Страница 237 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

8. Углы A и C треугольника ABC равны 45° и 60°. Отрезки AM, BN и CK — высоты треугольника. Найдите отношение $\frac{MN}{KN}$.

Пусть в треугольнике $ABC$ даны углы $\angle A = 45^{\circ}$ и $\angle C = 60^{\circ}$. Сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ}$, поэтому третий угол $\angle B = 180^{\circ} - \angle A - \angle C = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 60^{\circ} = 75^{\circ}$.

Отрезки $AM$, $BN$ и $CK$ являются высотами треугольника, опущенными на стороны $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно. Точки $M$, $N$, $K$ — основания этих высот. Требуется найти отношение длин отрезков $MN$ и $KN$.

Рассмотрим треугольник $AKN$. Так как $CK$ — высота, то $\triangle AKC$ — прямоугольный, и $AK = AC \cdot \cos(\angle A)$. Так как $BN$ — высота, то $\triangle ANB$ — прямоугольный, и $AN = AB \cdot \cos(\angle A)$.
В $\triangle AKN$ применим теорему косинусов для стороны $KN$:
$KN^2 = AK^2 + AN^2 - 2 \cdot AK \cdot AN \cdot \cos(\angle A)$
$KN^2 = (AC \cdot \cos(A))^2 + (AB \cdot \cos(A))^2 - 2 \cdot (AC \cdot \cos(A)) \cdot (AB \cdot \cos(A)) \cdot \cos(A)$
$KN^2 = \cos^2(A) \cdot (AC^2 + AB^2 - 2 \cdot AC \cdot AB \cdot \cos(A))$
Выражение в скобках по теореме косинусов для $\triangle ABC$ равно $BC^2$. Обозначим стороны $BC=a, AC=b, AB=c$. Тогда $b^2+c^2-2bc \cos(A) = a^2$.
$KN^2 = a^2 \cdot \cos^2(A) \Rightarrow KN = a \cdot |\cos(A)|$. Так как $\angle A = 45^{\circ}$ — острый, $KN = a \cdot \cos(A)$.

Аналогично рассмотрим треугольник $CMN$. Так как $AM$ — высота, то $\triangle AMC$ — прямоугольный, и $CM = AC \cdot \cos(\angle C)$. Так как $BN$ — высота, то $\triangle BNC$ — прямоугольный, и $CN = BC \cdot \cos(\angle C)$.
В $\triangle CMN$ применим теорему косинусов для стороны $MN$:
$MN^2 = CM^2 + CN^2 - 2 \cdot CM \cdot CN \cdot \cos(\angle C)$
$MN^2 = (AC \cdot \cos(C))^2 + (BC \cdot \cos(C))^2 - 2 \cdot (AC \cdot \cos(C)) \cdot (BC \cdot \cos(C)) \cdot \cos(C)$
$MN^2 = \cos^2(C) \cdot (AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(C))$
Выражение в скобках по теореме косинусов для $\triangle ABC$ равно $AB^2$. То есть $b^2+a^2-2ab \cos(C) = c^2$.
$MN^2 = c^2 \cdot \cos^2(C) \Rightarrow MN = c \cdot |\cos(C)|$. Так как $\angle C = 60^{\circ}$ — острый, $MN = c \cdot \cos(C)$.

Теперь найдем искомое отношение $\frac{MN}{KN}$:
$\frac{MN}{KN} = \frac{c \cdot \cos(C)}{a \cdot \cos(A)}$
По теореме синусов в $\triangle ABC$ имеем: $\frac{a}{\sin(A)} = \frac{c}{\sin(C)}$, откуда $\frac{c}{a} = \frac{\sin(C)}{\sin(A)}$.
Подставим это соотношение в нашу формулу: $\frac{MN}{KN} = \frac{\sin(C)}{\sin(A)} \cdot \frac{\cos(C)}{\cos(A)} = \frac{\sin(C)\cos(C)}{\sin(A)\cos(A)}$
Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$, получаем:
$\frac{MN}{KN} = \frac{\frac{1}{2}\sin(2C)}{\frac{1}{2}\sin(2A)} = \frac{\sin(2C)}{\sin(2A)}$

Подставим значения углов $A=45^{\circ}$ и $C=60^{\circ}$:
$\frac{MN}{KN} = \frac{\sin(2 \cdot 60^{\circ})}{\sin(2 \cdot 45^{\circ})} = \frac{\sin(120^{\circ})}{\sin(90^{\circ})}$
Так как $\sin(120^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 60^{\circ}) = \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(90^{\circ}) = 1$, то:
$\frac{MN}{KN} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

9. В треугольнике ABC проведена медиана BM. Известно, что $\frac{\sin \angle ABM}{\sin \angle CBM}$= $\frac{1}{2}$. Найдите отношение $\frac{BC}{AB}$.

Рассмотрим треугольник $ABC$ с медианой $BM$. Медиана делит исходный треугольник на два: $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$.

Так как $BM$ — медиана, то она делит сторону $AC$ пополам, то есть $AM = MC$.

Треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$ имеют равные площади, поскольку у них равные основания ($AM=MC$) и общая высота, проведенная из вершины $B$ к стороне $AC$.

Таким образом, $S_{\triangle ABM} = S_{\triangle CBM}$.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ — две стороны, а $\gamma$ — угол между ними.

