Страница 236 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

16. Основание пирамиды DABC — равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = BC = 13, AC = 24. Ребро DB перпендикулярно к плоскости основания и равно 20. Найдите тангенс двугранного угла DACB.

Двугранный угол $DACB$ образован плоскостями $(ABC)$ и $(DAC)$. Общим ребром этих плоскостей является прямая $AC$. Для нахождения тангенса этого угла построим его линейный угол.

1. В плоскости основания $ABC$ проведем высоту $BH$ к стороне $AC$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$ ($AB=BC=13$), то высота $BH$ является также и медианой. Следовательно, точка $H$ делит отрезок $AC$ пополам:

$AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{24}{2} = 12$.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$ (угол $\angle BHC = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем длину катета $BH$:

$BH^2 + HC^2 = BC^2$

$BH^2 + 12^2 = 13^2$

$BH^2 + 144 = 169$

$BH^2 = 169 - 144 = 25$

$BH = \sqrt{25} = 5$.

3. По условию, ребро $DB$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$. Это значит, что $DB$ является перпендикуляром к плоскости, а отрезок $DH$ — наклонной к этой плоскости. Отрезок $BH$ является проекцией наклонной $DH$ на плоскость $(ABC)$.

4. Мы построили $BH \perp AC$. По теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной ($BH$) перпендикулярна некоторой прямой в плоскости ($AC$), то и сама наклонная ($DH$) перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $DH \perp AC$.

5. Поскольку $BH \perp AC$ и $DH \perp AC$, то угол $\angle BHD$ является линейным углом двугранного угла $DACB$.

6. Рассмотрим треугольник $DBH$. Так как $DB \perp (ABC)$, то ребро $DB$ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе и $BH$. Следовательно, $\angle DBH = 90^\circ$, и треугольник $DBH$ является прямоугольным.

7. В прямоугольном треугольнике $DBH$ тангенс угла $\angle BHD$ равен отношению противолежащего катета $DB$ к прилежащему катету $BH$:

$\text{tg}(\angle BHD) = \frac{DB}{BH}$

Подставим известные значения $DB = 20$ и $BH = 5$:

$\text{tg}(\angle BHD) = \frac{20}{5} = 4$.

Ответ: 4

17. Ребро AD пирамиды DABC перпендикулярно к плоскости ABC. Найдите расстояние от вершины A до плоскости, проходящей через середины рёбер AB, AC и AD, если AD = 25, AB = AC = 10, BC = 45.

Для решения данной задачи мы воспользуемся методом, основанным на свойствах гомотетии и вычислении объёма пирамиды.

1. Анализ геометрии задачи

Пусть M, N и P — середины рёбер AB, AC и AD соответственно. Нам необходимо найти расстояние от вершины A до плоскости, проходящей через эти три точки, то есть до плоскости (MNP).

Рассмотрим векторы, выходящие из вершины A:

• M — середина AB, следовательно $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB}$.
• N — середина AC, следовательно $\vec{AN} = \frac{1}{2}\vec{AC}$.
• P — середина AD, следовательно $\vec{AP} = \frac{1}{2}\vec{AD}$.

Эти соотношения показывают, что треугольник MNP является образом треугольника BCD при гомотетии (преобразовании подобия) с центром в точке A и коэффициентом $k = \frac{1}{2}$. Соответственно, плоскость (MNP) является образом плоскости (BCD) при этой же гомотетии.

Расстояние от центра гомотетии до плоскости-образа равно произведению коэффициента гомотетии на расстояние от центра до плоскости-прообраза. Таким образом, искомое расстояние от точки A до плоскости (MNP), обозначим его $d(A, (MNP))$, связано с расстоянием от A до плоскости (BCD), $d(A, (BCD))$, следующим образом:

$d(A, (MNP)) = k \cdot d(A, (BCD)) = \frac{1}{2} d(A, (BCD))$

Наша задача сводится к нахождению расстояния от вершины A до плоскости грани BCD.

