Номер 18, страница 241 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

18. Ведро имеет форму усечённого конуса, радиусы оснований которого равны 15 см и 10 см, а образующая равна 30 см. Сколько килограммов краски нужно для того, чтобы покрасить с обеих сторон 100 таких вёдер, если на 1 м² требуется 150 г краски? (Толщину стенок ведра не учитывать.)

Для решения задачи необходимо последовательно выполнить следующие шаги: найти площадь поверхности одного ведра, которую нужно покрасить; рассчитать общую площадь для 100 вёдер; и, наконец, определить массу необходимой краски.

Ведро имеет форму усечённого конуса. Его параметры: радиус большего основания (верхнего) $R = 15$ см, радиус меньшего основания (дна) $r = 10$ см, и образующая $l = 30$ см. Поскольку ведро не имеет крышки, его поверхность состоит из дна (меньшего основания) и боковой поверхности.

1. Найдём площадь поверхности одного ведра для покраски.
Сначала вычислим площадь одной стороны ведра (например, внешней). Она складывается из площади дна и площади боковой поверхности.
Площадь дна (круга с радиусом $r$):
$S_{дна} = \pi r^2 = \pi \cdot (10 \text{ см})^2 = 100\pi \text{ см}^2$.
Площадь боковой поверхности усечённого конуса:
$S_{бок} = \pi(R+r)l = \pi(15 \text{ см} + 10 \text{ см}) \cdot 30 \text{ см} = \pi \cdot 25 \text{ см} \cdot 30 \text{ см} = 750\pi \text{ см}^2$.
Площадь одной стороны ведра:
$S_{1} = S_{дна} + S_{бок} = 100\pi + 750\pi = 850\pi \text{ см}^2$.
По условию, вёдра нужно покрасить с обеих сторон, поэтому площадь покраски одного ведра удваивается:
$S_{ведро} = 2 \cdot S_{1} = 2 \cdot 850\pi = 1700\pi \text{ см}^2$.

2. Рассчитаем общую площадь для покраски 100 вёдер и необходимое количество краски.
Общая площадь для 100 вёдер:
$S_{общ} = 100 \cdot S_{ведро} = 100 \cdot 1700\pi = 170000\pi \text{ см}^2$.
Переведём общую площадь в квадратные метры, зная, что $1 \text{ м}^2 = 10000 \text{ см}^2$:
$S_{общ} = \frac{170000\pi}{10000} \text{ м}^2 = 17\pi \text{ м}^2$.
Расход краски составляет 150 г на 1 м$^2$. Найдём общую массу краски в граммах:
$M_{г} = S_{общ} \cdot 150 \text{ г/м}^2 = 17\pi \cdot 150 = 2550\pi \text{ г}$.
Переведём массу в килограммы (в 1 кг 1000 г):
$M_{кг} = \frac{2550\pi}{1000} \text{ кг} = 2,55\pi \text{ кг}$.
Для получения численного ответа, примем $\pi \approx 3,14$:
$M_{кг} \approx 2,55 \cdot 3,14 = 8,007 \text{ кг}$. Округляя до сотых, получаем 8,01 кг.

Ответ: $2,55\pi$ кг, что составляет приблизительно 8,01 кг краски.