Страница 240 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

1. Можно ли из прямолинейных реек изготовить звезду, изображённую на рисунке 239?

Да, изображённую на рисунке звезду можно изготовить из прямолинейных реек.

Основная сложность заключается в том, что на рисунке показаны пересекающиеся линии, которые не имеют толщины. Реальные же рейки — это объёмные предметы, и они не могут проходить сквозь друг друга. Чтобы изготовить из них плоскую фигуру, как на рисунке, нужно использовать специальные методы соединения.

Наиболее распространённым и подходящим способом является столярное соединение, известное как соединение «вполдерева». Для реализации этого метода необходимо выполнить следующие действия:

1. Взять пять одинаковых прямолинейных реек.
2. В каждой рейке, в двух точках, где она должна пересекаться с другими рейками, сделать вырезы (пазы).
3. Глубина каждого паза должна быть равна ровно половине толщины рейки, а ширина — ширине пересекаемой рейки.
4. После этого рейки можно собрать в единую конструкцию, вставляя их пазами друг в друга.

В результате этих действий получится прочная, устойчивая и плоская пятиконечная звезда, которая будет в точности соответствовать фигуре, изображённой на рисунке.

Ответ: Да, можно. Для этого необходимо в местах пересечения реек сделать пазы на половину их толщины и соединить рейки между собой.

2. Ученик изобразил тетраэдр, в котором проведено сечение (рис. 240). Правилен ли его чертёж?

Для анализа правильности чертежа воспользуемся основными положениями стереометрии, касающимися построения сечений многогранников плоскостью. Обозначим вершины тетраэдра как D (верхняя вершина) и A, B, C (вершины основания). Секущая плоскость, назовем ее $\pi$, пересекает четыре ребра тетраэдра, и в результате сечения получается четырехугольник. Обозначим вершины этого четырехугольника P, Q, R, S.

Исходя из изображения, точки пересечения секущей плоскости с ребрами тетраэдра расположены следующим образом: точка P находится на ребре DA, точка Q — на ребре DB, точка R — на ребре BC, и точка S — на ребре AC. Таким образом, четырехугольник PQRS является фигурой сечения. Его стороны представляют собой линии пересечения секущей плоскости $\pi$ с гранями тетраэдра.

Рассмотрим пару противоположных сторон сечения — PQ и SR. Обе эти стороны, являясь сторонами сечения, лежат в одной секущей плоскости $\pi$. Кроме того, каждая из этих сторон лежит в одной из плоскостей граней тетраэдра:

Сторона PQ, соединяющая точки на ребрах DA и DB, целиком лежит в плоскости грани DAB.

Сторона SR, соединяющая точки на ребрах AC и BC, целиком лежит в плоскости основания ABC.

Плоскости граней DAB и ABC не параллельны, они пересекаются по прямой, содержащей ребро AB. Существует фундаментальная теорема стереометрии: если некая плоскость (в данном случае секущая плоскость $\pi$) пересекает две пересекающиеся плоскости (в нашем случае плоскости граней DAB и ABC), то линии пересечения (в нашем случае прямые PQ и SR) либо параллельны, либо пересекаются в точке, которая обязательно лежит на линии пересечения этих двух плоскостей (то есть на прямой AB).

Теперь проанализируем сам чертеж (рис. 240). Прямые PQ и SR изображены как непараллельные. Это означает, что они должны пересекаться. Согласно теореме, точка их пересечения должна лежать на прямой AB. Однако на чертеже эти прямые изображены как скрещивающиеся. Прямая PQ расположена «сзади» и «выше» прямой SR. В трехмерном пространстве они не имеют общих точек. Но две прямые (PQ и SR), лежащие в одной и той же плоскости $\pi$, не могут быть скрещивающимися — они могут быть либо параллельными, либо пересекающимися. Возникает противоречие.

Следовательно, данное построение сечения является геометрически неверным.

