cdot h_b$

Выразим $h_b$ из этого уравнения:
$h_b = \frac{90}{15}$
$h_b = 6$

Следовательно, высота, проведённая ко второй стороне параллелограмма, равна 6.
Ответ: 6

22. Периметр треугольника равен 12, а радиус вписанной окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника.

Для решения этой задачи используется формула, связывающая площадь треугольника ($S$), его полупериметр ($p$) и радиус вписанной в него окружности ($r$):

$S = p \cdot r$

По условию, нам известны периметр треугольника $P$ и радиус вписанной окружности $r$:

$P = 12$

$r = 1$

Сначала необходимо найти полупериметр $p$. Полупериметр — это половина периметра:

$p = \frac{P}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Теперь, когда мы знаем полупериметр и радиус вписанной окружности, мы можем вычислить площадь треугольника, подставив эти значения в формулу:

$S = p \cdot r = 6 \cdot 1 = 6$

Таким образом, площадь треугольника составляет 6.

Ответ: 6.

23. Основания прямоугольной трапеции равны 2 и 8. Её площадь равна 30. Найдите острый угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Пусть дана прямоугольная трапеция. Обозначим её основания как $a$ и $b$, а высоту как $h$. По условию, основания равны $a = 2$ и $b = 8$. Площадь трапеции $S = 30$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти высоту трапеции $h$. В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон является высотой.
$30 = \frac{2+8}{2} \cdot h$
$30 = \frac{10}{2} \cdot h$
$30 = 5 \cdot h$
$h = \frac{30}{5} = 6$

Теперь, чтобы найти острый угол трапеции, опустим высоту из вершины тупого угла на большее основание. Это разделит трапецию на прямоугольник и прямоугольный треугольник.
Катетами этого треугольника будут высота трапеции $h$ и отрезок на большем основании, равный разности длин оснований.

Найдем длину этого отрезка (одного из катетов):
$b - a = 8 - 2 = 6$.

Итак, мы имеем прямоугольный треугольник, в котором оба катета равны 6. Острый угол этого треугольника и есть искомый острый угол трапеции. Обозначим его как $\alpha$.

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета (высоты $h$) к прилежащему катету (разности оснований $b-a$).
$\tan(\alpha) = \frac{h}{b-a} = \frac{6}{6} = 1$

Угол, тангенс которого равен 1, это $45^\circ$.
Следовательно, острый угол трапеции равен $45^\circ$.

Ответ: 45

24. Найдите абсциссу точки, симметричной точке A(5; 9) относительно оси Oy.

Дана точка $A$ с координатами $(5; 9)$. В декартовой системе координат абсцисса — это координата $x$, а ордината — это координата $y$. Следовательно, для точки $A$ абсцисса равна $5$, а ордината равна $9$.

Нужно найти абсциссу точки, симметричной точке $A$ относительно оси ординат ($Oy$). При симметричном отображении точки с координатами $(x; y)$ относительно оси $Oy$, ее ордината ($y$) остается неизменной, а абсцисса ($x$) меняет свой знак на противоположный. Таким образом, симметричная точка будет иметь координаты $(-x; y)$.

Применим это правило для точки $A(5; 9)$. Обозначим симметричную ей точку как $A'$. Координаты точки $A'$ будут:
$x_{A'} = -x_A = -5$
$y_{A'} = y_A = 9$
Следовательно, точка $A'$, симметричная точке $A$ относительно оси $Oy$, имеет координаты $(-5; 9)$.

Задача состоит в том, чтобы найти абсциссу полученной симметричной точки. Абсцисса точки $A'$ — это ее первая координата, которая равна $-5$.

Ответ: -5

25. Найдите ординату середины отрезка, соединяющего точки A(3; 7) и B(–1; 3).

Чтобы найти ординату середины отрезка, необходимо вычислить среднее арифметическое ординат его конечных точек.