2. Нахождение расстояния от A до плоскости (BCD) методом объёмов

Расстояние от вершины A до плоскости (BCD) — это высота $h_A$ пирамиды DABC, опущенная из вершины A на основание BCD. Объём этой пирамиды можно вычислить двумя способами:

1. Приняв за основание треугольник ABC. Так как по условию ребро $AD$ перпендикулярно плоскости $ABC$, то $AD$ является высотой пирамиды.
   $V_{DABC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot AD$
2. Приняв за основание треугольник BCD. Высотой будет искомое расстояние $h_A$.
   $V_{DABC} = \frac{1}{3} S_{BCD} \cdot h_A$

Приравнивая правые части, получаем формулу для вычисления $h_A$:

$S_{ABC} \cdot AD = S_{BCD} \cdot h_A \implies h_A = \frac{S_{ABC} \cdot AD}{S_{BCD}}$

Теперь вычислим необходимые величины: $S_{ABC}$, $S_{BCD}$ и $AD$. Длина $AD = 2\sqrt{5}$ дана по условию.

3. Вычисление площадей граней

а) Вычисление площади треугольника ABC

В основании лежит равнобедренный треугольник ABC со сторонами $AB = AC = 10$ и $BC = 4\sqrt{5}$. Проведём в нём высоту AK к основанию BC. В равнобедренном треугольнике высота является и медианой, поэтому $BK = KC = \frac{1}{2} BC = 2\sqrt{5}$.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ABK:

$AK = \sqrt{AB^2 - BK^2} = \sqrt{10^2 - (2\sqrt{5})^2} = \sqrt{100 - 20} = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$

Площадь треугольника ABC:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AK = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{5} = 2\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{5} = 8 \cdot 5 = 40$

б) Вычисление площади треугольника BCD

Сначала найдём длины сторон BD и CD. Так как $AD \perp (ABC)$, то $AD \perp AB$ и $AD \perp AC$. Следовательно, треугольники ABD и ACD — прямоугольные.

Из $\triangle ABD$ по теореме Пифагора:

$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{10^2 + (2\sqrt{5})^2} = \sqrt{100 + 20} = \sqrt{120} = 2\sqrt{30}$

Из $\triangle ACD$ по теореме Пифагора:

$CD = \sqrt{AC^2 + AD^2} = \sqrt{10^2 + (2\sqrt{5})^2} = \sqrt{100 + 20} = \sqrt{120} = 2\sqrt{30}$

Треугольник BCD — равнобедренный со сторонами $BD = CD = 2\sqrt{30}$ и основанием $BC = 4\sqrt{5}$. Проведём в нём высоту DL к основанию BC. Так как DL — высота в равнобедренном треугольнике, она также является медианой, и $BL = LC = 2\sqrt{5}$.

Из прямоугольного треугольника DCL по теореме Пифагора:

$DL = \sqrt{CD^2 - CL^2} = \sqrt{(2\sqrt{30})^2 - (2\sqrt{5})^2} = \sqrt{120 - 20} = \sqrt{100} = 10$

Площадь треугольника BCD:

$S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DL = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{5} \cdot 10 = 20\sqrt{5}$

4. Определение искомого расстояния

Теперь мы можем рассчитать расстояние $h_A$ от вершины A до плоскости (BCD):

$h_A = \frac{S_{ABC} \cdot AD}{S_{BCD}} = \frac{40 \cdot 2\sqrt{5}}{20\sqrt{5}} = \frac{80\sqrt{5}}{20\sqrt{5}} = 4$

Наконец, находим искомое расстояние от вершины A до плоскости (MNP):

$d(A, (MNP)) = \frac{1}{2} h_A = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$

Ответ: 2

18. В пирамиде DABC известны длины рёбер: AB = AC = DB = DC = 10, BC = DA = 12. Найдите расстояние между прямыми DA и BC.

Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Построим и найдем длину этого отрезка для прямых $DA$ и $BC$.

Пусть K — середина ребра BC. Так как $BC = 12$, то $BK = KC = 6$.

Рассмотрим треугольник ABC. По условию $AB = AC = 10$, следовательно, он является равнобедренным с основанием BC. Отрезок AK в нем — медиана, а значит, и высота. Таким образом, $AK \perp BC$.

Аналогично, в треугольнике DBC стороны $DB = DC = 10$, значит, он также равнобедренный с основанием BC. Отрезок DK — его медиана и высота, следовательно, $DK \perp BC$.

Поскольку прямая BC перпендикулярна двум пересекающимся прямым AK и DK, лежащим в плоскости ADK, то прямая BC перпендикулярна всей плоскости ADK.

