Номер 5, страница 240 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

5. По четырём дорогам, никакие две из которых не параллельны и никакие три не проходят через одну точку, с постоянными скоростями идут 4 пешехода. Известно, что первый пешеход встретился со вторым, третьим и четвёртым, а второй — с третьим и четвёртым. Докажите, что третий пешеход встретился с четвёртым.

Обозначим положение $i$-го пешехода в момент времени $t$ как радиус-вектор $\vec{r_i}(t)$. Поскольку пешеходы движутся с постоянными скоростями, закон их движения можно записать в виде: $$ \vec{r_i}(t) = \vec{p_i} + \vec{v_i}t $$ где $\vec{p_i}$ — это начальное положение пешехода (в $t=0$), а $\vec{v_i}$ — его постоянный вектор скорости. Дорога, по которой движется $i$-й пешеход, представляет собой прямую линию, заданную этим уравнением.

Условие, что два пешехода, $i$-й и $j$-й, встретились, означает, что в некоторый момент времени $t_{ij}$ их положения совпали: $$ \vec{r_i}(t_{ij}) = \vec{r_j}(t_{ij}) $$ Из этого следует: $$ \vec{p_i} + \vec{v_i}t_{ij} = \vec{p_j} + \vec{v_j}t_{ij} $$ $$ \vec{p_i} - \vec{p_j} = (\vec{v_j} - \vec{v_i})t_{ij} $$ Это уравнение имеет решение для $t_{ij}$ тогда и только тогда, когда вектор начального относительного положения $(\vec{p_i} - \vec{p_j})$ коллинеарен (параллелен) вектору относительной скорости $(\vec{v_i} - \vec{v_j})$. В двумерном пространстве условие коллинеарности двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ можно записать с помощью векторного (псевдоскалярного) произведения как $[\vec{a}, \vec{b}] = 0$. Таким образом, условие встречи $i$-го и $j$-го пешеходов имеет вид: $$ [(\vec{p_i} - \vec{p_j}), (\vec{v_i} - \vec{v_j})] = 0 $$

Для решения задачи удобно перейти в систему отсчёта, связанную с первым пешеходом. В этой системе отсчёта положение и скорость $j$-го пешехода будут: $$ \vec{r'_j}(t) = \vec{r_j}(t) - \vec{r_1}(t) = (\vec{p_j} - \vec{p_1}) + (\vec{v_j} - \vec{v_1})t $$ Обозначим новые начальные положения и скорости как $\vec{p'_j} = \vec{p_j} - \vec{p_1}$ и $\vec{v'_j} = \vec{v_j} - \vec{v_1}$. Первый пешеход в этой системе покоится в начале координат ($\vec{p'_1} = \vec{0}$, $\vec{v'_1} = \vec{0}$).

Рассмотрим условия задачи в новой системе отсчёта.

По условию, первый пешеход встретился со вторым, третьим и четвёртым. Встреча 1-го и $j$-го пешехода ($j=2,3,4$) означает, что в некоторый момент времени $t_{1j}$ их относительное положение равно нулю: $\vec{r'_j}(t_{1j}) = \vec{0}$. $$ \vec{p'_j} + \vec{v'_j}t_{1j} = \vec{0} \implies \vec{p'_j} = -t_{1j}\vec{v'_j} $$ Это означает, что для $j=2, 3, 4$ вектор начального положения $\vec{p'_j}$ коллинеарен вектору скорости $\vec{v'_j}$. Таким образом, в новой системе отсчёта второй, третий и четвёртый пешеходы движутся по прямым, проходящим через начало координат (положение первого пешехода).