Координаты середины $C(x_c; y_c)$ отрезка, соединяющего точки $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$, находятся по формулам:
$x_c = \frac{x_A + x_B}{2}$
$y_c = \frac{y_A + y_B}{2}$

В данной задаче нам даны точки $A(3; 7)$ и $B(-1; 3)$. Нас просят найти ординату середины отрезка, то есть значение $y_c$.

Ордината точки A: $y_A = 7$.
Ордината точки B: $y_B = 3$.

Подставим значения ординат в соответствующую формулу:

$y_c = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{7 + 3}{2}$

Выполним вычисления:

$y_c = \frac{10}{2} = 5$

Ответ: 5

26. Найдите длину вектора a{6; 8}.

Чтобы найти длину (или модуль) вектора, заданного его координатами, нужно извлечь квадратный корень из суммы квадратов его координат.

Длина вектора $\vec{a}\{x; y\}$ вычисляется по формуле:

$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$

Для вектора $\vec{a}\{6; 8\}$ его координаты равны $x = 6$ и $y = 8$.

Подставим значения координат в формулу:

$|\vec{a}| = \sqrt{6^2 + 8^2}$

Возведем координаты в квадрат и сложим их:

$|\vec{a}| = \sqrt{36 + 64}$

$|\vec{a}| = \sqrt{100}$

Извлечем квадратный корень:

$|\vec{a}| = 10$

Таким образом, длина вектора $\vec{a}\{6; 8\}$ равна 10.

Ответ: 10

27. Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами (3; 0) и (0; 3).

Для нахождения углового коэффициента прямой, проходящей через две заданные точки, используется специальная формула. Угловой коэффициент (обозначается как $k$) показывает тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс.

Формула для вычисления углового коэффициента $k$ прямой, проходящей через точки с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, выглядит следующим образом:

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

В нашей задаче даны две точки. Обозначим их как:

• Точка 1: $(x_1, y_1) = (3, 0)$
• Точка 2: $(x_2, y_2) = (0, 3)$

Теперь подставим координаты этих точек в формулу:

$k = \frac{3 - 0}{0 - 3}$

Выполним вычисления в числителе и знаменателе:

$k = \frac{3}{-3}$

Разделив числитель на знаменатель, получаем значение углового коэффициента:

$k = -1$

Ответ: -1

28. Точки O(0; 0), A(8; 6), B(12; –2) и C являются вершинами параллелограмма OBAC. Найдите ординату точки C.

Для решения задачи воспользуемся свойством векторов в параллелограмме. В параллелограмме противолежащие стороны равны и параллельны. Это означает, что векторы, определяющие противолежащие стороны и имеющие одинаковое направление, равны.

В параллелограмме OBAC, названном по порядку вершин, стороны OC и BA являются противолежащими. Следовательно, векторы $\vec{OC}$ и $\vec{BA}$ равны:$\vec{OC} = \vec{BA}$

Пусть координаты точки С равны $(x_C; y_C)$.Координаты вектора вычисляются как разность соответствующих координат его конца и начала.

Найдем координаты вектора $\vec{OC}$. Начало вектора находится в точке O(0; 0), а конец — в точке C($x_C$; $y_C$).$\vec{OC} = (x_C - 0; y_C - 0) = (x_C; y_C)$

Найдем координаты вектора $\vec{BA}$. Начало вектора находится в точке B(12; -2), а конец — в точке A(8; 6).$\vec{BA} = (8 - 12; 6 - (-2)) = (-4; 6 + 2) = (-4; 8)$

Так как векторы $\vec{OC}$ и $\vec{BA}$ равны, их соответствующие координаты также равны:$(x_C; y_C) = (-4; 8)$

Из этого следует, что абсцисса точки C равна -4, а ордината точки C равна 8.$x_C = -4$$y_C = 8$

В задаче требуется найти ординату точки С, то есть ее координату по оси y.

Ответ: 8

29. Найдите абсциссу точки пересечения прямой, заданной уравнением 3x + 2y = 6, с осью Ox.