Ответ: Чертеж неправилен.

3. Как с помощью линейки измерить диагональ кирпича, если есть несколько одинаковых кирпичей? (Требуется непосредственно измерить диагональ, а не вычислить её, измерив длину, ширину и высоту.)

Для того чтобы измерить диагональ кирпича, не вычисляя её по формуле $d = \sqrt{l^2 + w^2 + h^2}$ (где $l$ — длина, $w$ — ширина, $h$ — высота), а именно измерить напрямую с помощью линейки, можно собрать специальную конструкцию из нескольких одинаковых кирпичей. Эта конструкция создаст две внешние, доступные для измерения точки, расстояние между которыми будет в точности равно главной диагонали одного кирпича.

Пошаговая инструкция по созданию измерительной конструкции:

1. Положите два кирпича (назовем их №1 и №2) на ровную горизонтальную поверхность. Расположите их параллельно друг другу на некотором расстоянии.
2. Чтобы установить между ними зазор, равный в точности ширине кирпича ($w$), используйте третий кирпич (№3) как временный распор. Поставьте его между кирпичами №1 и №2, прижмите их к нему, а затем уберите кирпич-распор №3. Теперь между кирпичами №1 и №2 образовался пустой промежуток шириной $w$.
3. Возьмите еще один кирпич (назовем его №4) и положите его как мостик поперёк зазора, так чтобы он опирался на кирпичи №1 и №2.

В результате у вас получится конструкция, показанная на схематическом рисунке ниже (вид сверху и сбоку):

Измерение диагонали:

Теперь необходимо измерить расстояние между двумя ???????????ными точками на этой конструкции:

• Точка A: Внутренний нижний угол кирпича №1 (тот, что смотрит в зазор, на кирпич №2).
• Точка B: Внутренний верхний угол кирпича №2 (тот, что находится под кирпичом №4), расположенный по диагонали от точки A.

Расстояние между точками A и B, измеренное линейкой, и будет равно искомой главной диагонали кирпича.

Геометрическое обоснование: Расстояние между точками A и B можно разложить на три взаимно перпендикулярных смещения.

• Смещение по горизонтали вдоль "мостика" (кирпича №4) равно длине кирпича ($l$).
• Смещение по горизонтали поперек зазора равно ширине кирпича ($w$).
• Смещение по вертикали равно высоте нижних кирпичей ($h$).

Согласно пространственной теореме Пифагора, общее расстояние (диагональ) между точками A и B равно $d = \sqrt{l^2 + w^2 + h^2}$. Наша конструкция позволяет измерить эту величину $d$ одним движением линейки.

Ответ: Нужно собрать конструкцию из четырех кирпичей, как описано выше (два параллельно с зазором, третий — мостиком поперек), и измерить линейкой расстояние между внутренним нижним углом одного базового кирпича и диагонально противоположным ему внутренним верхним углом второго базового кирпича.

4. Можно ли куб с ребром 10 см завернуть в квадратный платок со стороной 30 см?

Для того чтобы определить, можно ли завернуть куб в платок, рассмотрим один из возможных способов упаковки. Пусть сторона куба равна $a = 10$ см, а сторона квадратного платка равна $L = 30$ см.

1. Разместим куб в самом центре квадратного платка так, чтобы его грани были параллельны сторонам платка. Нижняя грань куба представляет собой квадрат со стороной $a = 10$ см. Она будет покрыта центральной частью платка, которая также является квадратом $10 \times 10$ см.

2. После размещения куба по краям от его основания до краев платка останутся полосы ткани. Ширина каждой такой полосы равна:
$w = (L - a) / 2 = (30 \text{ см} - 10 \text{ см}) / 2 = 20 \text{ см} / 2 = 10 \text{ см}.$
Таким образом, вокруг центрального квадрата на платке образуется рамка шириной 10 см.