Прямая DA лежит в плоскости ADK. Расстояние между скрещивающимися прямыми DA и BC будет равно длине перпендикуляра, проведенного из точки K (точки пересечения прямой BC с плоскостью ADK) к прямой DA.

Найдем стороны треугольника ADK, чтобы вычислить длину этого перпендикуляра.

• $DA = 12$ (по условию).
• В прямоугольном треугольнике AKC (с прямым углом при K) по теореме Пифагора находим катет AK:
  $AK = \sqrt{AC^2 - KC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$.
• Аналогично в прямоугольном треугольнике DKC находим катет DK:
  $DK = \sqrt{DC^2 - KC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$.

Таким образом, треугольник ADK — равнобедренный со сторонами $AK = DK = 8$ и основанием $AD = 12$.

Искомое расстояние — это высота KH, проведенная из вершины K к основанию AD. В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также и медианой. Следовательно, точка H — середина отрезка AD, и $AH = \frac{AD}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AKH (с прямым углом при H). По теореме Пифагора: $KH^2 = AK^2 - AH^2$ $KH^2 = 8^2 - 6^2 = 64 - 36 = 28$ $KH = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$.

Ответ: $2\sqrt{7}$.

19. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1. Найдите косинус угла между прямой AB и плоскостью SAD.

Поскольку $SABCD$ — правильная четырёхугольная пирамида, в её основании лежит квадрат $ABCD$. По условию, все рёбра пирамиды равны 1. Это означает, что стороны основания $AB, BC, CD, DA$ равны 1, и боковые рёбра $SA, SB, SC, SD$ также равны 1. Следовательно, все боковые грани пирамиды ($SAB$, $SBC$, $SCD$, $SAD$) являются равносторонними треугольниками со стороной 1.

Нам нужно найти косинус угла между прямой $AB$ и плоскостью $SAD$. Так как в основании лежит квадрат, прямая $AB$ параллельна прямой $CD$. Поэтому угол между прямой $AB$ и плоскостью $SAD$ равен углу между прямой $CD$ и плоскостью $SAD$. Обозначим этот угол как $\alpha$.

Прямая $CD$ лежит в плоскости грани $SCD$. Угол $\alpha$ между прямой $CD$ (лежащей в плоскости $SCD$) и плоскостью $SAD$ можно найти через двугранный угол между этими плоскостями. Линией пересечения плоскостей $SCD$ и $SAD$ является ребро $SD$. Угол $\psi$ между прямой $CD$ и линией пересечения $SD$ — это угол $\angle SDC$. Так как треугольник $SCD$ равносторонний, $\psi = \angle SDC = 60^\circ$.

Теперь найдём двугранный угол $\theta$ между плоскостями $SAD$ и $SCD$. Этот угол измеряется линейным углом, образованным перпендикулярами к ребру $SD$, проведёнными в одной точке. Пусть $H$ — середина ребра $SD$. В равносторонних треугольниках $SAD$ и $SCD$ медианы $AH$ и $CH$ являются также высотами, поэтому $AH \perp SD$ и $CH \perp SD$. Следовательно, двугранный угол $\theta$ равен углу $\angle AHC$.

Для нахождения угла $\angle AHC$ рассмотрим треугольник $AHC$. Длины его сторон: $AH$ и $CH$ — высоты равносторонних треугольников со стороной 1, поэтому $AH = CH = \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Сторона $AC$ — диагональ квадрата-основания со стороной 1, поэтому по теореме Пифагора $AC = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Применим теорему косинусов к треугольнику $AHC$:$$ AC^2 = AH^2 + CH^2 - 2 \cdot AH \cdot CH \cdot \cos\theta $$$$ (\sqrt{2})^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos\theta $$$$ 2 = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} - \frac{3}{2} \cdot \cos\theta $$$$ 2 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cos\theta $$$$ \frac{1}{2} = -\frac{3}{2} \cos\theta \implies \cos\theta = -\frac{1}{3} $$

Синус угла между прямой и плоскостью связан с синусом двугранного угла формулой $\sin\alpha = \sin\psi \cdot |\sin\theta|$. Найдём $\sin\theta$. Так как $\theta$ — угол между плоскостями, он находится в диапазоне $[0, \pi]$, поэтому его синус неотрицателен:$$ \sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta} = \sqrt{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} $$Теперь вычислим синус искомого угла $\alpha$:$$ \sin\alpha = \sin(60^\circ) \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{\sqrt{6}}{3} $$

Мы ищем косинус угла $\alpha$. Угол между прямой и плоскостью по определению является острым ($0^\circ \le \alpha \le 90^\circ$), поэтому его косинус неотрицателен. Используя основное тригонометрическое тождество, получаем:$$ \cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{6}{9}} = \sqrt{\frac{3}{9}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} $$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

20. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания равна 1, а боковое ребро равно 2. Найдите косинус угла между прямыми SB и AE.