Чтобы найти абсциссу точки пересечения прямой с осью $Ox$ (осью абсцисс), нужно учесть, что у любой точки, лежащей на этой оси, ордината (координата $y$) равна нулю.

Уравнение прямой задано как $3x + 2y = 6$.

Подставим в это уравнение значение $y = 0$:
$3x + 2 \cdot 0 = 6$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:
$3x + 0 = 6$
$3x = 6$
$x = \frac{6}{3}$
$x = 2$

Таким образом, абсцисса точки пересечения прямой с осью $Ox$ равна 2.

Ответ: 2

30. Найдите ординату точки пересечения прямых, заданных уравнениями 3x + 2y = 6 и y = –x.

Чтобы найти ординату точки пересечения прямых, необходимо решить систему уравнений, которыми они заданы. Точка пересечения — это точка, координаты которой $(x, y)$ удовлетворяют обоим уравнениям одновременно.

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3x + 2y = 6 \\ y = -x \end{cases} $

Воспользуемся методом подстановки. Второе уравнение уже выражает $y$ через $x$. Подставим это выражение ($y = -x$) в первое уравнение системы:

$3x + 2(-x) = 6$

Теперь решим полученное уравнение относительно переменной $x$:

$3x - 2x = 6$

$x = 6$

Мы нашли абсциссу (координату $x$) точки пересечения. По условию задачи нам нужно найти ординату (координату $y$). Для этого подставим найденное значение $x=6$ во второе уравнение системы:

$y = -x$

$y = -6$

Таким образом, координаты точки пересечения прямых равны $(6, -6)$. Ордината этой точки равна -6.

Ответ: -6

31. Какого радиуса должна быть окружность с центром в точке P(7; 5), чтобы она касалась оси абсцисс?

Окружность касается оси абсцисс (оси Ox), если расстояние от ее центра до этой оси равно радиусу.

Центр окружности находится в точке $P(7; 5)$. Координаты центра: $x_0 = 7$ и $y_0 = 5$.

Ось абсцисс — это прямая, все точки которой имеют ординату, равную нулю. Уравнение оси абсцисс: $y = 0$.

Расстояние от точки $(x_0, y_0)$ до оси абсцисс равно модулю ее ординаты, то есть $|y_0|$.

В данном случае, расстояние от центра $P(7; 5)$ до оси абсцисс равно $|5| = 5$.

Следовательно, радиус $R$ окружности должен быть равен этому расстоянию.

$R = |y_0| = |5| = 5$.

Ответ: 5.

32. Найдите абсциссу центра окружности, описанной около треугольника, вершины которого имеют координаты (6; 0), (0; 10) и (6; 10).

Обозначим вершины треугольника как A(6; 0), B(0; 10) и C(6; 10).

Для того чтобы найти центр описанной окружности, определим тип данного треугольника. Рассмотрим стороны, образованные этими вершинами.

Сторона AC соединяет точки A(6; 0) и C(6; 10). Поскольку абсциссы (координаты x) этих точек одинаковы и равны 6, эта сторона является вертикальным отрезком, параллельным оси ординат (оси Oy).

Сторона BC соединяет точки B(0; 10) и C(6; 10). Поскольку ординаты (координаты y) этих точек одинаковы и равны 10, эта сторона является горизонтальным отрезком, параллельным оси абсцисс (оси Ox).

Так как оси координат перпендикулярны, то и отрезки, им параллельные, также перпендикулярны друг другу. Следовательно, стороны AC и BC перпендикулярны, а угол при вершине C — прямой. Это означает, что треугольник ABC является прямоугольным.

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, всегда находится в середине его гипотенузы. В нашем случае гипотенузой является сторона AB, противолежащая прямому углу C.

Найдем координаты ($x_0$; $y_0$) центра описанной окружности, который является серединой отрезка AB с концами в точках A(6; 0) и B(0; 10). Для этого воспользуемся формулой координат середины отрезка: $x_0 = \frac{x_A + x_B}{2}$ и $y_0 = \frac{y_A + y_B}{2}$.