3. Эту рамку можно мысленно разделить на четыре прямоугольные части, примыкающие к сторонам центрального квадрата, и четыре квадратные части по углам.
Четыре прямоугольные части имеют размеры $10 \times 10$ см. Загнем эти четыре части вверх. Поскольку их высота (10 см) в точности равна высоте ребра куба ($a = 10$ см), они идеально покроют четыре боковые грани куба.

4. После того как боковые грани покрыты, непокрытой остается только верхняя грань куба — квадрат $10 \times 10$ см. При этом у нас остались четыре угловых квадрата платка, каждый размером $10 \times 10$ см. Каждый из этих угловых лоскутов ткани примыкает к верхним ребрам двух смежных боковых граней.

5. Площадь любого из этих угловых квадратов ($10 \times 10 = 100$ см?) равна площади верхней грани куба. Следовательно, мы можем взять один из этих угловых кусков ткани и накрыть им верхнюю грань куба. Остальные три угловых лоскута можно аккуратно сложить сверху или подвернуть.

Поскольку мы описали способ, позволяющий полностью покрыть поверхность куба с ребром 10 см квадратным платком со стороной 30 см, мы можем сделать вывод, что это возможно.

Ответ: Да, можно.

5. По четырём дорогам, никакие две из которых не параллельны и никакие три не проходят через одну точку, с постоянными скоростями идут 4 пешехода. Известно, что первый пешеход встретился со вторым, третьим и четвёртым, а второй — с третьим и четвёртым. Докажите, что третий пешеход встретился с четвёртым.

Обозначим положение $i$-го пешехода в момент времени $t$ как радиус-вектор $\vec{r_i}(t)$. Поскольку пешеходы движутся с постоянными скоростями, закон их движения можно записать в виде: $$ \vec{r_i}(t) = \vec{p_i} + \vec{v_i}t $$ где $\vec{p_i}$ — это начальное положение пешехода (в $t=0$), а $\vec{v_i}$ — его постоянный вектор скорости. Дорога, по которой движется $i$-й пешеход, представляет собой прямую линию, заданную этим уравнением.

Условие, что два пешехода, $i$-й и $j$-й, встретились, означает, что в некоторый момент времени $t_{ij}$ их положения совпали: $$ \vec{r_i}(t_{ij}) = \vec{r_j}(t_{ij}) $$ Из этого следует: $$ \vec{p_i} + \vec{v_i}t_{ij} = \vec{p_j} + \vec{v_j}t_{ij} $$ $$ \vec{p_i} - \vec{p_j} = (\vec{v_j} - \vec{v_i})t_{ij} $$ Это уравнение имеет решение для $t_{ij}$ тогда и только тогда, когда вектор начального относительного положения $(\vec{p_i} - \vec{p_j})$ коллинеарен (параллелен) вектору относительной скорости $(\vec{v_i} - \vec{v_j})$. В двумерном пространстве условие коллинеарности двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ можно записать с помощью векторного (псевдоскалярного) произведения как $[\vec{a}, \vec{b}] = 0$. Таким образом, условие встречи $i$-го и $j$-го пешеходов имеет вид: $$ [(\vec{p_i} - \vec{p_j}), (\vec{v_i} - \vec{v_j})] = 0 $$

Для решения задачи удобно перейти в систему отсчёта, связанную с первым пешеходом. В этой системе отсчёта положение и скорость $j$-го пешехода будут: $$ \vec{r'_j}(t) = \vec{r_j}(t) - \vec{r_1}(t) = (\vec{p_j} - \vec{p_1}) + (\vec{v_j} - \vec{v_1})t $$ Обозначим новые начальные положения и скорости как $\vec{p'_j} = \vec{p_j} - \vec{p_1}$ и $\vec{v'_j} = \vec{v_j} - \vec{v_1}$. Первый пешеход в этой системе покоится в начале координат ($\vec{p'_1} = \vec{0}$, $\vec{v'_1} = \vec{0}$).

