Страница 230 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

7. Найдите площадь трапеции, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (рис. 234).

Для решения задачи воспользуемся формулой площади трапеции. Площадь трапеции ($S$) вычисляется как произведение полусуммы её оснований ($a$ и $b$) на высоту ($h$).

Формула площади трапеции:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

По изображению на клетчатой бумаге определим размеры оснований и высоту трапеции. Размер каждой клетки равен 1 см ? 1 см, поэтому мы можем считать длину стороны одной клетки за 1 см.

1. Определение длин оснований. Основаниями трапеции являются её параллельные стороны. В данной фигуре это верхняя и нижняя стороны, которые можно считать горизонтальными.

• Длина верхнего основания ($a$) составляет 2 клетки. Следовательно, $a = 2$ см.
• Длина нижнего основания ($b$) составляет 4 клетки. Следовательно, $b = 4$ см.

2. Определение высоты. Высота ($h$) — это перпендикулярное расстояние между основаниями. По сетке видно, что расстояние между верхним и нижним основаниями составляет 3 клетки. Следовательно, $h = 3$ см.

3. Вычисление площади. Подставим найденные значения в формулу площади трапеции:

$S = \frac{2 \text{ см} + 4 \text{ см}}{2} \cdot 3 \text{ см}$

$S = \frac{6 \text{ см}}{2} \cdot 3 \text{ см}$

$S = 3 \text{ см} \cdot 3 \text{ см}$

$S = 9 \text{ см}^2$

Таким образом, площадь изображённой трапеции равна 9 квадратным сантиметрам.

Ответ: 9 см?.

8. Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (рис. 235).

Для нахождения площади четырёхугольника на клетчатой бумаге можно использовать несколько способов. Все они приведут к одному и тому же результату. Рассмотрим три наиболее удобных способа.

Способ 1: Метод достраивания до прямоугольника (метод вычитания)

Этот метод заключается в том, чтобы достроить фигуру до прямоугольника, стороны которого идут по линиям сетки, найти площадь этого прямоугольника, а затем вычесть из неё площади "лишних" частей — в данном случае, четырёх прямоугольных треугольников по углам.

1. Опишем вокруг четырёхугольника прямоугольник. Его ширина будет 3 клетки (3 см), а высота — 4 клетки (4 см).
2. Площадь этого прямоугольника равна: $S_{прям} = 3 \text{ см} \times 4 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$.
3. Теперь найдём площади четырёх прямоугольных треугольников, которые дополняют четырёхугольник до прямоугольника.
   • Нижний левый треугольник имеет катеты 1 см и 2 см. Его площадь: $S_1 = \frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1 \text{ см}^2$.
   • Нижний правый треугольник имеет катеты 2 см и 2 см. Его площадь: $S_2 = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2 \text{ см}^2$.
   • Верхний правый треугольник имеет катеты 1 см и 2 см. Его площадь: $S_3 = \frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1 \text{ см}^2$.
   • Верхний левый треугольник имеет катеты 2 см и 2 см. Его площадь: $S_4 = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2 \text{ см}^2$.
4. Суммарная площадь этих "лишних" треугольников: $S_{лишн} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = 1 + 2 + 1 + 2 = 6 \text{ см}^2$.
5. Площадь искомого четырёхугольника равна разности площадей прямоугольника и лишних треугольников: $S = S_{прям} - S_{лишн} = 12 - 6 = 6 \text{ см}^2$.

Способ 2: Метод разбиения на простые фигуры

Можно разбить четырёхугольник на более простые фигуры, площади которых легко вычислить. В данном случае удобно провести горизонтальную диагональ, которая разделит фигуру на два треугольника.

1. Проведём диагональ, соединяющую левую и правую вершины. Длина этой диагонали, которая станет общим основанием для двух треугольников, составляет 3 клетки, то есть 3 см.
2. Высота верхнего треугольника, опущенная на это основание из верхней вершины, равна 2 клеткам (2 см). Его площадь: $S_{верх} = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3 \text{ см}^2$.
3. Высота нижнего треугольника, опущенная на это же основание из нижней вершины, также равна 2 клеткам (2 см). Его площадь: $S_{нижн} = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3 \text{ см}^2$.
4. Площадь всего четырёхугольника равна сумме площадей этих двух треугольников: $S = S_{верх} + S_{нижн} = 3 + 3 = 6 \text{ см}^2$.

Способ 3: Формула Пика

Формула Пика позволяет найти площадь многоугольника, все вершины которого расположены в узлах целочисленной решётки (в точках пересечения линий сетки). Формула имеет вид: $S = В + \frac{Г}{2} - 1$, где $В$ — количество узлов сетки строго внутри многоугольника, а $Г$ — количество узлов сетки на его границе.