Для нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми SB и AE воспользуемся методом параллельного переноса. Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между одной из этих прямых и прямой, параллельной второй и пересекающей первую.

Рассмотрим основание пирамиды — правильный шестиугольник ABCDEF. В правильном шестиугольнике диагональ AE параллельна диагонали BD. Это можно доказать, введя систему координат или рассмотрев симметрию фигуры. Таким образом, искомый угол между прямыми SB и AE равен углу между прямыми SB и BD.

Прямые SB и BD пересекаются в точке B, следовательно, искомый угол равен углу $\angle SBD$ в треугольнике SBD. Найдем длины сторон этого треугольника, чтобы вычислить косинус угла по теореме косинусов.

1. Стороны SB и SD являются боковыми ребрами правильной пирамиды. По условию задачи, их длина равна 2. Итак, $SB = 2$ и $SD = 2$. Это означает, что треугольник SBD — равнобедренный.

2. Сторона BD является меньшей диагональю правильного шестиугольника ABCDEF. Её длину можно найти из треугольника BCD, который находится в основании пирамиды. В этом треугольнике стороны $BC=1$ и $CD=1$. Угол между ними, $\angle BCD$, является внутренним углом правильного шестиугольника и равен $(6-2) \cdot 180^\circ / 6 = 120^\circ$.

Применим к треугольнику BCD теорему косинусов:

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(\angle BCD)$

$BD^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ)$

$BD^2 = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$

Следовательно, длина диагонали $BD = \sqrt{3}$.

3. Теперь мы знаем все стороны треугольника SBD: $SB = 2$, $SD = 2$, $BD = \sqrt{3}$. Применим теорему косинусов к этому треугольнику, чтобы найти косинус угла $\angle SBD$:

$SD^2 = SB^2 + BD^2 - 2 \cdot SB \cdot BD \cdot \cos(\angle SBD)$

$2^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(\angle SBD)$

$4 = 4 + 3 - 4\sqrt{3} \cdot \cos(\angle SBD)$

$0 = 3 - 4\sqrt{3} \cdot \cos(\angle SBD)$

$4\sqrt{3} \cdot \cos(\angle SBD) = 3$

$\cos(\angle SBD) = \frac{3}{4\sqrt{3}}$

Для упрощения дроби избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\cos(\angle SBD) = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{4 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Косинус угла между прямыми SB и AE равен косинусу угла $\angle SBD$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{4}$

21. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания равна 1, а боковое ребро равно 2. Найдите косинус угла между прямой AC и плоскостью SAF.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с центром в точке O — центре основания пирамиды. Ось Oz направим вдоль высоты пирамиды SO. Основание ABCDEF расположим в плоскости Oxy.