Рассмотрим условия задачи в новой системе отсчёта.

По условию, первый пешеход встретился со вторым, третьим и четвёртым. Встреча 1-го и $j$-го пешехода ($j=2,3,4$) означает, что в некоторый момент времени $t_{1j}$ их относительное положение равно нулю: $\vec{r'_j}(t_{1j}) = \vec{0}$. $$ \vec{p'_j} + \vec{v'_j}t_{1j} = \vec{0} \implies \vec{p'_j} = -t_{1j}\vec{v'_j} $$ Это означает, что для $j=2, 3, 4$ вектор начального положения $\vec{p'_j}$ коллинеарен вектору скорости $\vec{v'_j}$. Таким образом, в новой системе отсчёта второй, третий и четвёртый пешеходы движутся по прямым, проходящим через начало координат (положение первого пешехода).

Далее, по условию, второй пешеход встретился с третьим. Условие их встречи инвариантно относительно перехода в другую инерциальную систему отсчёта: $$ [(\vec{p_2} - \vec{p_3}), (\vec{v_2} - \vec{v_3})] = [(\vec{p'_2} - \vec{p'_3}), (\vec{v'_2} - \vec{v'_3})] = 0 $$ Мы знаем, что существуют скаляры $k_j = -t_{1j}$ такие, что $\vec{p'_j} = k_j \vec{v'_j}$. Подставим это в уравнение: $$ [k_2 \vec{v'_2} - k_3 \vec{v'_3}, \vec{v'_2} - \vec{v'_3}] = 0 $$ Раскроем скобки, используя свойства векторного произведения ($[\vec{a}, \vec{a}]=0$ и $[\vec{a}, \vec{b}] = -[\vec{b}, \vec{a}]$): $$ k_2 [\vec{v'_2}, \vec{v'_2}] - k_2 [\vec{v'_2}, \vec{v'_3}] - k_3 [\vec{v'_3}, \vec{v'_2}] + k_3 [\vec{v'_3}, \vec{v'_3}] = 0 $$ $$ -k_2 [\vec{v'_2}, \vec{v'_3}] + k_3 [\vec{v'_2}, \vec{v'_3}] = 0 $$ $$ (k_3 - k_2)[\vec{v'_2}, \vec{v'_3}] = 0 $$ Это уравнение означает, что либо $k_2 = k_3$, либо $[\vec{v'_2}, \vec{v'_3}] = 0$.

Рассмотрим случай $k_2 = k_3$. Это значит, что $t_{12} = t_{13}$. То есть, первый пешеход встретился со вторым и третьим в один и тот же момент времени $t^*=t_{12}=t_{13}$. В этот момент времени $\vec{r_1}(t^*) = \vec{r_2}(t^*)$ и $\vec{r_1}(t^*) = \vec{r_3}(t^*)$. Следовательно, $\vec{r_1}(t^*)=\vec{r_2}(t^*)=\vec{r_3}(t^*)$, и все три пешехода оказались в одной точке пространства. Это означает, что их пути (дороги) пересекаются в одной точке. Но по условию задачи "никакие три дороги не проходят через одну точку". Следовательно, этот случай невозможен, и $k_2 \neq k_3$.

Таким образом, из равенства $(k_3 - k_2)[\vec{v'_2}, \vec{v'_3}] = 0$ следует, что $[\vec{v'_2}, \vec{v'_3}] = 0$. Это означает, что векторы относительных скоростей $\vec{v'_2}$ и $\vec{v'_3}$ коллинеарны: $\vec{v'_2} \parallel \vec{v'_3}$.

