Страница 241 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

11. Сделайте рисунок пробки, которой можно заткнуть отверстия трёх видов: треугольное, квадратное и круглое.

Задача состоит в том, чтобы спроектировать и нарисовать трехмерное тело (пробку), которое может полностью закрыть каждое из трех отверстий: круглое, квадратное и треугольное. Это означает, что проекции этого тела на три взаимно перпендикулярные плоскости должны представлять собой круг, квадрат и треугольник соответственно.

Такое тело существует. Его конструкция начинается с цельного цилиндра, у которого высота $h$ равна диаметру $d$. Если посмотреть на него с торца, его проекция будет кругом, а если сверху — квадратом (поскольку $h=d$). Чтобы получить третью, треугольную, проекцию, на цилиндре делают два симметричных плоских среза. Эти срезы начинаются от верхней образующей линии цилиндра и идут под углом к крайним боковым точкам его основания.

Математически, если поместить центр основания цилиндра в начало координат, а его высоту направить вдоль оси $z$, то форма пробки задается системой неравенств. Пусть радиус основания равен $R$, а высота и диаметр — $d=2R$. Тогда неравенства будут следующими: $x^2 + y^2 \le R^2$ и $0 \le z \le 2R - 2|y|$.

Эта фигура имеет следующие проекции:
1. Проекция на плоскость $xy$ (вид сверху) — это круг с уравнением $x^2+y^2 \le R^2$. Он закроет круглое отверстие диаметром $d=2R$.
2. Проекция на плоскость $xz$ (вид спереди) — это квадрат, заданный условиями $-R \le x \le R$ и $0 \le z \le 2R$. Он закроет квадратное отверстие со стороной $d=2R$.
3. Проекция на плоскость $yz$ (вид сбоку) — это равнобедренный треугольник с вершинами в точках $(y=-R, z=0)$, $(y=R, z=0)$ и $(y=0, z=2R)$. Он закроет треугольное отверстие с основанием $d=2R$ и высотой $d=2R$.

На рисунке слева показано само тело. Справа показаны его проекции (виды с разных сторон), которые соответствуют трем заданным формам отверстий. Таким образом, эта пробка действительно может заткнуть все три типа отверстий.

Ответ: Рисунок и описание пробки, которая может заткнуть треугольное, квадратное и круглое отверстия, представлены выше. Эта пробка представляет собой тело, полученное из цилиндра (с высотой, равной диаметру) путем выполнения двух клиновидных срезов. Проекции этого тела на три взаимно перпендикулярные плоскости являются кругом, квадратом и равнобедренным треугольником.

12. Из одного цилиндрического сосуда диаметром 15 см жидкость перелита в другой цилиндрический сосуд диаметром 5 см. Во сколько раз уровень жидкости в узком сосуде выше, чем в широком?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой объема цилиндра: $V = S \cdot h$, где $V$ — объем, $S$ — площадь основания, а $h$ — высота.

Обозначим параметры первого (широкого) сосуда индексом 1, а второго (узкого) — индексом 2. Таким образом, нам даны диаметры сосудов:
$d_1 = 15$ см
$d_2 = 5$ см

Поскольку жидкость переливают из одного сосуда в другой, ее объем остается неизменным. Обозначим объем жидкости как $V$. Тогда для первого и второго сосудов можно записать:
$V = V_1 = S_1 \cdot h_1$
$V = V_2 = S_2 \cdot h_2$
Отсюда следует, что $S_1 \cdot h_1 = S_2 \cdot h_2$.

Площадь основания цилиндра — это площадь круга, которая вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ — радиус основания. Так как радиус равен половине диаметра ($r = d/2$), формулу площади можно записать через диаметр:
$S = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$

Подставим выражения для площадей в наше равенство:
$\frac{\pi d_1^2}{4} \cdot h_1 = \frac{\pi d_2^2}{4} \cdot h_2$

Сократим обе части уравнения на общий множитель $\frac{\pi}{4}$:
$d_1^2 \cdot h_1 = d_2^2 \cdot h_2$

Нам необходимо найти, во сколько раз уровень жидкости в узком сосуде ($h_2$) выше, чем в широком ($h_1$). Для этого найдем отношение $\frac{h_2}{h_1}$:
$\frac{h_2}{h_1} = \frac{d_1^2}{d_2^2} = \left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2$

Подставим известные значения диаметров в полученную формулу:
$\frac{h_2}{h_1} = \left(\frac{15}{5}\right)^2 = 3^2 = 9$

Следовательно, уровень жидкости в узком сосуде в 9 раз выше, чем в широком.