Пусть сторона правильного шестиугольника в основании равна $a=1$. Тогда расстояние от центра шестиугольника до любой его вершины также равно 1 ($OA=OB=\dots=OF=1$). Расположим вершину A на положительной части оси Ox. Тогда ее координаты $A(1, 0, 0)$. Зная, что угол между радиусами, проведенными к соседним вершинам, равен $360^\circ/6 = 60^\circ$, найдем координаты других нужных нам вершин основания. Для вершины C угол $\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$, поэтому ее координаты: $(1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$. Для вершины F угол $\angle AOF = -60^\circ$ (или $300^\circ$), ее координаты: $(1 \cdot \cos(-60^\circ), 1 \cdot \sin(-60^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Вершина пирамиды S лежит на оси Oz, ее координаты $S(0, 0, h)$. Длина бокового ребра $SA$ равна 2. Найдем высоту $h=SO$ из прямоугольного треугольника SOA: $SA^2 = SO^2 + OA^2$, откуда $2^2 = h^2 + 1^2$, $h^2 = 4 - 1 = 3$, и $h = \sqrt{3}$. Таким образом, координаты вершины $S(0, 0, \sqrt{3})$.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Найдем синус этого угла, используя направляющий вектор прямой и вектор нормали к плоскости. Направляющий вектор $\vec{v}$ для прямой AC: $\vec{v} = \vec{AC} = C - A = (-1/2 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-3/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости SAF найдем как векторное произведение векторов $\vec{SA}$ и $\vec{SF}$, лежащих в этой плоскости.$\vec{SA} = A - S = (1, 0, -\sqrt{3})$.$\vec{SF} = F - S = (1/2, -\sqrt{3}/2, -\sqrt{3})$.$\vec{n} = \vec{SA} \times \vec{SF} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & -\sqrt{3} \\ 1/2 & -\sqrt{3}/2 & -\sqrt{3} \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-3/2) - \mathbf{j}(-\sqrt{3}/2) + \mathbf{k}(-\sqrt{3}/2) = (-3/2, \sqrt{3}/2, -\sqrt{3}/2)$. Для удобства вычислений используем коллинеарный вектор $\vec{n'} = -2\vec{n} = (3, -\sqrt{3}, \sqrt{3})$.

Пусть $\phi$ — искомый угол между прямой AC и плоскостью SAF. Синус этого угла находится по формуле: $\sin \phi = \frac{|\vec{AC} \cdot \vec{n'}|}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{n'}|}$.

Вычислим необходимые величины:$|\vec{AC}| = \sqrt{(-3/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{9/4 + 3/4} = \sqrt{12/4} = \sqrt{3}$.$|\vec{n'}| = \sqrt{3^2 + (-\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 3 + 3} = \sqrt{15}$.$\vec{AC} \cdot \vec{n'} = (-3/2) \cdot 3 + (\sqrt{3}/2) \cdot (-\sqrt{3}) + 0 \cdot \sqrt{3} = -9/2 - 3/2 = -12/2 = -6$.

Подставим значения в формулу для синуса угла:$\sin \phi = \frac{|-6|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{15}} = \frac{6}{\sqrt{45}} = \frac{6}{3\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.

Требуется найти косинус угла $\phi$. Так как угол между прямой и плоскостью по определению находится в диапазоне $[0, \pi/2]$, его косинус неотрицателен. Из основного тригонометрического тождества $\cos^2 \phi + \sin^2 \phi = 1$ получаем:$\cos^2 \phi = 1 - \sin^2 \phi = 1 - \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$.Следовательно, $\cos \phi = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{5}$.

22. Диаметр основания цилиндра равен 20, а образующая цилиндра равна 28. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 12 и 16. Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

Пусть дан цилиндр с высотой $H=28$ и диаметром основания $D=20$. Следовательно, радиус основания $R = D/2 = 10$.

Плоскость пересекает верхнее и нижнее основания цилиндра по хордам. Пусть длина хорды в одном основании $l_1 = 16$, а в другом основании $l_2 = 12$. Обозначим угол между секущей плоскостью и плоскостью основания как $\alpha$.

Для нахождения тангенса угла $\alpha$ рассмотрим сечение цилиндра плоскостью, которая проходит через ось цилиндра и перпендикулярна данным хордам. Угол $\alpha$ будет равен углу наклона линии пересечения секущей плоскости с этой новой плоскостью к прямой, в которой лежит диаметр основания.

Найдем расстояния от центров оснований до соответствующих хорд. Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры оснований.

Расстояние $d_1$ от центра до хорды длиной $l_1=16$ найдем из прямоугольного треугольника, гипотенузой которого является радиус $R=10$, а одним из катетов — половина хорды, то есть $l_1/2 = 16/2 = 8$. По теореме Пифагора:
$d_1 = \sqrt{R^2 - (l_1/2)^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$.

Аналогично найдем расстояние $d_2$ от центра до хорды длиной $l_2=12$. Катетом будет половина хорды, то есть $l_2/2 = 12/2 = 6$.
$d_2 = \sqrt{R^2 - (l_2/2)^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$.

Тангенс искомого угла $\alpha$ равен отношению высоты цилиндра $H$ к горизонтальному расстоянию $L$ между хордами в плоскости построенного нами сечения. Это расстояние $L$ зависит от того, как хорды расположены относительно оси цилиндра.