Аналогично, из условия встречи 2-го и 4-го пешеходов получаем $[(\vec{p'_2} - \vec{p'_4}), (\vec{v'_2} - \vec{v'_4})] = 0$, что приводит к уравнению: $$ (k_4 - k_2)[\vec{v'_2}, \vec{v'_4}] = 0 $$ По тем же причинам, что и выше, случай $k_2=k_4$ невозможен, так как это означало бы, что дороги 1, 2 и 4 пересекаются в одной точке. Следовательно, $[\vec{v'_2}, \vec{v'_4}] = 0$, то есть $\vec{v'_2} \parallel \vec{v'_4}$.

Из того, что $\vec{v'_2} \parallel \vec{v'_3}$ и $\vec{v'_2} \parallel \vec{v'_4}$, следует, что все три вектора относительных скоростей коллинеарны друг другу: $\vec{v'_2} \parallel \vec{v'_3} \parallel \vec{v'_4}$. В частности, $\vec{v'_3} \parallel \vec{v'_4}$, а значит $[\vec{v'_3}, \vec{v'_4}] = 0$.

Теперь докажем, что третий пешеход встретился с четвёртым. Для этого нужно показать, что выполняется условие их встречи, которое в системе отсчёта первого пешехода выглядит так: $$ [(\vec{p'_3} - \vec{p'_4}), (\vec{v'_3} - \vec{v'_4})] = 0 $$ Подставим выражения $\vec{p'_3} = k_3 \vec{v'_3}$ и $\vec{p'_4} = k_4 \vec{v'_4}$: $$ [k_3 \vec{v'_3} - k_4 \vec{v'_4}, \vec{v'_3} - \vec{v'_4}] $$ Раскрывая скобки, получаем: $$ k_3 [\vec{v'_3}, \vec{v'_3}] - k_3 [\vec{v'_3}, \vec{v'_4}] - k_4 [\vec{v'_4}, \vec{v'_3}] + k_4 [\vec{v'_4}, \vec{v'_4}] = (k_4 - k_3)[\vec{v'_3}, \vec{v'_4}] $$ Поскольку мы уже установили, что $[\vec{v'_3}, \vec{v'_4}] = 0$, то всё выражение равно нулю: $$ (k_4 - k_3) \cdot 0 = 0 $$ Условие встречи третьего и четвёртого пешеходов выполняется, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Третий пешеход встретился с четвёртым.

6. Три свинцовых куба, рёбра которых равны 3 см, 4 см и 5 см, расплавили и изготовили из них один куб. Найдите его ребро.

Поскольку новый куб изготавливают путем переплавки трех меньших кубов, его объем будет равен сумме объемов этих трех кубов. Принцип сохранения объема гласит, что объем материала остается неизменным.

1. Сначала вычислим объем каждого из трех исходных кубов. Формула для вычисления объема куба с ребром a: $V = a^3$.

• Объем первого куба ($V_1$) с ребром 3 см: $V_1 = 3^3 = 27$ см?
• Объем второго куба ($V_2$) с ребром 4 см: $V_2 = 4^3 = 64$ см?
• Объем третьего куба ($V_3$) с ребром 5 см: $V_3 = 5^3 = 125$ см?

2. Теперь найдем общий объем свинца, сложив объемы трех кубов. Этот суммарный объем будет являться объемом нового, большого куба ($V_{новый}$).
$V_{новый} = V_1 + V_2 + V_3 = 27 + 64 + 125 = 216$ см?

3. Зная объем нового куба, мы можем найти длину его ребра. Обозначим ребро нового куба как a_новый. Тогда его объем равен $V_{новый} = (a_{новый})^3$.
$(a_{новый})^3 = 216$ см?
Чтобы найти a_новый, необходимо извлечь кубический корень из 216:
$a_{новый} = \sqrt[3]{216} = 6$ см

Ответ: 6 см.

7. Кирпич размером 25 см × 12 см × 6,5 см весит 3,51 кг. Найдите его плотность в граммах на кубический сантиметр.

Для того чтобы найти плотность тела, необходимо его массу разделить на его объем. Плотность ($\rho$) вычисляется по формуле: $\rho = \frac{m}{V}$, где $m$ — масса, а $V$ — объем.