Запишем площади треугольников $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$, используя эту формулу:

$S_{\triangle ABM} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BM \cdot \sin{\angle ABM}$

$S_{\triangle CBM} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BM \cdot \sin{\angle CBM}$

Приравняем выражения для площадей, так как мы установили, что они равны:

$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BM \cdot \sin{\angle ABM} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BM \cdot \sin{\angle CBM}$

Сократим обе части равенства на общий множитель $\frac{1}{2}BM$ (так как длина медианы $BM$ не равна нулю):

$AB \cdot \sin{\angle ABM} = BC \cdot \sin{\angle CBM}$

Чтобы найти искомое отношение $\frac{BC}{AB}$, преобразуем полученное равенство. Разделим обе части на $AB$ и на $\sin{\angle CBM}$ (эти величины не равны нулю):

$\frac{BC}{AB} = \frac{\sin{\angle ABM}}{\sin{\angle CBM}}$

Из условия задачи нам известно, что $\frac{\sin{\angle ABM}}{\sin{\angle CBM}} = \frac{1}{2}$.

Следовательно, искомое отношение равно:

$\frac{BC}{AB} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

10. Точки M и N — середины сторон BC и CD параллелограмма ABCD. Отрезки AM и BN пересекаются в точке O. Найдите отношение $\frac{MO}{OA}$.

Для решения данной задачи воспользуемся методом подобных треугольников, применив дополнительное построение.

1. Дополнительное построение и анализ.

Продлим отрезок $BN$ за точку $N$ до пересечения с прямой, содержащей сторону $AD$ параллелограмма. Обозначим точку их пересечения как $K$.

Рассмотрим треугольники $\triangle BCN$ и $\triangle KDN$.

• $CN = DN$, так как по условию задачи точка $N$ является серединой стороны $CD$.

• $\angle BNC = \angle KND$, так как эти углы являются вертикальными.

• В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны параллельны, то есть $BC \parallel AD$. Так как точка $K$ лежит на продолжении прямой $AD$, то $BC \parallel AK$. При пересечении этих параллельных прямых $BC$ и $AK$ секущей $BK$ образуются равные накрест лежащие углы: $\angle NBC = \angle NKD$ (или $\angle CBN = \angle DKN$).

Таким образом, треугольники $\triangle BCN$ и $\triangle KDN$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $KD = BC$.

2. Нахождение длины отрезка $AK$.

По свойству параллелограмма, длина стороны $AD$ равна длине стороны $BC$, то есть $AD = BC$. Длина отрезка $AK$ складывается из длин отрезков $AD$ и $DK$:

$AK = AD + KD = BC + BC = 2BC$

3. Подобие треугольников и нахождение отношения.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle MOB$ и $\triangle AOK$. Точка $O$ является точкой пересечения отрезков $AM$ и $BN$ (а следовательно, и отрезков $AM$ и $BK$).

• $\angle MOB = \angle AOK$, так как эти углы являются вертикальными.

• Как мы установили ранее, $BC \parallel AK$. Поскольку точка $M$ лежит на стороне $BC$, то $BM \parallel AK$. При пересечении этих параллельных прямых секущей $AM$ образуются равные накрест лежащие углы: $\angle OMB = \angle OAK$.

Следовательно, треугольники $\triangle MOB$ и $\triangle AOK$ подобны по двум углам ($\triangle MOB \sim \triangle AOK$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{MO}{OA} = \frac{MB}{AK} = \frac{OB}{OK}$

Для нахождения искомого отношения $\frac{MO}{OA}$ воспользуемся отношением $\frac{MB}{AK}$.

По условию, $M$ — середина стороны $BC$, значит, $MB = \frac{1}{2}BC$.

Ранее мы нашли, что $AK = 2BC$.

Подставим эти выражения в нашу пропорцию:

$\frac{MO}{OA} = \frac{MB}{AK} = \frac{\frac{1}{2}BC}{2BC} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$.

11. Средняя линия трапеции равна 4, углы при одном из оснований равны 40° и 50°. Найдите основания трапеции, если отрезок, соединяющий середины оснований, равен 1.

Обозначим основания трапеции как $a$ и $b$. Пусть $a$ - большее основание, а $b$ - меньшее.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. По условию задачи она равна 4. Это дает нам первое уравнение:
$\frac{a+b}{2} = 4$, откуда $a+b = 8$.

Углы при одном из оснований равны $40^\circ$ и $50^\circ$. В трапеции основание, прилежащее к острым углам, больше основания, прилежащего к тупым. Значит, данные углы расположены при большем основании $a$.

Продлим боковые стороны трапеции до их пересечения в точке $S$. Образуется треугольник, в котором основание $a$ является одной из сторон, а прилежащие к ней углы равны $40^\circ$ и $50^\circ$. Найдем угол при вершине $S$ этого треугольника, используя свойство о сумме углов треугольника:
$\angle S = 180^\circ - (40^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Следовательно, этот треугольник является прямоугольным, а основание $a$ — его гипотенузой.

Пусть $P$ и $Q$ — середины оснований $b$ и $a$ соответственно. По условию, отрезок $PQ$ равен 1.