Вычислим абсциссу центра: $x_0 = \frac{6 + 0}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

Вычислим ординату центра: $y_0 = \frac{0 + 10}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

Координаты центра описанной окружности — (3; 5). В задаче требуется найти абсциссу центра, то есть его координату x.

Ответ: 3

33. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1; 1), (4; 3) и (4; 5).

Для нахождения площади треугольника, заданного координатами его вершин, можно воспользоваться несколькими способами. В данном случае наиболее простым является метод, использующий основание и высоту, так как две вершины лежат на одной вертикальной прямой.

Обозначим вершины треугольника: A(1; 1), B(4; 3) и C(4; 5).

Способ 1: Через основание и высоту

1. Заметим, что вершины B(4; 3) и C(4; 5) имеют одинаковую координату по оси x. Это значит, что сторона BC параллельна оси y (лежит на вертикальной прямой $x=4$). Мы можем принять эту сторону за основание треугольника.

2. Найдем длину основания. Длина вертикального отрезка BC равна модулю разности координат y его концов:$b = |y_C - y_B| = |5 - 3| = 2$.

3. Найдем высоту треугольника. Высота $h$, проведенная из вершины A к основанию BC, будет перпендикулярна стороне BC, а значит, параллельна оси x. Ее длина равна модулю разности координат x точки A и прямой, на которой лежит основание BC (прямой $x=4$):$h = |x_A - x_{BC}| = |1 - 4| = |-3| = 3$.

4. Теперь вычислим площадь треугольника по стандартной формуле:$S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h$Подставив наши значения, получим:$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3$.

Способ 2: По формуле площади через координаты вершин (формула шнурков)

Площадь треугольника с вершинами в точках $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ и $(x_3, y_3)$ можно вычислить по формуле:$S = \frac{1}{2} |(x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2))|$Подставим координаты наших вершин A(1; 1), B(4; 3), C(4; 5):$S = \frac{1}{2} |(1(3 - 5) + 4(5 - 1) + 4(1 - 3))|$$S = \frac{1}{2} |(1(-2) + 4(4) + 4(-2))|$$S = \frac{1}{2} |(-2 + 16 - 8)|$$S = \frac{1}{2} |6|$$S = 3$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 3

34. Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите |AB + AD|.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$ со сторонами $6$ и $8$. Это означает, что длины его смежных сторон равны $6$ и $8$. Пусть длина стороны $AB$ будет $6$, а длина стороны $AD$ — $8$. Таким образом, мы имеем модули векторов: $|\vec{AB}| = 6$ и $|\vec{AD}| = 8$.

Требуется найти модуль суммы векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$, то есть величину $|\vec{AB} + \vec{AD}|$.

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ имеют общее начало в точке $A$. Согласно правилу параллелограмма для сложения векторов, их сумма $\vec{AB} + \vec{AD}$ равна вектору, который совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах, и исходит из их общего начала. В нашем случае таким параллелограммом является сам прямоугольник $ABCD$. Диагональю, выходящей из точки $A$, является диагональ $AC$.

Следовательно, $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$.

Тогда модуль искомой суммы векторов равен модулю (длине) вектора $\vec{AC}$:

$|\vec{AB} + \vec{AD}| = |\vec{AC}|$

Длину диагонали $AC$ прямоугольника можно найти из прямоугольного треугольника $\triangle ABC$ (угол $\angle B = 90^\circ$). В этом треугольнике катетами являются стороны $AB$ и $BC$, а гипотенузой — диагональ $AC$. Длина стороны $BC$ равна длине стороны $AD$, так как $ABCD$ — прямоугольник, то есть $BC = AD = 8$.

Применим теорему Пифагора:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

Подставим числовые значения:

$AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

$AC = \sqrt{100} = 10$

Таким образом, длина диагонали $AC$ равна $10$, что и является искомой величиной.

Ответ: 10

35. Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите |AB|.