Далее, по условию, второй пешеход встретился с третьим. Условие их встречи инвариантно относительно перехода в другую инерциальную систему отсчёта: $$ [(\vec{p_2} - \vec{p_3}), (\vec{v_2} - \vec{v_3})] = [(\vec{p'_2} - \vec{p'_3}), (\vec{v'_2} - \vec{v'_3})] = 0 $$ Мы знаем, что существуют скаляры $k_j = -t_{1j}$ такие, что $\vec{p'_j} = k_j \vec{v'_j}$. Подставим это в уравнение: $$ [k_2 \vec{v'_2} - k_3 \vec{v'_3}, \vec{v'_2} - \vec{v'_3}] = 0 $$ Раскроем скобки, используя свойства векторного произведения ($[\vec{a}, \vec{a}]=0$ и $[\vec{a}, \vec{b}] = -[\vec{b}, \vec{a}]$): $$ k_2 [\vec{v'_2}, \vec{v'_2}] - k_2 [\vec{v'_2}, \vec{v'_3}] - k_3 [\vec{v'_3}, \vec{v'_2}] + k_3 [\vec{v'_3}, \vec{v'_3}] = 0 $$ $$ -k_2 [\vec{v'_2}, \vec{v'_3}] + k_3 [\vec{v'_2}, \vec{v'_3}] = 0 $$ $$ (k_3 - k_2)[\vec{v'_2}, \vec{v'_3}] = 0 $$ Это уравнение означает, что либо $k_2 = k_3$, либо $[\vec{v'_2}, \vec{v'_3}] = 0$.

Рассмотрим случай $k_2 = k_3$. Это значит, что $t_{12} = t_{13}$. То есть, первый пешеход встретился со вторым и третьим в один и тот же момент времени $t^*=t_{12}=t_{13}$. В этот момент времени $\vec{r_1}(t^*) = \vec{r_2}(t^*)$ и $\vec{r_1}(t^*) = \vec{r_3}(t^*)$. Следовательно, $\vec{r_1}(t^*)=\vec{r_2}(t^*)=\vec{r_3}(t^*)$, и все три пешехода оказались в одной точке пространства. Это означает, что их пути (дороги) пересекаются в одной точке. Но по условию задачи "никакие три дороги не проходят через одну точку". Следовательно, этот случай невозможен, и $k_2 \neq k_3$.

Таким образом, из равенства $(k_3 - k_2)[\vec{v'_2}, \vec{v'_3}] = 0$ следует, что $[\vec{v'_2}, \vec{v'_3}] = 0$. Это означает, что векторы относительных скоростей $\vec{v'_2}$ и $\vec{v'_3}$ коллинеарны: $\vec{v'_2} \parallel \vec{v'_3}$.

Аналогично, из условия встречи 2-го и 4-го пешеходов получаем $[(\vec{p'_2} - \vec{p'_4}), (\vec{v'_2} - \vec{v'_4})] = 0$, что приводит к уравнению: $$ (k_4 - k_2)[\vec{v'_2}, \vec{v'_4}] = 0 $$ По тем же причинам, что и выше, случай $k_2=k_4$ невозможен, так как это означало бы, что дороги 1, 2 и 4 пересекаются в одной точке. Следовательно, $[\vec{v'_2}, \vec{v'_4}] = 0$, то есть $\vec{v'_2} \parallel \vec{v'_4}$.

Из того, что $\vec{v'_2} \parallel \vec{v'_3}$ и $\vec{v'_2} \parallel \vec{v'_4}$, следует, что все три вектора относительных скоростей коллинеарны друг другу: $\vec{v'_2} \parallel \vec{v'_3} \parallel \vec{v'_4}$. В частности, $\vec{v'_3} \parallel \vec{v'_4}$, а значит $[\vec{v'_3}, \vec{v'_4}] = 0$.

Теперь докажем, что третий пешеход встретился с четвёртым. Для этого нужно показать, что выполняется условие их встречи, которое в системе отсчёта первого пешехода выглядит так: $$ [(\vec{p'_3} - \vec{p'_4}), (\vec{v'_3} - \vec{v'_4})] = 0 $$ Подставим выражения $\vec{p'_3} = k_3 \vec{v'_3}$ и $\vec{p'_4} = k_4 \vec{v'_4}$: $$ [k_3 \vec{v'_3} - k_4 \vec{v'_4}, \vec{v'_3} - \vec{v'_4}] $$ Раскрывая скобки, получаем: $$ k_3 [\vec{v'_3}, \vec{v'_3}] - k_3 [\vec{v'_3}, \vec{v'_4}] - k_4 [\vec{v'_4}, \vec{v'_3}] + k_4 [\vec{v'_4}, \vec{v'_4}] = (k_4 - k_3)[\vec{v'_3}, \vec{v'_4}] $$ Поскольку мы уже установили, что $[\vec{v'_3}, \vec{v'_4}] = 0$, то всё выражение равно нулю: $$ (k_4 - k_3) \cdot 0 = 0 $$ Условие встречи третьего и четвёртого пешеходов выполняется, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Третий пешеход встретился с четвёртым.