Рассмотрим медиану $SQ$, проведенную из вершины прямого угла $S$ к гипотенузе $a$. Её длина равна половине гипотенузы: $SQ = \frac{a}{2}$.

Так как основания трапеции параллельны ($b \parallel a$), то меньший треугольник с основанием $b$ и вершиной $S$ подобен большему треугольнику. Он также является прямоугольным, и его медиана $SP$, проведенная к гипотенузе $b$, равна $SP = \frac{b}{2}$.

Медианы $SP$ и $SQ$ лежат на одной прямой, так как являются соответствующими элементами в подобных треугольниках. Длина отрезка $PQ$, соединяющего середины оснований, равна разности длин этих медиан (поскольку $a > b$, то $SQ > SP$):
$PQ = SQ - SP$.
Подставив известные значения, получаем второе уравнение:
$1 = \frac{a}{2} - \frac{b}{2}$, откуда $a-b=2$.

Теперь решим систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} a+b=8 \\ a-b=2 \end{cases}$

Складывая два уравнения, получаем: $(a+b) + (a-b) = 8+2$, что дает $2a = 10$, и следовательно, $a=5$.
Подставляя найденное значение $a=5$ в первое уравнение, находим $b$: $5+b=8$, следовательно, $b=3$.

Ответ: основания трапеции равны 3 и 5.

12. Диагональ равнобедренной трапеции равна 10 и образует угол в 60° с основанием трапеции. Найдите среднюю линию трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD$ – большее основание). По условию, диагональ $AC = 10$, а угол, который она образует с большим основанием $AD$, равен $60^\circ$, то есть $\angle CAD = 60^\circ$. Необходимо найти среднюю линию трапеции.

Средняя линия трапеции, обозначим ее $m$, вычисляется по формуле, как полусумма ее оснований:

$m = \frac{AD + BC}{2}$

Для решения задачи проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AD$. Мы получим прямоугольный треугольник $ACH$ с прямым углом $\angle CHA = 90^\circ$.

В этом треугольнике нам известны гипотенуза $AC=10$ и острый угол $\angle CAH = 60^\circ$. Мы можем найти катет $AH$, который является проекцией диагонали на большее основание. Используем для этого косинус угла $\angle CAH$:

$\cos(\angle CAH) = \frac{AH}{AC}$

$AH = AC \cdot \cos(60^\circ)$

Поскольку $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, то:

$AH = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$

Теперь воспользуемся известным свойством равнобедренной трапеции. В равнобедренной трапеции длина отрезка, соединяющего вершину и основание высоты, проведенной из этой вершины (в нашем случае $AH$), равна полусумме оснований.

Докажем это. Проведем вторую высоту $BK$ из вершины $B$ на то же основание $AD$. Так как трапеция равнобедренная, то отрезки $AK$ и $HD$ равны: $AK = HD$. Четырехугольник $BCHK$ является прямоугольником, поскольку $BC \parallel AD$ и высоты $BK$ и $CH$ перпендикулярны $AD$. Следовательно, $KH = BC$.

Длина большего основания $AD$ может быть представлена как сумма отрезков: $AD = AK + KH + HD$.

Подставим $KH=BC$ и $HD=AK$:

$AD = AK + BC + AK = 2 \cdot AK + BC$

Отсюда можно выразить $AK$: $AK = \frac{AD - BC}{2}$.

Отрезок $AH$, который мы нашли, состоит из двух частей: $AH = AK + KH$. Подставив известные нам выражения для $AK$ и $KH$, получим:

$AH = \frac{AD - BC}{2} + BC = \frac{AD - BC + 2 \cdot BC}{2} = \frac{AD + BC}{2}$

Таким образом, мы доказали, что длина отрезка $AH$ равна средней линии трапеции $m$.

Поскольку мы вычислили, что $AH = 5$, то и средняя линия трапеции равна 5.

Ответ: 5

13. В выпуклом четырёхугольнике ABCD отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, пересекаются под углом 60°, а их длины относятся как 1 : 3. Чему равна меньшая диагональ четырёхугольника ABCD, если большая равна 39?

Пусть $ABCD$ — данный выпуклый четырёхугольник. Обозначим длины его диагоналей $AC$ и $BD$ как $d_1$ и $d_2$ соответственно. Пусть $m_1$ и $m_2$ — длины отрезков, соединяющих середины противоположных сторон (эти отрезки также называют бимедианами).

Существует две формулы, связывающие длины диагоналей и бимедиан произвольного четырёхугольника. Если $\phi$ — угол между бимедианами, то справедливы следующие соотношения, известные как следствия из теоремы Эйлера для четырёхугольника:

1) Сумма квадратов длин диагоналей: $d_1^2 + d_2^2 = 2(m_1^2 + m_2^2)$.

2) Разность квадратов длин диагоналей: $d_1^2 - d_2^2 = \pm 4 m_1 m_2 \cos\phi$. Знак в формуле зависит от того, как соотнесены диагонали и бимедианы, но для нахождения длин можно использовать модуль разности.

По условию задачи, угол между бимедианами равен $60^\circ$, следовательно $\phi = 60^\circ$ и $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$. Длины бимедиан относятся как $1:3$. Обозначим их длины как $m_1 = x$ и $m_2 = 3x$ для некоторого положительного числа $x$.