1. Найдем объем кирпича (V).
Кирпич имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Его объем равен произведению его длины, ширины и высоты.
$V = 25 \text{ см} \times 12 \text{ см} \times 6,5 \text{ см}$
$V = 300 \text{ см}^2 \times 6,5 \text{ см} = 1950 \text{ см}^3$

2. Переведем массу кирпича (m) в граммы.
По условию задачи, масса кирпича составляет 3,51 кг. Плотность требуется найти в граммах на кубический сантиметр, поэтому переведем килограммы в граммы. В одном килограмме 1000 граммов.
$m = 3,51 \text{ кг} \times 1000 \frac{\text{г}}{\text{кг}} = 3510 \text{ г}$

3. Рассчитаем плотность кирпича ($\rho$).
Теперь разделим массу в граммах на объем в кубических сантиметрах.
$\rho = \frac{m}{V} = \frac{3510 \text{ г}}{1950 \text{ см}^3}$
$\rho = 1,8 \text{ г/см}^3$

Ответ: плотность кирпича составляет $1,8 \text{ г/см}^3$.

8. Сечение железнодорожной насыпи, перпендикулярное к рельсам, имеет вид трапеции с нижним основанием 12 м, верхним основанием 6 м и высотой 2 м. Найдите объём 10-метрового участка насыпи.

Участок железнодорожной насыпи представляет собой прямую призму, основанием которой является трапеция (поперечное сечение насыпи), а высотой — длина этого участка. Чтобы найти объём насыпи, необходимо найти площадь её поперечного сечения и умножить её на длину участка.

1. Сначала вычислим площадь поперечного сечения, имеющего форму трапеции. Площадь трапеции находится по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$ где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота.

По условию задачи:

• нижнее основание $a = 12$ м;
• верхнее основание $b = 6$ м;
• высота $h = 2$ м.

Подставим эти значения в формулу для нахождения площади: $S = \frac{12 + 6}{2} \cdot 2 = \frac{18}{2} \cdot 2 = 9 \cdot 2 = 18$ м².

2. Теперь, зная площадь сечения, найдём объём 10-метрового участка насыпи. Объём прямой призмы ($V$) вычисляется как произведение площади её основания ($S$) на высоту призмы (в данном случае — на длину участка $L$): $V = S \cdot L$

Длина участка по условию равна $L = 10$ м. Подставим значения в формулу объёма: $V = 18 \text{ м}^2 \cdot 10 \text{ м} = 180 \text{ м}^3$

Ответ: 180 м³.

9. Сечение реки, перпендикулярное к течению реки, представляет собой трапецию с основаниями 20 м и 16 м и высотой 2 м. Скорость течения воды в реке 2 м/с. Сколько кубических метров воды проходит через это сечение за 1 мин?

Для решения задачи необходимо найти объем воды, который проходит через поперечное сечение реки за заданное время. Этот объем можно рассматривать как объем прямой призмы, у которой основанием является трапециевидное сечение реки, а высотой — расстояние, на которое смещается вода за 1 минуту.

1. Найдем площадь поперечного сечения реки.
Сечение представляет собой трапецию. Площадь трапеции вычисляется по формуле:
$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$
где $a$ и $b$ — основания трапеции, а $h$ — ее высота.
По условию задачи:
$a = 20$ м
$b = 16$ м
$h = 2$ м
Подставим значения в формулу:
$S = \frac{20 + 16}{2} \cdot 2 = \frac{36}{2} \cdot 2 = 18 \cdot 2 = 36$ м?