Ответ: 9.

13. Найдите диаметр медной проволоки, 100 м которой весят 700 г (плотность меди 8,9 г/см³).

Для того чтобы найти диаметр медной проволоки, необходимо связать ее массу, длину, плотность и геометрические размеры. Проволока по своей форме является цилиндром.

Масса тела ($m$) определяется через его плотность ($\rho$) и объем ($V$) по формуле:

$m = \rho \cdot V$

Объем проволоки, как объем цилиндра, равен произведению площади ее поперечного сечения ($S$) на длину ($L$):

$V = S \cdot L$

Поперечное сечение проволоки представляет собой круг, площадь которого вычисляется через диаметр ($d$) следующим образом:

$S = \frac{\pi d^2}{4}$

Объединив эти формулы, мы можем выразить массу проволоки через ее диаметр:

$m = \rho \cdot (\frac{\pi d^2}{4}) \cdot L$

Из этого выражения найдем искомую величину — диаметр $d$:

$d^2 = \frac{4m}{\pi \rho L}$

$d = \sqrt{\frac{4m}{\pi \rho L}}$

Прежде чем производить расчеты, необходимо привести все данные к единой системе измерений. Так как плотность дана в г/см?, будет удобно перевести длину проволоки из метров в сантиметры.

Дано:

$L = 100 \text{ м} = 100 \cdot 100 \text{ см} = 10000 \text{ см}$

$m = 700 \text{ г}$

$\rho = 8,9 \text{ г/см}^3$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу для диаметра:

$d = \sqrt{\frac{4 \cdot 700 \text{ г}}{\pi \cdot 8,9 \text{ г/см}^3 \cdot 10000 \text{ см}}} = \sqrt{\frac{2800}{89000 \cdot \pi}} \text{ см}$

Произведем вычисления, используя значение $\pi \approx 3,14$:

$d \approx \sqrt{\frac{2800}{89000 \cdot 3,14}} \text{ см} \approx \sqrt{\frac{2800}{279460}} \text{ см} \approx \sqrt{0,010019} \text{ см} \approx 0,1 \text{ см}$

Полученный результат 0,1 см можно также выразить в миллиметрах: $0,1 \text{ см} = 1 \text{ мм}$.

Ответ: Диаметр медной проволоки составляет приблизительно 1 мм.

14. Найдите пропускную способность (в кубических метрах за 1 ч) круглой водосточной трубы диаметром 10 см, если скорость течения воды равна 2 м/с.

Пропускная способность, или объемный расход $Q$, определяется как объем жидкости, проходящей через поперечное сечение трубы за единицу времени. Она вычисляется по формуле: $Q = S \cdot v$, где $S$ – площадь поперечного сечения трубы, а $v$ – скорость течения.

Для решения задачи необходимо привести все величины к единой системе единиц. Переведем все данные в систему СИ (метры, секунды), а затем преобразуем результат в требуемые единицы (м?/ч).

Диаметр трубы дан в сантиметрах: $d = 10$ см. Переведем его в метры:

$d = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Радиус трубы $r$ равен половине диаметра:

$r = \frac{d}{2} = \frac{0.1 \text{ м}}{2} = 0.05 \text{ м}$

Теперь найдем площадь поперечного сечения трубы $S$. Так как труба круглая, используем формулу площади круга:

$S = \pi r^2 = \pi \cdot (0.05 \text{ м})^2 = 0.0025\pi \text{ м}^2$

Скорость течения воды дана: $v = 2$ м/с.

Теперь можно рассчитать пропускную способность в кубических метрах в секунду (м?/с):

$Q_{\text{с}} = S \cdot v = 0.0025\pi \text{ м}^2 \cdot 2 \text{ м/с} = 0.005\pi \text{ м}^3/\text{с}$

В задаче требуется найти пропускную способность в кубических метрах за час (м?/ч). В одном часе содержится $60 \cdot 60 = 3600$ секунд. Поэтому, чтобы перевести м?/с в м?/ч, нужно умножить полученное значение на 3600:

$Q_{\text{ч}} = Q_{\text{с}} \cdot 3600 = 0.005\pi \cdot 3600 \text{ м}^3/\text{ч}$

$Q_{\text{ч}} = 18\pi \text{ м}^3/\text{ч}$

Ответ: $18\pi$ м?/ч.