Подставим эти значения в первую формулу:

$d_1^2 + d_2^2 = 2(x^2 + (3x)^2) = 2(x^2 + 9x^2) = 2(10x^2) = 20x^2$.

Теперь воспользуемся второй формулой. Так как мы ищем длины, нам важен модуль разности квадратов длин диагоналей:

$|d_1^2 - d_2^2| = 4 m_1 m_2 \cos(60^\circ) = 4 \cdot x \cdot 3x \cdot \frac{1}{2} = 12x^2 \cdot \frac{1}{2} = 6x^2$.

Таким образом, мы получили систему уравнений для квадратов длин диагоналей $d_1^2$ и $d_2^2$:

$d_1^2 + d_2^2 = 20x^2$

$|d_1^2 - d_2^2| = 6x^2$

Пусть $D_L$ — большая диагональ, а $D_S$ — меньшая. Тогда $D_L^2$ и $D_S^2$ — квадраты их длин. Система примет вид:

$D_L^2 + D_S^2 = 20x^2$

$D_L^2 - D_S^2 = 6x^2$

Сложив эти два уравнения, получим:

$2D_L^2 = 26x^2 \implies D_L^2 = 13x^2$.

Вычтя второе уравнение из первого, получим:

$2D_S^2 = 14x^2 \implies D_S^2 = 7x^2$.

По условию, большая диагональ равна $\sqrt{39}$. Следовательно, $D_L = \sqrt{39}$, а квадрат её длины $D_L^2 = 39$.

Приравняем полученные выражения для $D_L^2$:

$13x^2 = 39$.

Отсюда находим $x^2$:

$x^2 = \frac{39}{13} = 3$.

Теперь можем найти квадрат длины меньшей диагонали, подставив значение $x^2$:

$D_S^2 = 7x^2 = 7 \cdot 3 = 21$.

Следовательно, длина меньшей диагонали равна $D_S = \sqrt{21}$.

Ответ: $\sqrt{21}$.

14. Четырёхугольник ABCD — трапеция с основаниями AD и BC. Найдите AC, если AB = 27, CD = 28, BC = 5 и cos ∠BCD = -$\frac{2}{7}$.

Пусть $ABCD$ - данная трапеция с основаниями $AD$ и $BC$. Для решения задачи проведём из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на основание $AD$. Так как $BC \parallel AD$ и $BH \perp AD$, $CK \perp AD$, то четырёхугольник $BCKH$ является прямоугольником. Из этого следует, что $HK = BC = 5$ и высоты трапеции равны: $BH = CK$.

Поскольку основания трапеции $AD$ и $BC$ параллельны, а сторона $CD$ является секущей, сумма односторонних внутренних углов $\angle ADC$ и $\angle BCD$ равна $180^\circ$: $\angle ADC + \angle BCD = 180^\circ$. Это позволяет найти косинус угла $\angle ADC$, используя формулу приведения: $\cos \angle ADC = \cos(180^\circ - \angle BCD) = -\cos \angle BCD$. Подставляя известное значение $\cos \angle BCD = -\frac{2}{7}$: $\cos \angle ADC = -(-\frac{2}{7}) = \frac{2}{7}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CKD$. Катет $KD$ можно выразить через гипотенузу $CD = 28$ и косинус прилежащего угла $\angle KDC$ (который равен $\angle ADC$): $KD = CD \cdot \cos \angle KDC = 28 \cdot \frac{2}{7} = 8$. Высоту $CK$ найдем по теореме Пифагора: $CK^2 = CD^2 - KD^2 = 28^2 - 8^2 = 784 - 64 = 720$. $CK = \sqrt{720} = \sqrt{144 \cdot 5} = 12\sqrt{5}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. Мы знаем, что гипотенуза $AB = 27$ и катет $BH = CK = 12\sqrt{5}$. Найдем второй катет $AH$ по теореме Пифагора: $AH^2 = AB^2 - BH^2 = 27^2 - (12\sqrt{5})^2 = 729 - 720 = 9$. $AH = \sqrt{9} = 3$.

Для нахождения диагонали $AC$ воспользуемся прямоугольным треугольником $\triangle ACK$. Его катетами являются $CK$ и $AK$. Длина отрезка $AK$ складывается из длин отрезков $AH$ и $HK$: $AK = AH + HK = 3 + 5 = 8$. Применим теорему Пифагора для $\triangle ACK$: $AC^2 = AK^2 + CK^2 = 8^2 + (12\sqrt{5})^2 = 64 + 720 = 784$. Извлекая квадратный корень, получаем искомую длину диагонали $AC$: $AC = \sqrt{784} = 28$.

Ответ: 28.

15. Окружность с центром O касается двух параллельных прямых. Касательная к окружности пересекает эти прямые в точках A и B. Найдите угол AOB.

Решение:

Пусть окружность с центром в точке $O$ касается двух параллельных прямых $l_1$ и $l_2$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Пусть третья касательная, пересекающая $l_1$ в точке $A$ и $l_2$ в точке $B$, касается окружности в точке $K$.

Воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки. Согласно этому свойству, отрезки касательных, проведенные из одной точки, равны, а отрезок, соединяющий эту точку с центром окружности, является биссектрисой угла, образованного касательными.