2. Вычислим объем воды, проходящей через сечение за 1 минуту.
Объем воды ($V$) равен произведению площади сечения ($S$) на скорость течения ($v$) и на время ($t$).
$V = S \cdot v \cdot t$
По условию задачи:
Скорость течения $v = 2$ м/с.
Время $t = 1$ минута.
Для согласованности единиц измерения переведем время в секунды:
$t = 1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$
Теперь подставим все значения в формулу для объема:
$V = 36 \text{ м}^2 \cdot 2 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot 60 \text{ с} = 4320 \text{ м}^3$
Таким образом, за 1 минуту через сечение реки проходит 4320 кубических метров воды.
Ответ: 4320 м?.

10. Почему (при одинаковой глубине) в узких местах русла реки её течение быстрее, чем в широких? А что будет, если ширина одинаковая, а глубина разная?

Почему (при одинаковой глубине) в узких местах русла реки её течение быстрее, чем в широких?

Это явление объясняется фундаментальным физическим принципом, известным как уравнение неразрывности струи (или закон сохранения массы для жидкости). Для практически несжимаемой жидкости, какой является вода в реке, этот принцип гласит, что объем воды, проходящий через любое поперечное сечение русла за единицу времени, является постоянной величиной. Этот объем называется расходом воды и обозначается буквой $Q$.

Расход воды вычисляется по формуле:

$Q = S \cdot v$

где:

• $S$ — площадь поперечного сечения русла,
• $v$ — средняя скорость течения в этом сечении.

Поскольку расход воды вдоль реки постоянен ($Q = \text{const}$), то произведение площади сечения на скорость течения также должно быть постоянным:

$S \cdot v = \text{const}$

Площадь поперечного сечения $S$ можно рассчитать как произведение ширины реки $w$ на ее глубину $h$: $S = w \cdot h$.

Рассмотрим два участка реки: широкий (с шириной $w_1$ и скоростью $v_1$) и узкий (с шириной $w_2$ и скоростью $v_2$). По условию, глубина $h$ на обоих участках одинакова.

Тогда площади их сечений равны $S_1 = w_1 \cdot h$ и $S_2 = w_2 \cdot h$. Так как $w_1 > w_2$, то и $S_1 > S_2$.

Из условия постоянства расхода следует, что $S_1 \cdot v_1 = S_2 \cdot v_2$.

Поскольку площадь $S_2$ в узком месте меньше, чем площадь $S_1$ в широком, для сохранения равенства скорость $v_2$ должна быть больше скорости $v_1$. Иными словами, чтобы "протолкнуть" тот же объем воды через более узкое "горлышко", вода вынуждена двигаться быстрее.

Ответ: В узких местах русла площадь поперечного сечения меньше. Согласно уравнению неразрывности, чтобы через это меньшее сечение за то же время прошел такой же объем воды, что и через широкое, скорость течения должна быть выше.

А что будет, если ширина одинаковая, а глубина разная?

В этом случае применяется тот же самый принцип постоянства расхода воды: $Q = S \cdot v = \text{const}$.

Рассмотрим два участка реки с одинаковой шириной $w$, но разной глубиной: глубокий (с глубиной $h_1$ и скоростью $v_1$) и мелкий (с глубиной $h_2$ и скоростью $v_2$).

Площади поперечных сечений будут равны $S_1 = w \cdot h_1$ и $S_2 = w \cdot h_2$.

Поскольку глубокий участок имеет большую глубину ($h_1 > h_2$), его площадь поперечного сечения также будет больше ($S_1 > S_2$).

Из равенства $S_1 \cdot v_1 = S_2 \cdot v_2$ следует, что скорость течения обратно пропорциональна площади сечения. Там, где площадь сечения больше (глубокий участок), скорость течения будет меньше. А там, где площадь сечения меньше (мелкий участок), скорость течения будет больше.

Это можно наблюдать в природе: на глубоких плесах течение реки спокойное и медленное, а на мелких перекатах — быстрое и бурное.

Ответ: Если ширина реки одинаковая, а глубина разная, то течение будет быстрее в более мелких местах (перекатах) и медленнее в более глубоких (плесах), так как на мелководье площадь поперечного сечения русла меньше.