15. В бочку, имеющую цилиндрическую форму, налита вода. Как можно выяснить (не выливая из бочки воды и не производя вычислений), наполнена бочка больше или меньше чем наполовину?

Для того чтобы определить, наполнена ли цилиндрическая бочка больше или меньше чем наполовину, не прибегая к вычислениям и не выливая воду, необходимо выполнить следующее простое действие, основанное на геометрии цилиндра.

Нужно медленно и аккуратно наклонять бочку. Продолжайте наклонять её до тех пор, пока поверхность воды не коснётся самого верхнего края бочки, то есть до момента, когда вода будет готова вылиться. В этом положении необходимо посмотреть на дно бочки и возможны три ситуации:

1. Если бочка заполнена больше чем наполовину, то в момент, когда вода коснется верхнего края, дно бочки с противоположной стороны будет все еще полностью скрыто под водой.

2. Если бочка заполнена меньше чем наполовину, то когда вода достигнет верхнего края, часть дна с противоположной стороны будет уже видна (не покрыта водой).

3. Если бочка заполнена ровно наполовину, то уровень воды образует диагональную линию, которая в точности соединяет верхний край бочки с одной стороны и нижний край (стык дна и стенки) с противоположной стороны. В этом случае дно только-только начинает показываться.

Таким образом, наблюдая за дном бочки в момент, когда вода достигает её верхнего края при наклоне, можно однозначно определить степень её наполненности относительно половины.

Ответ: Нужно наклонять бочку, пока вода не достигнет её края. Если при этом видно дно — воды меньше половины, если дно не видно — больше половины.

16. Куча песка имеет форму конуса, у которого длина окружности основания равна 31,4 м, а образующая равна 5,4 м. Сколько трёхтонных машин потребуется для перевозки этого песка, если 1 м³ песка весит 2 т?

Для решения этой задачи необходимо последовательно найти радиус основания конуса, его высоту, объем, затем общую массу песка и, наконец, количество требуемых машин.

1. Нахождение радиуса основания конуса (r)
Длина окружности основания конуса ($C$) связана с его радиусом ($r$) формулой $C = 2\pi r$. По условию, $C = 31,4$ м. В качестве значения $\pi$ удобно взять $3,14$, так как $31,4 = 10 \times 3,14$.
Выразим радиус из формулы: $r = \frac{C}{2\pi} = \frac{31,4}{2 \times 3,14} = \frac{31,4}{6,28} = 5$ м.
Ответ: радиус основания конуса равен 5 м.

2. Нахождение высоты конуса (h)
Радиус основания ($r$), высота ($h$) и образующая ($l$) конуса образуют прямоугольный треугольник, где образующая является гипотенузой. Согласно теореме Пифагора, $l^2 = r^2 + h^2$. Из условия известно, что образующая $l = 5,4$ м, а радиус мы нашли на предыдущем шаге, $r = 5$ м.
Выразим высоту $h$: $h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{5,4^2 - 5^2} = \sqrt{29,16 - 25} = \sqrt{4,16}$ м.
$h \approx 2,04$ м.
Ответ: высота конуса равна $\sqrt{4,16}$ м.

3. Вычисление объема песка (V)
Куча песка имеет форму конуса, объем которого вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$.
Подставим известные значения: $V = \frac{1}{3} \times 3,14 \times 5^2 \times \sqrt{4,16} = \frac{1}{3} \times 3,14 \times 25 \times \sqrt{4,16} \approx \frac{1}{3} \times 78,5 \times 2,04 \approx 53,38$ м?.
Ответ: объем песка составляет примерно 53,38 м?.

4. Определение общей массы песка (M)
Из условия известно, что 1 м? песка весит 2 тонны. Чтобы найти массу всей кучи песка, нужно ее объем умножить на плотность (массу 1 м?):
$M = V \times 2 \approx 53,38 \times 2 = 106,76$ т.
Ответ: общая масса песка составляет примерно 106,76 т.

5. Расчет необходимого количества машин
Грузоподъемность одной машины — 3 тонны. Чтобы определить, сколько машин потребуется для перевозки всего песка, разделим общую массу песка на грузоподъемность одной машины:
Количество машин = $\frac{M}{3} \approx \frac{106,76}{3} \approx 35,59$.
Поскольку нельзя заказать неполное количество машин, а весь песок необходимо перевезти, полученное значение следует округлить до ближайшего целого числа в большую сторону.
Ответ: для перевозки всего песка потребуется 36 трёхтонных машин.