По условию задачи дан ромб ABCD, диагонали которого равны 12 и 16. Необходимо найти $|\vec{AB}|$, что по определению является длиной стороны AB ромба.

Ключевыми свойствами ромба, которые помогут решить задачу, являются:
1. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
2. В точке пересечения диагонали делятся пополам.

Пусть точка O — это точка пересечения диагоналей AC и BD. В соответствии со свойствами ромба, диагонали делят его на четыре равных прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из них, например, треугольник AOB.

В треугольнике AOB угол $\angle AOB = 90^\circ$. Катеты AO и BO равны половинам длин диагоналей. Пусть AC = 16 и BD = 12. Тогда:
$AO = \frac{AC}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$BO = \frac{BD}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Сторона ромба AB в данном треугольнике является гипотенузой. Для нахождения ее длины применим теорему Пифагора:
$AB^2 = AO^2 + BO^2$

Подставим вычисленные значения длин катетов в формулу:
$AB^2 = 8^2 + 6^2$
$AB^2 = 64 + 36$
$AB^2 = 100$

Теперь найдем длину AB, извлекая квадратный корень:
$AB = \sqrt{100} = 10$

Так как длина вектора $|\vec{AB}|$ равна длине отрезка AB, то $|\vec{AB}| = 10$.

Ответ: 10

36. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите скалярное произведение векторов AO и BO.

Скалярное произведение двух векторов, в данном случае $\vec{AO}$ и $\vec{BO}$, определяется формулой:$\vec{AO} \cdot \vec{BO} = |\vec{AO}| \cdot |\vec{BO}| \cdot \cos(\angle AOB)$где $|\vec{AO}|$ и $|\vec{BO}|$ — это длины (модули) векторов, а $\angle AOB$ — это угол между ними.

Фигура $ABCD$ является ромбом. Согласно свойствам ромба, его диагонали ($AC$ и $BD$) пересекаются под прямым углом. Точка пересечения диагоналей $O$ является общей вершиной для углов, образованных полудиагоналями. Таким образом, угол между векторами $\vec{AO}$ и $\vec{BO}$, то есть $\angle AOB$, равен $90^\circ$.

Косинус угла $90^\circ$ равен нулю:$\cos(90^\circ) = 0$

Теперь подставим известное значение косинуса в формулу скалярного произведения:$\vec{AO} \cdot \vec{BO} = |\vec{AO}| \cdot |\vec{BO}| \cdot 0 = 0$

Таким образом, скалярное произведение равно нулю. Обратите внимание, что для получения ответа даже не потребовалось использовать длины диагоналей (12 и 16), так как один из множителей в произведении равен нулю. Если бы это было необходимо, то длины векторов $|\vec{AO}|$ и $|\vec{BO}|$ равнялись бы половинам длин диагоналей, то есть $\frac{12}{2}=6$ и $\frac{16}{2}=8$.

Ответ: 0

37. Сторона равностороннего треугольника ABC равна 3. Найдите |AB + AC|.

Для решения задачи можно использовать два подхода: алгебраический (через скалярное произведение) и геометрический (через правило параллелограмма или медианы).

Способ 1: Алгебраический (через скалярное произведение)

По условию, треугольник $ABC$ — равносторонний со стороной $\sqrt{3}$. Следовательно, длины векторов, совпадающих со сторонами, равны: $|\vec{AB}| = \sqrt{3}$ и $|\vec{AC}| = \sqrt{3}$. Угол между этими векторами, выходящими из одной вершины $A$, равен углу треугольника $\angle BAC = 60^\circ$.

