Номер 11, страница 241 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

11. Сделайте рисунок пробки, которой можно заткнуть отверстия трёх видов: треугольное, квадратное и круглое.

Задача состоит в том, чтобы спроектировать и нарисовать трехмерное тело (пробку), которое может полностью закрыть каждое из трех отверстий: круглое, квадратное и треугольное. Это означает, что проекции этого тела на три взаимно перпендикулярные плоскости должны представлять собой круг, квадрат и треугольник соответственно.

Такое тело существует. Его конструкция начинается с цельного цилиндра, у которого высота $h$ равна диаметру $d$. Если посмотреть на него с торца, его проекция будет кругом, а если сверху — квадратом (поскольку $h=d$). Чтобы получить третью, треугольную, проекцию, на цилиндре делают два симметричных плоских среза. Эти срезы начинаются от верхней образующей линии цилиндра и идут под углом к крайним боковым точкам его основания.

Математически, если поместить центр основания цилиндра в начало координат, а его высоту направить вдоль оси $z$, то форма пробки задается системой неравенств. Пусть радиус основания равен $R$, а высота и диаметр — $d=2R$. Тогда неравенства будут следующими: $x^2 + y^2 \le R^2$ и $0 \le z \le 2R - 2|y|$.

Эта фигура имеет следующие проекции:
1. Проекция на плоскость $xy$ (вид сверху) — это круг с уравнением $x^2+y^2 \le R^2$. Он закроет круглое отверстие диаметром $d=2R$.
2. Проекция на плоскость $xz$ (вид спереди) — это квадрат, заданный условиями $-R \le x \le R$ и $0 \le z \le 2R$. Он закроет квадратное отверстие со стороной $d=2R$.
3. Проекция на плоскость $yz$ (вид сбоку) — это равнобедренный треугольник с вершинами в точках $(y=-R, z=0)$, $(y=R, z=0)$ и $(y=0, z=2R)$. Он закроет треугольное отверстие с основанием $d=2R$ и высотой $d=2R$.

На рисунке слева показано само тело. Справа показаны его проекции (виды с разных сторон), которые соответствуют трем заданным формам отверстий. Таким образом, эта пробка действительно может заткнуть все три типа отверстий.

Ответ: Рисунок и описание пробки, которая может заткнуть треугольное, квадратное и круглое отверстия, представлены выше. Эта пробка представляет собой тело, полученное из цилиндра (с высотой, равной диаметру) путем выполнения двух клиновидных срезов. Проекции этого тела на три взаимно перпендикулярные плоскости являются кругом, квадратом и равнобедренным треугольником.