17. Сколько весит сено, сложенное в стог в форме цилиндра с коническим верхом, если радиус и высота цилиндрической части стога равны соответственно 3 м и 2 м, а высота конической части равна 2 м (плотность сена 0,07 г/см³)?

Для решения задачи необходимо найти общий объем стога, а затем умножить его на плотность сена. Стог представляет собой составное тело из цилиндра и конуса, стоящего на нем.

1. Вычисление объема цилиндрической части

Объем цилиндра ($V_{цил}$) вычисляется по формуле $V = \pi r^2 h$. Согласно условию, радиус основания $r = 3$ м, а высота цилиндрической части $h_{цил} = 2$ м.
$V_{цил} = \pi \cdot (3 \text{ м})^2 \cdot 2 \text{ м} = 18\pi \text{ м}^3$.

2. Вычисление объема конической части

Объем конуса ($V_{кон}$) вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$. Радиус основания конуса совпадает с радиусом цилиндра ($r = 3$ м), а высота конической части $h_{кон} = 2$ м.
$V_{кон} = \frac{1}{3}\pi \cdot (3 \text{ м})^2 \cdot 2 \text{ м} = \frac{1}{3}\pi \cdot 9 \text{ м}^2 \cdot 2 \text{ м} = 6\pi \text{ м}^3$.

3. Вычисление общего объема стога

Общий объем стога ($V_{общ}$) равен сумме объемов его частей:
$V_{общ} = V_{цил} + V_{кон} = 18\pi \text{ м}^3 + 6\pi \text{ м}^3 = 24\pi \text{ м}^3$.

4. Вычисление массы сена

Масса ($m$) находится по формуле $m = \rho \cdot V$, где $\rho$ - плотность. Плотность сена дана как $\rho = 0,07 \text{ г/см}^3$. Для согласования единиц измерения, переведем плотность в кг/м?.
Зная, что $1 \text{ м}^3 = (100 \text{ см})^3 = 1\;000\;000 \text{ см}^3$ и $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$, получаем:
$\rho = 0,07 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 0,07 \cdot \frac{0,001 \text{ кг}}{0,000001 \text{ м}^3} = 0,07 \cdot 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 70 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$.

Теперь вычисляем массу:
$m = V_{общ} \cdot \rho = 24\pi \text{ м}^3 \cdot 70 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 1680\pi \text{ кг}$.

Для получения численного ответа используем приближение $\pi \approx 3,1416$:
$m \approx 1680 \cdot 3,1416 = 5277,888$ кг.
Переведем массу в тонны (1 т = 1000 кг) и округлим до сотых:
$m \approx 5,28$ т.

Ответ: масса сена в стоге составляет приблизительно 5,28 т.

18. Ведро имеет форму усечённого конуса, радиусы оснований которого равны 15 см и 10 см, а образующая равна 30 см. Сколько килограммов краски нужно для того, чтобы покрасить с обеих сторон 100 таких вёдер, если на 1 м² требуется 150 г краски? (Толщину стенок ведра не учитывать.)

Для решения задачи необходимо последовательно выполнить следующие шаги: найти площадь поверхности одного ведра, которую нужно покрасить; рассчитать общую площадь для 100 вёдер; и, наконец, определить массу необходимой краски.

Ведро имеет форму усечённого конуса. Его параметры: радиус большего основания (верхнего) $R = 15$ см, радиус меньшего основания (дна) $r = 10$ см, и образующая $l = 30$ см. Поскольку ведро не имеет крышки, его поверхность состоит из дна (меньшего основания) и боковой поверхности.

1. Найдём площадь поверхности одного ведра для покраски.
Сначала вычислим площадь одной стороны ведра (например, внешней). Она складывается из площади дна и площади боковой поверхности.
Площадь дна (круга с радиусом $r$):
$S_{дна} = \pi r^2 = \pi \cdot (10 \text{ см})^2 = 100\pi \text{ см}^2$.
Площадь боковой поверхности усечённого конуса:
$S_{бок} = \pi(R+r)l = \pi(15 \text{ см} + 10 \text{ см}) \cdot 30 \text{ см} = \pi \cdot 25 \text{ см} \cdot 30 \text{ см} = 750\pi \text{ см}^2$.
Площадь одной стороны ведра:
$S_{1} = S_{дна} + S_{бок} = 100\pi + 750\pi = 850\pi \text{ см}^2$.
По условию, вёдра нужно покрасить с обеих сторон, поэтому площадь покраски одного ведра удваивается:
$S_{ведро} = 2 \cdot S_{1} = 2 \cdot 850\pi = 1700\pi \text{ см}^2$.