1. Для точки $A$ касательными являются отрезки $AM$ (часть прямой $l_1$) и $AK$. Следовательно, отрезок $OA$ является биссектрисой угла $MAK$. Это означает, что $\angle OAK = \frac{1}{2} \angle MAK$.

2. Аналогично, для точки $B$ касательными являются отрезки $BN$ (часть прямой $l_2$) и $BK$. Следовательно, отрезок $OB$ является биссектрисой угла $NBK$. Это означает, что $\angle OBK = \frac{1}{2} \angle NBK$.

По условию, прямые $l_1$ и $l_2$ параллельны ($l_1 \parallel l_2$). Прямая $AB$ является секущей для этих параллельных прямых. Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна $180^\circ$. В нашем случае это углы $MAB$ и $NBA$ (которые также можно обозначить как $\angle MAK$ и $\angle NBK$).
Таким образом, мы имеем равенство: $\angle MAK + \angle NBK = 180^\circ$.

Рассмотрим треугольник $AOB$. Сумма его внутренних углов равна $180^\circ$:
$\angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^\circ$.

Заметим, что $\angle OAB$ это тот же угол, что и $\angle OAK$, а $\angle OBA$ это тот же угол, что и $\angle OBK$. Подставим в уравнение суммы углов треугольника выражения для этих углов, полученные из свойства биссектрис:
$\angle OAB = \frac{1}{2} \angle MAK$
$\angle OBA = \frac{1}{2} \angle NBK$

Получаем:
$\angle AOB + \frac{1}{2} \angle MAK + \frac{1}{2} \angle NBK = 180^\circ$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:
$\angle AOB + \frac{1}{2} (\angle MAK + \angle NBK) = 180^\circ$

Теперь подставим известное нам значение суммы углов $\angle MAK + \angle NBK = 180^\circ$:
$\angle AOB + \frac{1}{2} (180^\circ) = 180^\circ$
$\angle AOB + 90^\circ = 180^\circ$

Отсюда находим искомый угол $AOB$:
$\angle AOB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Ответ: $90^\circ$.

16. Через точку M, лежащую вне окружности с центром O и радиусом R, проведены касательные MA и MB к этой окружности (A и B — точки касания). Прямые OA и MB пересекаются в точке C. Найдите OC, если известно, что отрезок OM делится окружностью пополам.

Пусть K — точка пересечения отрезка OM с окружностью. По условию, отрезок OM делится окружностью пополам, это означает, что точка K является серединой отрезка OM. Так как OK — это радиус окружности, то $OK = R$. Следовательно, $KM = OK = R$, а длина всего отрезка OM составляет $OM = OK + KM = R + R = 2R$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAM$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, $OA \perp MA$, и $\triangle OAM$ является прямоугольным с прямым углом при вершине A ($\angle OAM = 90^\circ$). В этом треугольнике известны катет $OA = R$ (радиус) и гипотенуза $OM = 2R$.

Найдем углы этого треугольника. Угол $\angle AOM$ можно найти через косинус:
$\cos(\angle AOM) = \frac{OA}{OM} = \frac{R}{2R} = \frac{1}{2}$
Из этого следует, что $\angle AOM = 60^\circ$.

Аналогично рассмотрим треугольник $\triangle OBM$. Он также является прямоугольным ($\angle OBM = 90^\circ$) с катетом $OB = R$ и гипотенузой $OM = 2R$. Найдем угол $\angle OMB$:
$\sin(\angle OMB) = \frac{OB}{OM} = \frac{R}{2R} = \frac{1}{2}$
Из этого следует, что $\angle OMB = 30^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle OCM$. Точка C является точкой пересечения прямых OA и MB. Это означает, что точки O, A, C лежат на одной прямой, а точки M, B, C — на другой. Таким образом, углы треугольника $\triangle OCM$ связаны с углами, которые мы уже нашли:
- Угол при вершине O, $\angle MOC$, совпадает с углом $\angle MOA$, так как C лежит на прямой OA. Следовательно, $\angle MOC = 60^\circ$.
- Угол при вершине M, $\angle OMC$, совпадает с углом $\angle OMB$, так как C лежит на прямой MB. Следовательно, $\angle OMC = 30^\circ$.

Зная два угла треугольника $\triangle OCM$, найдем третий угол при вершине C:
$\angle OCM = 180^\circ - (\angle MOC + \angle OMC) = 180^\circ - (60^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Таким образом, треугольник $\triangle OCM$ является прямоугольным с прямым углом при вершине C. В этом прямоугольном треугольнике нам известна гипотенуза $OM = 2R$ и углы. Мы можем найти длину катета OC, используя тригонометрические соотношения:
$OC = OM \cdot \cos(\angle MOC) = 2R \cdot \cos(60^\circ) = 2R \cdot \frac{1}{2} = R$.
Или, используя другой угол:
$OC = OM \cdot \sin(\angle OMC) = 2R \cdot \sin(30^\circ) = 2R \cdot \frac{1}{2} = R$.
Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $R$.

17. Трапеция с основаниями 14 и 40 вписана в окружность радиуса 25. Найдите высоту трапеции.

Поскольку трапеция вписана в окружность, она является равнобедренной. Ось симметрии равнобедренной трапеции проходит через середины оснований и через центр описанной окружности. Высота трапеции — это расстояние между ее основаниями.