В условии задачи не указано, находятся ли хорды по одну или по разные стороны от оси цилиндра. Следовательно, существуют два возможных решения.

Случай 1: Хорды расположены по разные стороны от оси цилиндра

Если хорды находятся по разные стороны от оси, то горизонтальное расстояние $L$ между ними в плоскости сечения равно сумме расстояний от центра до каждой хорды:
$L = d_1 + d_2 = 6 + 8 = 14$.
Тангенс угла наклона в этом случае равен:
$\tan(\alpha) = \frac{H}{L} = \frac{28}{14} = 2$.
Ответ: 2

Случай 2: Хорды расположены по одну сторону от оси цилиндра

Если хорды находятся по одну сторону от оси, то горизонтальное расстояние $L$ между ними в плоскости сечения равно модулю разности расстояний от центра до каждой хорды:
$L = |d_1 - d_2| = |6 - 8| = 2$.
Тангенс угла наклона в этом случае равен:
$\tan(\alpha) = \frac{H}{L} = \frac{28}{2} = 14$.
Ответ: 14

1. В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB равна c и ∠ABC = α. Найдите все медианы этого треугольника.

Пусть данный прямоугольный треугольник - это $ABC$, где $\angle C = 90^\circ$. Тогда $AB$ - гипотенуза, а $AC$ и $BC$ - катеты. По условию, длина гипотенузы $AB = c$ и $\angle ABC = \alpha$.

Для нахождения медиан нам понадобятся длины катетов. Выразим их через гипотенузу $c$ и угол $\alpha$ из прямоугольного треугольника $ABC$:
Катет $AC$ (противолежащий углу $\alpha$): $AC = AB \cdot \sin(\angle ABC) = c \cdot \sin(\alpha)$.
Катет $BC$ (прилежащий к углу $\alpha$): $BC = AB \cdot \cos(\angle ABC) = c \cdot \cos(\alpha)$.

Теперь найдем длины каждой из трех медиан.

Медиана, проведенная к гипотенузе

Обозначим медиану, проведенную из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$, как $m_c$. По свойству прямоугольного треугольника, медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.

$m_c = \frac{AB}{2} = \frac{c}{2}$

Ответ: $m_c = \frac{c}{2}$

Медиана, проведенная к катету $BC$

Обозначим медиану, проведенную из вершины $A$ к катету $BC$, как $m_a$. Пусть точка $D$ - середина катета $BC$. Тогда $AD = m_a$.

Рассмотрим треугольник $ACD$. Он является прямоугольным, так как $\angle C = 90^\circ$. Его катеты - $AC$ и $CD$. Длина $CD$ равна половине длины катета $BC$:
$CD = \frac{BC}{2} = \frac{c \cdot \cos(\alpha)}{2}$

По теореме Пифагора для треугольника $ACD$:
$m_a^2 = AC^2 + CD^2$
$m_a^2 = (c \cdot \sin(\alpha))^2 + \left(\frac{c \cdot \cos(\alpha)}{2}\right)^2 = c^2\sin^2(\alpha) + \frac{c^2\cos^2(\alpha)}{4}$

Вынесем общий множитель $\frac{c^2}{4}$:
$m_a^2 = \frac{c^2}{4}(4\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha))$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, преобразуем выражение в скобках:
$4\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 3\sin^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 + 3\sin^2(\alpha)$

Таким образом:
$m_a^2 = \frac{c^2}{4}(1 + 3\sin^2(\alpha))$
$m_a = \frac{c}{2}\sqrt{1 + 3\sin^2(\alpha)}$

Ответ: $m_a = \frac{c}{2}\sqrt{1 + 3\sin^2(\alpha)}$

Медиана, проведенная к катету $AC$

Обозначим медиану, проведенную из вершины $B$ к катету $AC$, как $m_b$. Пусть точка $E$ - середина катета $AC$. Тогда $BE = m_b$.