2. Рассчитаем общую площадь для покраски 100 вёдер и необходимое количество краски.
Общая площадь для 100 вёдер:
$S_{общ} = 100 \cdot S_{ведро} = 100 \cdot 1700\pi = 170000\pi \text{ см}^2$.
Переведём общую площадь в квадратные метры, зная, что $1 \text{ м}^2 = 10000 \text{ см}^2$:
$S_{общ} = \frac{170000\pi}{10000} \text{ м}^2 = 17\pi \text{ м}^2$.
Расход краски составляет 150 г на 1 м$^2$. Найдём общую массу краски в граммах:
$M_{г} = S_{общ} \cdot 150 \text{ г/м}^2 = 17\pi \cdot 150 = 2550\pi \text{ г}$.
Переведём массу в килограммы (в 1 кг 1000 г):
$M_{кг} = \frac{2550\pi}{1000} \text{ кг} = 2,55\pi \text{ кг}$.
Для получения численного ответа, примем $\pi \approx 3,14$:
$M_{кг} \approx 2,55 \cdot 3,14 = 8,007 \text{ кг}$. Округляя до сотых, получаем 8,01 кг.

Ответ: $2,55\pi$ кг, что составляет приблизительно 8,01 кг краски.

19. Во сколько раз объём Земли больше объёма Луны? (Диаметр Земли считать равным 12 740 км, а диаметр Луны — 3474 км.)

Для решения данной задачи будем считать, что Земля и Луна имеют форму идеальных шаров. Объём шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ — это радиус шара.

Чтобы найти, во сколько раз объём Земли ($V_З$) больше объёма Луны ($V_Л$), необходимо вычислить отношение их объёмов: $\frac{V_З}{V_Л}$.

Запишем формулы для объёмов Земли и Луны:
$V_З = \frac{4}{3}\pi R_З^3$, где $R_З$ — радиус Земли.
$V_Л = \frac{4}{3}\pi R_Л^3$, где $R_Л$ — радиус Луны.

Теперь найдём отношение их объёмов:
$\frac{V_З}{V_Л} = \frac{\frac{4}{3}\pi R_З^3}{\frac{4}{3}\pi R_Л^3}$

Общий множитель $\frac{4}{3}\pi$ в числителе и знаменателе сокращается, поэтому отношение объёмов равно отношению кубов их радиусов:
$\frac{V_З}{V_Л} = \frac{R_З^3}{R_Л^3} = \left(\frac{R_З}{R_Л}\right)^3$

Так как радиус ($R$) равен половине диаметра ($D$), то есть $R = D/2$, отношение радиусов равно отношению диаметров:
$\frac{R_З}{R_Л} = \frac{D_З/2}{D_Л/2} = \frac{D_З}{D_Л}$

Следовательно, мы можем вычислить искомое отношение, используя диаметры, данные в условии задачи:
$\frac{V_З}{V_Л} = \left(\frac{D_З}{D_Л}\right)^3$

Подставим числовые значения:
Диаметр Земли $D_З = 12740$ км.
Диаметр Луны $D_Л = 3474$ км.

Произведём расчёт:
$\frac{V_З}{V_Л} = \left(\frac{12740}{3474}\right)^3 \approx (3.6672)^3 \approx 49.325$

Таким образом, объём Земли больше объёма Луны примерно в 49 раз.

Ответ: Объём Земли больше объёма Луны примерно в 49 раз.

20. Восемь свинцовых шаров радиуса 1 см расплавили и изготовили из них один шар. Найдите его радиус.

Для решения этой задачи используется принцип сохранения объема: объем полученного большого шара будет равен суммарному объему восьми исходных маленьких шаров.

Сначала найдем объем одного маленького шара. Формула объема шара: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$, где $r$ — это радиус шара.