Пусть основания трапеции равны $a = 40$ и $b = 14$, а радиус описанной окружности $R = 25$. Проведем через центр окружности $O$ прямую, перпендикулярную основаниям. Эта прямая пересечет основания в их серединах.

Существует два возможных случая расположения оснований относительно центра окружности.

Случай 1: Центр окружности лежит между основаниями трапеции.

В этом случае высота трапеции $h$ будет равна сумме расстояний от центра окружности до каждого из оснований.

Найдем расстояние $h_1$ от центра окружности до большего основания ($a=40$). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом $R$, половиной большего основания ($a/2$) и расстоянием $h_1$. Половина большего основания равна $40 / 2 = 20$.

По теореме Пифагора: $R^2 = h_1^2 + (a/2)^2$ $25^2 = h_1^2 + 20^2$ $625 = h_1^2 + 400$ $h_1^2 = 625 - 400 = 225$ $h_1 = \sqrt{225} = 15$

Теперь найдем расстояние $h_2$ от центра окружности до меньшего основания ($b=14$). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом $R$, половиной меньшего основания ($b/2$) и расстоянием $h_2$. Половина меньшего основания равна $14 / 2 = 7$.

По теореме Пифагора: $R^2 = h_2^2 + (b/2)^2$ $25^2 = h_2^2 + 7^2$ $625 = h_2^2 + 49$ $h_2^2 = 625 - 49 = 576$ $h_2 = \sqrt{576} = 24$

Высота трапеции $h$ равна сумме этих расстояний: $h = h_1 + h_2 = 15 + 24 = 39$

Ответ: 39

Случай 2: Основания трапеции лежат по одну сторону от центра окружности.

В этом случае высота трапеции $h$ будет равна разности расстояний от центра окружности до оснований. Расстояния от центра до оснований мы уже вычислили в первом случае: $h_1 = 15$ (до большего основания) и $h_2 = 24$ (до меньшего основания).

Высота трапеции $h$ равна разности этих расстояний: $h = h_2 - h_1 = 24 - 15 = 9$

Ответ: 9

18. Три окружности разных радиусов попарно касаются друг друга извне. Отрезки, соединяющие их центры, образуют прямоугольный треугольник. Найдите радиус меньшей окружности, если радиусы двух других равны 6 и 4.

Пусть радиусы трех окружностей равны $r_1=6$, $r_2=4$ и $r_3=x$, где $x$ — искомый радиус. Поскольку окружности попарно касаются друг друга извне, их центры образуют треугольник. Длины сторон этого треугольника равны суммам соответствующих радиусов:

• Сторона $a$, соединяющая центры окружностей с радиусами $r_2$ и $r_3$: $a = 4 + x$
• Сторона $b$, соединяющая центры окружностей с радиусами $r_1$ и $r_3$: $b = 6 + x$
• Сторона $c$, соединяющая центры окружностей с радиусами $r_1$ и $r_2$: $c = 6 + 4 = 10$

По условию, этот треугольник является прямоугольным, следовательно, его стороны должны удовлетворять теореме Пифагора. Необходимо рассмотреть все возможные случаи, в зависимости от того, какая из сторон является гипотенузой.

Случай 1: гипотенузой является сторона $c = 10$.

В этом случае сторона $c$ должна быть самой длинной, то есть $10 > 6+x$ и $10 > 4+x$. Оба неравенства выполняются, если $x < 4$. Применим теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:

$(4+x)^2 + (6+x)^2 = 10^2$

$16 + 8x + x^2 + 36 + 12x + x^2 = 100$

$2x^2 + 20x + 52 = 100$

$2x^2 + 20x - 48 = 0$

$x^2 + 10x - 24 = 0$

Решая это квадратное уравнение, находим корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -12$. Так как радиус не может быть отрицательным, единственное подходящее решение — $x = 2$. Это значение удовлетворяет нашему предположению $x < 4$. В этом случае радиусы окружностей равны {2, 4, 6}, и радиус меньшей окружности в этом наборе действительно равен 2.

Случай 2: гипотенузой является сторона $b = 6+x$.

В этом случае сторона $b$ должна быть самой длинной. Так как $b = 6+x$ всегда больше, чем $a = 4+x$, требуется только выполнение условия $6+x > 10$, что означает $x > 4$. Применим теорему Пифагора $a^2 + c^2 = b^2$:

$(4+x)^2 + 10^2 = (6+x)^2$

$16 + 8x + x^2 + 100 = 36 + 12x + x^2$

$116 + 8x = 36 + 12x$

$80 = 4x$

$x = 20$

Это значение удовлетворяет нашему предположению $x > 4$. В этом случае радиусы окружностей равны {4, 6, 20}, и радиус меньшей окружности в этом наборе равен 4.

Случай 3: гипотенузой является сторона $a = 4+x$.

Этот случай невозможен, так как для любого положительного радиуса $x$ сторона $b=6+x$ всегда длиннее стороны $a=4+x$, а катет не может быть длиннее гипотенузы.