Рассмотрим треугольник $BCE$. Он является прямоугольным ($\angle C = 90^\circ$). Его катеты - $BC$ и $CE$. Длина $CE$ равна половине длины катета $AC$:
$CE = \frac{AC}{2} = \frac{c \cdot \sin(\alpha)}{2}$

По теореме Пифагора для треугольника $BCE$:
$m_b^2 = BC^2 + CE^2$
$m_b^2 = (c \cdot \cos(\alpha))^2 + \left(\frac{c \cdot \sin(\alpha)}{2}\right)^2 = c^2\cos^2(\alpha) + \frac{c^2\sin^2(\alpha)}{4}$

Вынесем общий множитель $\frac{c^2}{4}$:
$m_b^2 = \frac{c^2}{4}(4\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha))$

Используя основное тригонометрическое тождество, преобразуем выражение в скобках:
$4\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 3\cos^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1 + 3\cos^2(\alpha)$

Таким образом:
$m_b^2 = \frac{c^2}{4}(1 + 3\cos^2(\alpha))$
$m_b = \frac{c}{2}\sqrt{1 + 3\cos^2(\alpha)}$

Ответ: $m_b = \frac{c}{2}\sqrt{1 + 3\cos^2(\alpha)}$

2. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC на стороне BC взята точка D так, что BD : DC = 1 : 4. В каком отношении прямая AD делит высоту BE треугольника ABC, считая от вершины B?

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Это означает, что $AB = BC$. Высота $BE$, проведенная к основанию, в равнобедренном треугольнике является также медианой и биссектрисой.

Поскольку $BE$ — медиана, точка $E$ является серединой основания $AC$. Следовательно, $AE = EC$.

На стороне $BC$ взята точка $D$ так, что $BD:DC = 1:4$. Прямая $AD$ пересекает высоту $BE$ в некоторой точке $O$. Нам необходимо найти отношение $BO:OE$.

Для решения этой задачи удобно применить теорему Менелая для треугольника $BEC$ и секущей $AOD$. Секущая $AOD$ пересекает сторону $BC$ в точке $D$, сторону $BE$ в точке $O$ и продолжение стороны $CE$ (прямую $AC$) в точке $A$.

Согласно теореме Менелая, произведение отношений, в которых секущая делит стороны треугольника (или их продолжения), равно единице:

$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CA}{AE} \cdot \frac{EO}{OB} = 1$

Теперь найдем значения для каждого из отношений в формуле:

1. Из условия задачи известно, что $\frac{BD}{DC} = \frac{1}{4}$.

2. Так как $E$ — середина $AC$, то $AC = AE + EC = AE + AE = 2AE$. Следовательно, отношение $\frac{CA}{AE} = \frac{2AE}{AE} = 2$.

3. Отношение $\frac{EO}{OB}$ (или обратное ему) — искомое.

Подставим известные значения в формулу теоремы Менелая:

$\frac{1}{4} \cdot 2 \cdot \frac{EO}{BO} = 1$

$\frac{2}{4} \cdot \frac{EO}{BO} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{EO}{BO} = 1$

Из этого уравнения находим отношение $\frac{EO}{BO}$:

$\frac{EO}{BO} = 2$

Нас просят найти отношение, считая от вершины $B$, то есть $BO:OE$. Для этого найдем обратное отношение:

$\frac{BO}{EO} = \frac{1}{2}$

Таким образом, прямая $AD$ делит высоту $BE$ в отношении $1:2$, считая от вершины $B$.

Ответ: 1:2.

3. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 5 и 20. Найдите биссектрису, проведённую к боковой стороне треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB$ и $BC$. Согласно условию задачи, длина основания $AC = 5$, а длины боковых сторон $AB = BC = 20$.

Необходимо найти длину биссектрисы, проведённой к боковой стороне. В равнобедренном треугольнике биссектрисы, проведённые из углов при основании ($A$ и $C$), равны между собой. Найдём длину биссектрисы $AD$, проведённой из вершины $A$ к стороне $BC$.

Для решения задачи можно использовать комбинацию свойства биссектрисы и теоремы косинусов.

Сначала воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника, которое гласит, что биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Для биссектрисы $AD$ в треугольнике $ABC$ это свойство записывается в виде соотношения:

$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$

Подставим известные значения длин сторон:

$\frac{BD}{DC} = \frac{20}{5} = 4$

Из этого соотношения следует, что $BD = 4 \cdot DC$.

Точка $D$ делит сторону $BC$ на два отрезка, $BD$ и $DC$, сумма длин которых равна длине всей стороны: $BD + DC = BC = 20$.