Радиус одного маленького шара по условию равен $r_{мал} = 1$ см. Подставим это значение в формулу, чтобы найти объем одного маленького шара $V_{мал}$:

$V_{мал} = \frac{4}{3}\pi (1)^3 = \frac{4}{3}\pi \text{ см}^3$.

Так как было 8 одинаковых шаров, их общий объем $V_{общ}$ равен:

$V_{общ} = 8 \times V_{мал} = 8 \times \frac{4}{3}\pi = \frac{32}{3}\pi \text{ см}^3$.

Объем нового большого шара $V_{бол}$ равен общему объему маленьких шаров. Пусть радиус нового шара равен $R$. Его объем можно выразить той же формулой:

$V_{бол} = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Теперь приравняем общий объем маленьких шаров и объем большого шара:

$\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{32}{3}\pi$.

Для того чтобы найти $R$, решим полученное уравнение. Сократим обе части уравнения на общий множитель $\frac{4}{3}\pi$:

$R^3 = \frac{32}{4}$

$R^3 = 8$

Чтобы найти радиус $R$, извлечем кубический корень из 8:

$R = \sqrt[3]{8} = 2$.

Следовательно, радиус нового большого шара составляет 2 см.

Ответ: 2 см.

21. Человек прошёл километр на север, затем километр на запад и километр на юг. Мог ли он при этом вернуться в исходное положение?

На первый взгляд может показаться, что это невозможно. Если рассматривать движение на плоскости, то человек, пройдя 1 км на север, а затем 1 км на юг, вернётся на исходную широту, но окажется на 1 км западнее начальной точки. Однако Земля является сферой, и это кардинально меняет ситуацию, особенно вблизи географических полюсов.

Такая ситуация возможна, если человек начнёт своё путешествие вблизи Южного полюса. Представим себе параллель (линию широты) в Южном полушарии, длина которой составляет ровно 1 километр. Обозначим радиус этой воображаемой окружности на поверхности Земли как $r$. Длина этой окружности (параллели) будет $C = 2\pi r = 1$ км.

Теперь рассмотрим следующий маршрут:

1. Начальная точка человека находится на 1 км севернее от этой самой параллели, длина которой 1 км.

2. Человек проходит 1 км на север и оказывается точно на этой параллели.

3. Затем он проходит 1 км на запад. Поскольку длина всей параллели, по которой он идёт, равна 1 км, он совершает полный оборот и возвращается в ту же точку, с которой начал движение на запад.

4. Наконец, он проходит 1 км на юг, двигаясь по меридиану в обратном направлении своему первому шагу. В результате он возвращается точно в свою исходную точку.

Более того, существует бесконечное множество таких стартовых точек. Например, человек мог бы начать свой путь на 1 км севернее параллели, длина которой составляет 1/2 км, 1/3 км и так далее (в общем виде $1/n$ км, где $n$ — натуральное число). Пройдя 1 км на запад по такой параллели, он совершил бы $n$ полных оборотов и всё равно вернулся бы в ту же точку перед последним шагом на юг.

Ответ: Да, мог.

22. При каких условиях расход жести на изготовление консервных банок цилиндрической формы заданной ёмкости будет наименьшим? Другими словами, найдите размеры цилиндра данного объёма V, площадь поверхности которого наименьшая.

Для решения данной задачи необходимо найти размеры цилиндра — радиус основания $r$ и высоту $h$ — при которых площадь его полной поверхности $S$ будет наименьшей для заданного объёма $V$. Расход жести на изготовление банки пропорционален площади её полной поверхности.

1. Формулы объёма и площади поверхности

Объём цилиндра выражается формулой: $V = \pi r^2 h$

Площадь полной поверхности цилиндра, которая складывается из площади двух оснований (кругов) и площади боковой поверхности, вычисляется по формуле: $S = 2\pi r^2 + 2\pi rh$

2. Выражение площади поверхности как функции одной переменной

Поскольку объём $V$ задан и является постоянной величиной, мы можем выразить одну из переменных ($h$ или $r$) через другую. Выразим высоту $h$ через радиус $r$ из формулы объёма: $h = \frac{V}{\pi r^2}$

Теперь подставим это выражение для $h$ в формулу площади поверхности, чтобы получить функцию $S$, зависящую только от одной переменной $r$: $S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \left( \frac{V}{\pi r^2} \right) = 2\pi r^2 + \frac{2V}{r}$

3. Нахождение минимума функции площади поверхности

Чтобы найти значение $r$, при котором площадь $S$ будет минимальной, необходимо найти производную функции $S(r)$ по переменной $r$ и приравнять её к нулю.