Для нахождения модуля суммы векторов $|\vec{AB} + \vec{AC}|$ воспользуемся свойством скалярного произведения, согласно которому квадрат модуля вектора равен его скалярному квадрату:

$|\vec{AB} + \vec{AC}|^2 = (\vec{AB} + \vec{AC}) \cdot (\vec{AB} + \vec{AC})$

Раскроем скобки, используя дистрибутивность и коммутативность скалярного произведения:

$|\vec{AB} + \vec{AC}|^2 = \vec{AB} \cdot \vec{AB} + 2(\vec{AB} \cdot \vec{AC}) + \vec{AC} \cdot \vec{AC}$

Это выражение можно переписать через модули векторов:

$|\vec{AB} + \vec{AC}|^2 = |\vec{AB}|^2 + 2 \cdot |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\angle BAC) + |\vec{AC}|^2$

Теперь подставим известные значения в формулу:

$|\vec{AB} + \vec{AC}|^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(60^\circ) + (\sqrt{3})^2$

Поскольку $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$|\vec{AB} + \vec{AC}|^2 = 3 + 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} + 3$

$|\vec{AB} + \vec{AC}|^2 = 3 + 3 + 3 = 9$

Чтобы найти искомый модуль, извлечем квадратный корень:

$|\vec{AB} + \vec{AC}| = \sqrt{9} = 3$

Ответ: 3

Способ 2: Геометрический (через правило медианы)

Сумму векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, исходящих из одной точки $A$, можно выразить через вектор медианы $AM$, проведенной к стороне $BC$. Пусть $M$ — середина стороны $BC$. По правилу сложения векторов (правило медианы):

$\vec{AB} + \vec{AC} = 2\vec{AM}$

Следовательно, модуль искомой суммы равен удвоенной длине медианы $AM$:

$|\vec{AB} + \vec{AC}| = |2\vec{AM}| = 2 \cdot |\vec{AM}| = 2 \cdot AM$

В равностороннем треугольнике медиана, проведенная к стороне, является также и высотой. Длину высоты $h$ в равностороннем треугольнике со стороной $a$ можно найти по формуле:

$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

В нашем случае сторона $a = \sqrt{3}$, поэтому длина медианы (высоты) $AM$ равна:

$AM = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$

Теперь находим модуль суммы векторов:

$|\vec{AB} + \vec{AC}| = 2 \cdot AM = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3$

Ответ: 3

38. Сторона равностороннего треугольника ABC равна 1. Найдите скалярное произведение векторов AB и AC.

Скалярное произведение двух векторов, в данном случае $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, определяется по формуле:$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\alpha)$, где $|\vec{AB}|$ и $|\vec{AC}|$ — это длины (модули) векторов, а $\alpha$ — это угол между ними.

Из условия задачи известно, что треугольник $ABC$ является равносторонним, а длина его стороны равна 1.Длина вектора $\vec{AB}$ совпадает с длиной стороны $AB$, следовательно, $|\vec{AB}| = 1$.Аналогично, длина вектора $\vec{AC}$ совпадает с длиной стороны $AC$, поэтому $|\vec{AC}| = 1$.

Угол $\alpha$ между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ — это угол при вершине $A$ треугольника, то есть $\angle BAC$. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$, значит $\alpha = \angle BAC = 60^\circ$.

Теперь мы можем подставить все найденные значения в формулу скалярного произведения:$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(60^\circ)$.

Зная, что значение косинуса $60^\circ$ равно $\frac{1}{2}$, получаем:$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

1. В треугольнике ABC угол C прямой. Найдите sin B, если sin A = $\frac{7}{25}$.

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C сумма острых углов A и B равна $90^\circ$. То есть, $A + B = 90^\circ$.

Из этого соотношения мы можем выразить угол B через угол A: $B = 90^\circ - A$.

Теперь мы можем найти $\sin B$, используя формулу приведения для синуса:
$\sin B = \sin(90^\circ - A)$

Согласно тригонометрическим тождествам, $\sin(90^\circ - A) = \cos A$. Следовательно, чтобы найти $\sin B$, нам нужно найти $\cos A$.