Таким образом, мы получили два математически возможных сценария. В первом радиус третьей окружности равен 2, а набор радиусов — {2, 4, 6}. Меньший радиус в этом наборе — 2. Во втором сценарии радиус третьей окружности равен 20, а набор радиусов — {4, 6, 20}. Меньший радиус в этом наборе — 4. Формулировка вопроса «Найдите радиус меньшей окружности» в единственном числе предполагает одно-единственное решение. Наиболее естественная интерпретация состоит в том, что искомый радиус $x$ и является радиусом наименьшей из трех окружностей. Это условие ($x<4$) выполняется только в первом случае. Во втором случае найденный радиус $x=20$ не является наименьшим. Следовательно, наиболее логичным и соответствующим вопросу является решение из первого случая.

Ответ: 2

19. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности и гипотенузы делит гипотенузу на отрезки, равные 5 и 12. Найдите катеты треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник, катеты которого равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$.

По условию, точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 и 12. Следовательно, длина гипотенузы $c$ равна их сумме: $c = 5 + 12 = 17$.

Воспользуемся свойством отрезков касательных, проведенных из одной вершины к вписанной окружности: отрезки касательных от вершины до точек касания равны. Пусть $r$ — радиус вписанной окружности.

Обозначим вершины треугольника как $A$, $B$ и $C$, где $\angle C = 90^\circ$. Пусть точка касания на гипотенузе $AB$ делит ее на отрезки, примыкающие к вершинам $A$ и $B$, равные 5 и 12 соответственно. Тогда, согласно свойству касательных, отрезки касательных от вершины $A$ до точек касания на катете $AC$ и гипотенузе $AB$ равны 5. Аналогично, отрезки касательных от вершины $B$ до точек касания на катете $BC$ и гипотенузе $AB$ равны 12.

В прямоугольном треугольнике четырехугольник, образованный вершиной прямого угла $C$, центром вписанной окружности и точками касания на катетах, является квадратом со стороной, равной радиусу вписанной окружности $r$.

Таким образом, длины катетов можно выразить через $r$:

Катет $a = 12 + r$

Катет $b = 5 + r$

Применим теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:

$(12+r)^2 + (5+r)^2 = 17^2$

Раскроем скобки:

$144 + 24r + r^2 + 25 + 10r + r^2 = 289$

Приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение:

$2r^2 + 34r + 169 = 289$

$2r^2 + 34r - 120 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:

$r^2 + 17r - 60 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать дискриминант или теорему Виета. Найдем корни:

$D = 17^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 289 + 240 = 529 = 23^2$

$r_1 = \frac{-17 - 23}{2} = \frac{-40}{2} = -20$

$r_2 = \frac{-17 + 23}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Так как радиус окружности не может быть отрицательной величиной, выбираем корень $r=3$.

Теперь найдем длины катетов:

Первый катет: $a = 12 + r = 12 + 3 = 15$.

Второй катет: $b = 5 + r = 5 + 3 = 8$.

Проверим: $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$. Равенство выполняется.

Ответ: катеты треугольника равны 8 и 15.

20. Окружности с центрами O₁ и O₂ пересекаются в точках A и B. Известно, что ∠AO₁B = 90°, ∠AO₂B = 60° и O₁O₂ = a. Найдите радиусы окружностей.

Пусть $R_1$ и $R_2$ — радиусы окружностей с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ соответственно. Точки A и B — точки пересечения окружностей, следовательно, AB — их общая хорда.

Рассмотрим треугольник $\triangle AO_1B$. По условию, стороны $O_1A$ и $O_1B$ являются радиусами первой окружности, поэтому $O_1A = O_1B = R_1$. Угол при вершине $\angle AO_1B = 90^\circ$. Таким образом, $\triangle AO_1B$ — это равнобедренный прямоугольный треугольник. Длину общей хорды AB можно найти по теореме Пифагора:$AB^2 = O_1A^2 + O_1B^2 = R_1^2 + R_1^2 = 2R_1^2$.Отсюда, $AB = \sqrt{2R_1^2} = R_1\sqrt{2}$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AO_2B$. По условию, стороны $O_2A$ и $O_2B$ являются радиусами второй окружности, поэтому $O_2A = O_2B = R_2$. Угол при вершине $\angle AO_2B = 60^\circ$. Поскольку $\triangle AO_2B$ является равнобедренным с углом при вершине $60^\circ$, то он равносторонний. Следовательно, все его стороны равны:$AB = O_2A = O_2B = R_2$.

Теперь у нас есть два выражения для длины хорды AB. Приравняв их, мы получаем соотношение между радиусами:$R_1\sqrt{2} = R_2$.