Найдём производную $S'(r)$: $S'(r) = \frac{d}{dr} \left( 2\pi r^2 + \frac{2V}{r} \right) = 4\pi r - \frac{2V}{r^2}$

Приравняем производную к нулю для поиска критических точек: $4\pi r - \frac{2V}{r^2} = 0$

$4\pi r = \frac{2V}{r^2}$

$4\pi r^3 = 2V$

$r^3 = \frac{2V}{4\pi} = \frac{V}{2\pi}$

Отсюда находим значение радиуса, которое является кандидатом на точку минимума: $r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$

Для проверки того, что это действительно точка минимума, найдём вторую производную $S''(r)$: $S''(r) = \frac{d}{dr} \left( 4\pi r - 2Vr^{-2} \right) = 4\pi + 4Vr^{-3} = 4\pi + \frac{4V}{r^3}$

Так как радиус $r$ и объём $V$ — величины строго положительные, то $S''(r) > 0$. Положительное значение второй производной в критической точке подтверждает, что это точка локального минимума. Поскольку это единственная критическая точка для $r > 0$, она является точкой глобального минимума.

4. Определение оптимальных размеров

Мы нашли оптимальный радиус. Теперь найдём соотношение между высотой и радиусом. Из шага 3 мы знаем, что $V = 2\pi r^3$. Подставим это в выражение для высоты $h = \frac{V}{\pi r^2}$: $h = \frac{2\pi r^3}{\pi r^2} = 2r$

Это и есть искомое условие: расход материала будет наименьшим, когда высота цилиндра равна его диаметру ($D=2r$). Такой цилиндр называется равносторонним.

Теперь найдём явные выражения для размеров цилиндра через заданный объём $V$:

• Радиус: $r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$
• Высота: $h = 2r = 2\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}} = \sqrt[3]{8 \cdot \frac{V}{2\pi}} = \sqrt[3]{\frac{4V}{\pi}}$

Ответ: Расход жести на изготовление консервной банки будет наименьшим при условии, что её высота равна диаметру основания ($h=2r$). Для цилиндра заданного объёма $V$ его оптимальные размеры равны: радиус $r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$ и высота $h = \sqrt[3]{\frac{4V}{\pi}}$.

23. Почему, когда мы смотрим в зеркало, правое и левое меняются местами, а верх и низ нет? А что произойдёт, если мы встанем на зеркальный пол?

Почему, когда мы смотрим в зеркало, правое и левое меняются местами, а верх и низ нет?

Это популярное заблуждение. На самом деле, плоское зеркало не меняет местами левое и правое. Оно инвертирует (обращает) изображение вдоль оси, перпендикулярной его поверхности. Проще говоря, оно меняет местами «перед» и «зад».

Представьте, что вы стоите перед вертикальным зеркалом. Ось «верх-низ» параллельна поверхности зеркала, поэтому ваше отражение тоже стоит прямо: голова отражения находится наверху, а ноги — внизу. Верх и низ не поменялись местами.

Теперь рассмотрим ось «вперед-назад». Если вы сделаете шаг к зеркалу, ваше отражение тоже сделает шаг к вам. Если вы протянете руку вперед, рука отражения будет двигаться вам навстречу. Направление «вперед» для вас стало направлением «назад» для вашего отражения. Именно эта ось инвертируется.

Так откуда же берется путаница с «лево» и «право»? Она возникает из-за того, как мы себя воспринимаем. Когда вы поднимаете правую руку, ваше отражение тоже поднимает свою правую руку. Но из-за инверсии «вперед-назад» эта рука отражения находится на той стороне, которая с вашей точки зрения является левой. Мы мысленно пытаемся «повернуть» отражение и поставить его на свое место, а такой поворот вокруг вертикальной оси как раз и меняет местами левую и правую стороны.

Ответ: Зеркало инвертирует не левое и правое, а переднее и заднее (направление, перпендикулярное зеркалу). Оси «верх-низ» и «лево-право» параллельны зеркалу, поэтому они не инвертируются. Кажущаяся смена левого и правого — это особенность нашего восприятия трехмерного отражения, инвертированного по глубине.

А что произойдёт, если мы встанем на зеркальный пол?