1. Считаем количество узлов на границе ($Г$). На сторонах четырёхугольника лежат 4 вершины и ещё 2 узла между ними (один на верхней левой стороне, другой на нижней правой). Итого: $Г = 4 + 2 = 6$.
2. Считаем количество узлов строго внутри ($В$). Внимательно посмотрев на рисунок, можно насчитать 4 таких узла.
3. Подставляем значения в формулу Пика: $S = В + \frac{Г}{2} - 1 = 4 + \frac{6}{2} - 1 = 4 + 3 - 1 = 6 \text{ см}^2$.

Ответ: 6 см².

9. Найдите площадь квадрата, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (рис. 236).

Для нахождения площади квадрата на клетчатой бумаге можно использовать несколько способов. Рассмотрим три из них.

Способ 1: Использование теоремы Пифагора

Площадь квадрата равна квадрату его стороны ($S = a^2$). Сторону квадрата можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного треугольника, катеты которого проходят вдоль линий сетки.Из рисунка видно, что катеты такого треугольника равны 2 клетки (2 см) и 3 клетки (3 см).По теореме Пифагора найдем квадрат длины стороны $a$:$a^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$Поскольку площадь квадрата равна $a^2$, то его площадь составляет 13 см?.

Ответ: 13 см?.

Способ 2: Метод достраивания до прямоугольника

Можно "вписать" данный квадрат в больший квадрат, стороны которого параллельны линиям сетки.Размеры этого большого квадрата будут 5?5 клеток, а его площадь — $5 \times 5 = 25$ см?.По углам этого большого квадрата останутся четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Площадь исходного квадрата можно найти, вычтя из площади большого квадрата суммарную площадь этих четырёх треугольников.Катеты каждого из этих треугольников равны 2 см и 3 см.Площадь одного такого треугольника:$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot 2 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 3 \text{ см}?$Суммарная площадь четырёх треугольников:$4 \cdot S_{\triangle} = 4 \cdot 3 = 12 \text{ см}?$Теперь вычтем эту площадь из площади большого квадрата, чтобы найти площадь искомой фигуры:$S = 25 \text{ см}? - 12 \text{ см}? = 13 \text{ см}?$

Ответ: 13 см?.

Способ 3: Использование формулы площади через диагональ

Площадь квадрата также можно найти по формуле $S = \frac{d^2}{2}$, где $d$ — длина его диагонали.Найдём длину диагонали, используя теорему Пифагора. Диагональ нашего квадрата является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, идущими по линиям сетки.Из рисунка видно, что проекции диагонали на оси сетки равны 1 клетке (1 см) и 5 клеткам (5 см).Тогда квадрат длины диагонали $d$ равен:$d^2 = 1^2 + 5^2 = 1 + 25 = 26$Теперь найдём площадь квадрата по формуле:$S = \frac{d^2}{2} = \frac{26}{2} = 13 \text{ см}?$

Ответ: 13 см?.

10. Найдите площадь S части круга, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (рис. 237). В ответе укажите число, равное $\frac{S}{\pi }$.

Для решения задачи найдем площадь $S$ закрашенной части круга, используя данные с клетчатой бумаги.

1. Сначала определим радиус круга. Из рисунка видно, что центр круга находится на пересечении линий сетки. Расстояние от центра до окружности, то есть радиус $r$, составляет 4 клетки. Поскольку размер одной клетки 1 см ? 1 см, радиус круга равен $r = 4$ см.

2. Теперь вычислим площадь всего круга ($A_{круга}$) по формуле $A = \pi r^2$: $A_{круга} = \pi \cdot 4^2 = 16\pi$ см?.

3. Закрашенная фигура представляет собой сектор круга. Чтобы найти его площадь, определим его центральный угол. Незакрашенная часть круга — это сектор, ограниченный двумя радиусами, которые лежат на линиях сетки, образуя прямой угол. Следовательно, угол незакрашенного сектора равен 90°. Полный угол окружности — 360°. Тогда угол закрашенного сектора равен $360^\circ - 90^\circ = 270^\circ$.

4. Площадь сектора $S$ можно найти как долю от площади всего круга, соответствующую его центральному углу: $S = A_{круга} \cdot \frac{270^\circ}{360^\circ} = 16\pi \cdot \frac{3}{4} = 12\pi$ см?.

5. По условию задачи требуется найти число, равное $\frac{S}{\pi}$. Подставим найденное значение $S$: $\frac{S}{\pi} = \frac{12\pi}{\pi} = 12$.

Ответ: 12

11. Найдите диагональ квадрата, если его площадь равна 2.

Для решения этой задачи можно воспользоваться двумя способами.

Способ 1: Через нахождение стороны квадрата

1. Площадь квадрата $S$ вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ – длина стороны квадрата. Согласно условию, площадь равна 2.
Следовательно, мы можем составить уравнение: $a^2 = 2$.
Отсюда находим длину стороны квадрата: $a = \sqrt{2}$ (длина стороны может быть только положительным числом).