Линия, соединяющая центры окружностей, $O_1O_2$, перпендикулярна общей хорде AB и делит ее пополам. Обозначим точку их пересечения как M. Поскольку центральные углы $\angle AO_1B = 90^\circ$ и $\angle AO_2B = 60^\circ$, центры $O_1$ и $O_2$ находятся по разные стороны от хорды AB. Таким образом, расстояние между центрами $O_1O_2$ равно сумме длин отрезков $O_1M$ и $O_2M$:$O_1O_2 = O_1M + O_2M = a$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AO_1M$. Отрезок $O_1M$ является в нем катетом, а также высотой и биссектрисой в равнобедренном треугольнике $\triangle AO_1B$. Поэтому $\angle AO_1M = \frac{1}{2}\angle AO_1B = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$. Длину $O_1M$ можно найти из тригонометрических соотношений:$O_1M = O_1A \cdot \cos(\angle AO_1M) = R_1 \cos(45^\circ) = R_1 \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Аналогично рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AO_2M$. Отрезок $O_2M$ — это высота и биссектриса в равностороннем треугольнике $\triangle AO_2B$. Поэтому $\angle AO_2M = \frac{1}{2}\angle AO_2B = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$. Длина $O_2M$ равна:$O_2M = O_2A \cdot \cos(\angle AO_2M) = R_2 \cos(30^\circ) = R_2 \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим найденные выражения для $O_1M$ и $O_2M$ в уравнение для расстояния между центрами:$a = O_1M + O_2M = R_1 \frac{\sqrt{2}}{2} + R_2 \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Мы получили систему из двух уравнений для нахождения $R_1$ и $R_2$:$R_2 = R_1\sqrt{2}$$a = \frac{R_1\sqrt{2}}{2} + \frac{R_2\sqrt{3}}{2}$Подставим выражение для $R_2$ из первого уравнения во второе:$a = \frac{R_1\sqrt{2}}{2} + \frac{(R_1\sqrt{2})\sqrt{3}}{2} = \frac{R_1\sqrt{2}}{2} + \frac{R_1\sqrt{6}}{2} = R_1 \left( \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2} \right)$.

Выразим $R_1$:$R_1 = \frac{2a}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$.Упростим это выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{6} - \sqrt{2})$:$R_1 = \frac{2a(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{2a(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{2a(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = \frac{a(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2}$.

Теперь найдем $R_2$, используя соотношение $R_2 = R_1\sqrt{2}$:$R_2 = \left( \frac{a(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} \right) \cdot \sqrt{2} = \frac{a(\sqrt{12} - 2)}{2} = \frac{a(2\sqrt{3} - 2)}{2} = a(\sqrt{3} - 1)$.

Ответ: радиусы окружностей равны $\frac{a(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2}$ и $a(\sqrt{3} - 1)$.

21. Окружности радиусов 2 и 4 касаются в точке B. Через точку B проведена прямая, пересекающая меньшую окружность в точке A, а большую — в точке C (A и C отличны от B). Найдите отрезок BC, если AC = 32.

В данной задаче не указан тип касания окружностей (внешнее или внутреннее), поэтому необходимо рассмотреть оба случая.

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры меньшей и большей окружностей, а их радиусы $r_1 = 2$ и $r_2 = 4$ соответственно.

Ключевым свойством двух касающихся окружностей является то, что они гомотетичны относительно точки касания. Точка $A$ на меньшей окружности переходит в точку $C$ на большей окружности при гомотетии с центром в точке $B$. Коэффициент гомотетии $k$ равен отношению радиусов (с учётом знака).

1. Случай внешнего касания

При внешнем касании окружности расположены по разные стороны от общей касательной. Коэффициент гомотетии будет отрицательным: $k = -\frac{r_2}{r_1} = -\frac{4}{2} = -2$.

Преобразование гомотетии переводит точку $A$ в точку $C$, что означает выполнение векторного равенства: $\vec{BC} = k \cdot \vec{BA} = -2 \cdot \vec{BA}$.

Это равенство означает, что векторы $\vec{BC}$ и $\vec{BA}$ противоположно направлены, то есть точка $B$ лежит между точками $A$ и $C$. Длины отрезков связаны соотношением $BC = 2 \cdot BA$.

Поскольку точка $B$ лежит между $A$ и $C$, длина отрезка $AC$ равна сумме длин отрезков $AB$ и $BC$:

$AC = AB + BC$

Подставим $AB = \frac{BC}{2}$ в это выражение:

$AC = \frac{BC}{2} + BC = \frac{3}{2}BC$

Из условия задачи известно, что $AC = 3\sqrt{2}$. Найдем $BC$:

$3\sqrt{2} = \frac{3}{2}BC$

$BC = 3\sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} = 2\sqrt{2}$

2. Случай внутреннего касания

При внутреннем касании меньшая окружность находится внутри большей. Коэффициент гомотетии будет положительным: $k = \frac{r_2}{r_1} = \frac{4}{2} = 2$.

Векторное равенство для гомотетии будет: $\vec{BC} = k \cdot \vec{BA} = 2 \cdot \vec{BA}$.

Это равенство означает, что векторы $\vec{BC}$ и $\vec{BA}$ сонаправлены, то есть точка $A$ лежит между точками $B$ и $C$. Длины отрезков связаны соотношением $BC = 2 \cdot BA$.

Поскольку точка $A$ лежит между $B$ и $C$, длина отрезка $AC$ равна разности длин отрезков $BC$ и $BA$:

$AC = BC - BA$

У нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} BC = 2 \cdot BA \\ AC = BC - BA \end{cases}$

Подставим первое уравнение во второе:

$AC = 2 \cdot BA - BA = BA$

Следовательно, $BA = AC$. По условию $AC = 3\sqrt{2}$, значит $BA = 3\sqrt{2}$.

Теперь найдем $BC$ из первого уравнения:

$BC = 2 \cdot BA = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

Таким образом, задача имеет два возможных решения в зависимости от типа касания окружностей.

Ответ: $2\sqrt{2}$ или $6\sqrt{2}$.