Если мы встанем на зеркальный пол, зеркало будет расположено горизонтально. В этом случае осью, перпендикулярной зеркалу, станет ось «верх-низ».

Применяя тот же принцип, что и выше, мы можем заключить, что зеркальный пол будет инвертировать изображение именно вдоль вертикальной оси.

• Ваша голова, находящаяся вверху, в отражении окажется внизу.
• Ваши ноги, касающиеся зеркального пола, в отражении будут тоже «касаться» пола, но будут направлены вверх, навстречу вашим реальным ногам.
• Оси «лево-право» и «вперед-назад» теперь будут параллельны поверхности зеркала, а значит, они инвертироваться не будут. Если вы посмотрите вниз и помашете правой рукой, то и ваше отражение помашет своей правой рукой, и она будет находиться с той же (правой) стороны.

Ответ: Если мы встанем на зеркальный пол, то верх и низ поменяются местами, а левое и правое — нет. В отражении мы увидим себя перевернутыми с ног на голову.

24. Вырежите из прямоугольного листа бумаги фигуру, изображённую на рисунке 241. (Клеем не пользоваться.)

Для того чтобы вырезать данную фигуру из одного прямоугольного листа бумаги без использования клея, необходимо применить технику киригами, которая включает в себя складывание и разрезание. Фигура представляет собой две скрещенные и сцепленные друг с другом полосы, которые на самом деле являются частями единого листа бумаги, хитроумно сложенного и надрезанного. Вот пошаговая инструкция:

1. Возьмите прямоугольный лист бумаги. Для лучшего результата используйте лист с соотношением сторон примерно 2:3.
2. Сложите лист пополам по его короткой оси (как книгу или открытку). У вас получится прямоугольник, сложенный вдвое. Линия сгиба будет с одной стороны, а открытые края — с противоположной.
3. Расположите сложенный лист так, чтобы линия сгиба была слева. Теперь со стороны сгиба сделайте два параллельных надреза. Надрезы должны быть параллельны верхней и нижней сторонам листа. Начинайте резать от линии сгиба и остановитесь, не доходя 1–2 сантиметра до правого (открытого) края. Эти разрезы разделят ваш сложенный лист на три соединенные справа полосы: верхнюю, среднюю и нижнюю.
   Схема разрезов на сложенном листе:

    <-- Открытый край -->+--------------------+| Верхняя полоса ||==================> | <-- Надрез 1+--------------------+| Средняя полоса ||==================> | <-- Надрез 2+--------------------+| Нижняя полоса |+--------------------+^|Линия сгиба 

4. Это самый ответственный этап. Возьмите среднюю полосу. Так как она тоже сложена вдвое, аккуратно раскройте её по линии сгиба, превратив в петлю.
5. Проденьте верхнюю и нижнюю полосы (которые все еще сложены вместе) через петлю, образованную средней полосой.
6. После того как вы продели полосы, расправьте среднюю полосу, но теперь сложите ее по первоначальной линии сгиба в обратную сторону. То есть, если изначально это был сгиб "долиной" (внутрь), то теперь он должен стать сгибом "горой" (наружу). По сути, вы выворачиваете сгиб средней полосы наизнанку вокруг двух других.
7. Аккуратно разверните всю конструкцию, включая первоначальный сгиб из шага 2. Вы получите плоскую фигуру из двух параллельных полос, которые соединены по краям и выглядят переплетенными.
8. Чтобы придать фигуре объемный вид, как на рисунке, осталось сделать финальные сгибы. Центральная часть, где полосы пересекаются, должна быть вдавлена вниз, а сами полосы — выгнуты вверх.
   • Сделайте сгибы "горой" (выпуклые наружу) вдоль центральных осей каждой из двух длинных полос.
   • В центральном квадрате, где полосы пересекаются, сделайте четыре сгиба "долиной" (вогнутые внутрь), идущие из центра к углам этого квадрата.
   • На концах каждой полосы сделайте небольшие поперечные сгибы, чтобы сформировать "ножки", как на рисунке.

В результате этих действий у вас получится трехмерная фигура, изображенная на рисунке, сделанная из цельного листа бумаги без единой капли клея.

Ответ: Фигуру можно изготовить из прямоугольного листа бумаги, сложив его пополам, сделав два параллельных надреза со стороны сгиба, а затем выполнив хитрую манипуляцию-скручивание со средней полосой и последующее формирование объемных сгибов, как описано в инструкции выше.