2. Диагональ квадрата $d$, вместе с двумя его сторонами $a$, образует прямоугольный равнобедренный треугольник, в котором диагональ является гипотенузой. По теореме Пифагора:
$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$.

3. Теперь мы можем подставить найденное ранее значение $a^2 = 2$ в это уравнение:
$d^2 = 2 \cdot 2 = 4$.
Извлекая квадратный корень, находим длину диагонали:
$d = \sqrt{4} = 2$.

Способ 2: Через формулу площади и диагонали

1. Существует формула, которая напрямую связывает площадь квадрата $S$ и его диагональ $d$:
$S = \frac{d^2}{2}$.

2. Подставим известное из условия значение площади $S = 2$ в эту формулу:
$2 = \frac{d^2}{2}$.

3. Выразим $d^2$ из полученного уравнения, умножив обе части на 2:
$d^2 = 2 \cdot 2 = 4$.

4. Найдем длину диагонали, извлекая квадратный корень:
$d = \sqrt{4} = 2$.

Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: 2.

12. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 8 и 12, а угол между ними равен 150°.

Для нахождения площади треугольника, у которого известны две стороны и угол между ними, применяется формула:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma)$

где $a$ и $b$ — это длины двух сторон, а $\gamma$ — это угол между ними.

По условию задачи нам даны:

Сторона $a = 8$.

Сторона $b = 12$.

Угол $\gamma = 150^{\circ}$.

Сначала найдем значение синуса угла $150^{\circ}$. Используем формулу приведения:

$\sin(150^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin(30^{\circ})$

Известно, что значение $\sin(30^{\circ})$ равно $\frac{1}{2}$.

Теперь подставим все известные значения в формулу для площади треугольника:

$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2}$

Проведем вычисления:

$S = 4 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2} = 48 \cdot \frac{1}{2} = 24$

Таким образом, площадь треугольника равна 24.

Ответ: 24

13. Найдите площадь параллелограмма, если две его стороны равны 6 и 8, а угол между ними равен 30°.

Для вычисления площади параллелограмма, когда известны две его смежные стороны и угол между ними, применяется формула:

$S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$

где $a$ и $b$ – это длины сторон параллелограмма, а $\alpha$ – угол между этими сторонами.

Согласно условию задачи, у нас есть:

Сторона $a = 6$

Сторона $b = 8$

Угол $\alpha = 30^{\circ}$

Значение синуса для угла в $30^{\circ}$ является известной величиной:

$\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$

Теперь подставим все имеющиеся данные в формулу площади:

$S = 6 \cdot 8 \cdot \sin(30^{\circ})$

$S = 6 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}$

Выполним умножение:

$S = 48 \cdot \frac{1}{2}$

$S = 24$

Ответ: 24.

14. Площадь прямоугольного треугольника равна 12, а один из его катетов равен 6. Найдите другой катет.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле, связывающей его катеты. Если обозначить катеты как $a$ и $b$, а площадь как $S$, то формула будет следующей:
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

Согласно условию задачи, нам даны:
Площадь $S = 12$.
Длина одного из катетов, пусть это будет катет $a$, равна 6.

Подставим известные значения в формулу площади, чтобы найти неизвестный катет $b$:
$12 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot b$

Сначала упростим правую часть уравнения:
$12 = 3 \cdot b$

Теперь, чтобы найти $b$, разделим обе части уравнения на 3:
$b = \frac{12}{3}$
$b = 4$

Таким образом, длина другого катета прямоугольного треугольника составляет 4.
Ответ: 4

15. Основания трапеции равны 1 и 3, а высота равна 1. Найдите площадь трапеции.

Для нахождения площади трапеции используется формула, связывающая длины её оснований и высоту. Формула площади трапеции $S$ имеет вид:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

где $a$ и $b$ — это длины оснований трапеции, а $h$ — её высота.

По условию задачи нам даны следующие значения:

• длина одного основания $a = 1$;
• длина второго основания $b = 3$;
• высота $h = 1$.

Теперь подставим эти значения в формулу для вычисления площади:

$S = \frac{1+3}{2} \cdot 1$

Выполним вычисления по шагам:

1. Сложим длины оснований в числителе: $1 + 3 = 4$.

2. Подставим полученное значение в формулу: $S = \frac{4}{2} \cdot 1$.

3. Выполним деление: $\frac{4}{2} = 2$.

4. Умножим результат на высоту: $S = 2 \cdot 1 = 2$.

Таким образом, площадь трапеции равна 2.

Ответ: 2

16. Периметры двух подобных многоугольников относятся как 3 : 5. Площадь меньшего многоугольника равна 36. Найдите площадь большего многоугольника.