Для нахождения $\cos A$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$.
Выразим из него $\cos^2 A$:
$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$

Подставим известное значение $\sin A = \frac{7}{25}$:
$\cos^2 A = 1 - \left(\frac{7}{25}\right)^2 = 1 - \frac{7^2}{25^2} = 1 - \frac{49}{625}$

Приведем к общему знаменателю:
$\cos^2 A = \frac{625}{625} - \frac{49}{625} = \frac{625 - 49}{625} = \frac{576}{625}$

Теперь найдем $\cos A$, извлекая квадратный корень:
$\cos A = \pm\sqrt{\frac{576}{625}} = \pm\frac{24}{25}$

Поскольку угол A является острым углом в прямоугольном треугольнике ($0^\circ < A < 90^\circ$), его косинус должен быть положительным. Таким образом, мы выбираем значение со знаком плюс:
$\cos A = \frac{24}{25}$

Так как мы установили, что $\sin B = \cos A$, то:
$\sin B = \frac{24}{25}$

Ответ: $\frac{24}{25}$

2. В треугольнике ABC угол C прямой. Найдите AC, если BC = 6 и tg A = 0,5.

В задаче дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором угол $C$ — прямой, то есть $\angle C = 90^\circ$. Известны длина катета $BC = 6$ и тангенс острого угла $A$, $\text{tg } A = 0,5$. Необходимо найти длину другого катета — $AC$.

По определению, тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета.

Для угла $A$ в треугольнике $ABC$:

• противолежащим катетом является сторона $BC$;
• прилежащим катетом является сторона $AC$.

Следовательно, можно записать формулу: $$ \text{tg } A = \frac{BC}{AC} $$

Теперь подставим известные значения в эту формулу. Нам дано, что $BC = 6$ и $\text{tg } A = 0,5$: $$ 0,5 = \frac{6}{AC} $$

Чтобы найти $AC$, выразим его из полученного уравнения: $$ AC = \frac{6}{0,5} $$

Выполним вычисление: $$ AC = 12 $$

Ответ: 12.

3. В треугольнике ABC угол C прямой. Найдите высоту CH, если AB = 13 и tg A = 0,2.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. CH — это высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу AB. Треугольник ACH, образованный высотой, также является прямоугольным (угол CHA равен 90°).

В прямоугольном треугольнике ACH катет CH можно выразить через гипотенузу AC и угол A: $CH = AC \cdot \sin A$.

В исходном прямоугольном треугольнике ABC катет AC можно выразить через гипотенузу AB и угол A: $AC = AB \cdot \cos A$.

Подставив второе выражение в первое, получим формулу для CH через известные нам величины (AB и тригонометрические функции угла A):

$CH = (AB \cdot \cos A) \cdot \sin A = AB \cdot \sin A \cdot \cos A$

Нам дано значение $\text{tg} A = 0,2$. Представим его в виде обыкновенной дроби: $\text{tg} A = \frac{1}{5}$.

Теперь найдем $\sin A$ и $\cos A$. Используем тригонометрическое тождество $1 + \text{tg}^2 A = \frac{1}{\cos^2 A}$.

$1 + \left(\frac{1}{5}\right)^2 = 1 + \frac{1}{25} = \frac{26}{25}$

Следовательно, $\frac{1}{\cos^2 A} = \frac{26}{25}$, откуда $\cos^2 A = \frac{25}{26}$.

Так как угол A в прямоугольном треугольнике острый, его косинус положителен: $\cos A = \sqrt{\frac{25}{26}} = \frac{5}{\sqrt{26}}$.

Теперь найдем $\sin A$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$.

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - \frac{25}{26} = \frac{1}{26}$

Так как угол A острый, его синус также положителен: $\sin A = \sqrt{\frac{1}{26}} = \frac{1}{\sqrt{26}}$.

Теперь мы можем вычислить высоту CH, подставив все известные значения в выведенную нами формулу:

$CH = AB \cdot \sin A \cdot \cos A = 13 \cdot \frac{1}{\sqrt{26}} \cdot \frac{5}{\sqrt{26}} = 13 \cdot \frac{5}{26}$

Выполним умножение и сокращение:

$CH = \frac{13 \cdot 5}{26} = \frac{65}{26} = \frac{5}{2} = 2,5$

Ответ: 2,5.