Пусть $P_{меньш}$ и $S_{меньш}$ — периметр и площадь меньшего многоугольника, а $P_{больш}$ и $S_{больш}$ — периметр и площадь большего многоугольника.

По условию задачи, многоугольники подобны. Отношение периметров подобных многоугольников равно коэффициенту подобия $k$.

Из условия известно, что отношение периметров равно $3:5$:

$k = \frac{P_{меньш}}{P_{больш}} = \frac{3}{5}$

Отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S_{меньш}}{S_{больш}} = k^2$

Подставим значение коэффициента подобия в формулу для отношения площадей:

$\frac{S_{меньш}}{S_{больш}} = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}$

По условию, площадь меньшего многоугольника $S_{меньш} = 36$. Подставим это значение в полученное соотношение, чтобы найти площадь большего многоугольника $S_{больш}$:

$\frac{36}{S_{больш}} = \frac{9}{25}$

Теперь выразим $S_{больш}$ из этой пропорции:

$S_{больш} = \frac{36 \times 25}{9}$

Выполним вычисления:

$S_{больш} = 4 \times 25 = 100$

Таким образом, площадь большего многоугольника равна 100.

Ответ: 100

17. Найдите площадь круга, длина окружности которого равна π.

Для решения задачи воспользуемся двумя основными формулами для круга: формулой длины окружности и формулой площади круга.

1. Нахождение радиуса круга.
Длина окружности $C$ связана с ее радиусом $R$ формулой $C = 2\pi R$.
По условию задачи, длина окружности равна $C = \sqrt{\pi}$.
Приравняем правые части и выразим радиус:
$2\pi R = \sqrt{\pi}$
$R = \frac{\sqrt{\pi}}{2\pi}$
Чтобы упростить это выражение, вспомним, что $\pi = (\sqrt{\pi})^2$. Тогда:
$R = \frac{\sqrt{\pi}}{2(\sqrt{\pi})^2} = \frac{1}{2\sqrt{\pi}}$

2. Нахождение площади круга.
Площадь круга $S$ вычисляется по формуле $S = \pi R^2$.
Подставим в эту формулу найденное значение радиуса $R = \frac{1}{2\sqrt{\pi}}$:
$S = \pi \left( \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \right)^2$
Возведем в квадрат выражение в скобках:
$S = \pi \left( \frac{1^2}{(2\sqrt{\pi})^2} \right) = \pi \left( \frac{1}{4\pi} \right)$
Сократим $\pi$ в числителе и знаменателе:
$S = \frac{\pi}{4\pi} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$.

18. Найдите площадь сектора круга радиуса 1, длина дуги которого равна 2.

Для нахождения площади сектора круга можно воспользоваться формулой, которая связывает площадь ($S$) с радиусом круга ($R$) и длиной дуги ($L$).

Формула для площади сектора выглядит так:
$S = \frac{1}{2} L R$

Согласно условиям задачи, нам даны:
Радиус круга $R = 1$.
Длина дуги сектора $L = 2$.

Подставим известные значения в формулу:
$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1$

Выполним вычисления:
$S = 1 \cdot 1 = 1$

Таким образом, площадь сектора круга равна 1.

Альтернативный способ решения:
Можно сначала найти величину центрального угла сектора $\alpha$ в радианах. Длина дуги связана с радиусом и углом по формуле $L = \alpha R$.
Выразим угол: $\alpha = \frac{L}{R} = \frac{2}{1} = 2$ радиана.
Затем применим формулу площади сектора через угол: $S = \frac{1}{2} \alpha R^2$.
Подставим значения: $S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1^2 = 1$.
Результат совпадает, что подтверждает правильность решения.

Ответ: 1

19. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 16 и одна сторона на 2 меньше другой.

Для нахождения площади прямоугольника нам необходимо определить длины его сторон. Обозначим стороны прямоугольника как $a$ и $b$.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. Согласно условию, периметр равен 16. Составим уравнение:
$2(a + b) = 16$
Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти сумму длин сторон:
$a + b = 8$

В условии также сказано, что одна сторона на 2 меньше другой. Выразим одну сторону через другую. Пусть $a$ будет меньшей стороной, тогда:
$a = b - 2$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) $a + b = 8$
2) $a = b - 2$
Подставим выражение для $a$ из второго уравнения в первое:
$(b - 2) + b = 8$
$2b - 2 = 8$
$2b = 8 + 2$
$2b = 10$
$b = 5$

Мы нашли длину большей стороны. Теперь найдем длину меньшей стороны, подставив значение $b = 5$ в уравнение $a = b - 2$:
$a = 5 - 2 = 3$
Итак, стороны прямоугольника равны 3 и 5.

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется как произведение его сторон: $S = a \cdot b$.
$S = 3 \cdot 5 = 15$

Ответ: 15.