Подставим выражение для $BD$ в это уравнение:

$4 \cdot DC + DC = 20$

$5 \cdot DC = 20$

$DC = \frac{20}{5} = 4$

Теперь найдём длину второго отрезка: $BD = 4 \cdot DC = 4 \cdot 4 = 16$.

Далее, для нахождения длины самой биссектрисы $AD$, применим теорему косинусов. Сначала найдём косинус угла $C$ из исходного треугольника $ABC$. По теореме косинусов:

$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)$

Подставим числовые значения:

$20^2 = 5^2 + 20^2 - 2 \cdot 5 \cdot 20 \cdot \cos(\angle C)$

$400 = 25 + 400 - 200 \cdot \cos(\angle C)$

Упростив, получаем:

$0 = 25 - 200 \cdot \cos(\angle C)$

$200 \cdot \cos(\angle C) = 25$

$\cos(\angle C) = \frac{25}{200} = \frac{1}{8}$

Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. Нам известны длины двух его сторон ($AC = 5$ и $DC = 4$) и косинус угла между ними ($\cos(\angle C) = 1/8$). Применим теорему косинусов к этому треугольнику, чтобы найти длину стороны $AD$:

$AD^2 = AC^2 + DC^2 - 2 \cdot AC \cdot DC \cdot \cos(\angle C)$

$AD^2 = 5^2 + 4^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \frac{1}{8}$

$AD^2 = 25 + 16 - \frac{40}{8}$

$AD^2 = 41 - 5$

$AD^2 = 36$

Извлекая квадратный корень, находим длину биссектрисы:

$AD = \sqrt{36} = 6$

Ответ: 6

4. Две стороны треугольника равны 3 и 6, а угол между ними равен 60°. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины этого угла.

Пусть дан треугольник, в котором две стороны равны $a=3$ и $b=6$, а угол $\gamma$ между ними равен $60°$. Необходимо найти длину биссектрисы $l$, проведенной из вершины этого угла.

Для решения задачи воспользуемся методом, основанным на вычислении площади треугольника. Биссектриса, проведенная из вершины угла $\gamma$, делит исходный треугольник на два меньших. Площадь исходного треугольника равна сумме площадей этих двух меньших треугольников.

Площадь исходного треугольника ($S$) вычисляется по формуле, использующей две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$. Подставим известные значения: $S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 \cdot \sin(60°) = 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$

Биссектриса $l$ делит угол $\gamma$ на два равных угла по $\frac{\gamma}{2} = \frac{60°}{2} = 30°$. Она является общей стороной для двух образовавшихся треугольников. Сумма их площадей ($S_1 + S_2$) может быть выражена через $l$: $S_1 + S_2 = \left(\frac{1}{2} \cdot a \cdot l \cdot \sin(30°)\right) + \left(\frac{1}{2} \cdot b \cdot l \cdot \sin(30°)\right)$ $S_1 + S_2 = \frac{1}{2} l \sin(30°) (a+b) = \frac{1}{2} l \sin(30°) (3+6) = \frac{9}{2} l \sin(30°)$

Зная, что $\sin(30°) = \frac{1}{2}$, подставим это значение: $S_1 + S_2 = \frac{9}{2} l \cdot \frac{1}{2} = \frac{9l}{4}$

Так как площадь всего треугольника равна сумме площадей двух меньших ($S = S_1 + S_2$), мы можем приравнять два полученных выражения для площади: $\frac{9\sqrt{3}}{2} = \frac{9l}{4}$

Теперь решим это уравнение относительно $l$: $l = \frac{9\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4}{9}$ $l = \sqrt{3} \cdot 2 = 2\sqrt{3}$

Таким образом, длина искомой биссектрисы равна $2\sqrt{3}$.

Ответ: $2\sqrt{3}$

5. Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H. Известно, что CH = AB. Найдите угол ACB.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведены высоты $AD$ (на сторону $BC$), $BE$ (на сторону $AC$) и $CF$ (на сторону $AB$). Точка их пересечения — ортоцентр $H$. По условию задачи известно, что $CH = AB$. Необходимо найти величину угла $\angle ACB$.

Рассмотрим два возможных случая в зависимости от того, является ли угол $\angle ACB$ острым или тупым. Случай, когда $\angle ACB = 90^\circ$, невозможен. В прямоугольном треугольнике ортоцентр $H$ совпадает с вершиной прямого угла $C$, поэтому отрезок $CH$ имеет нулевую длину. Но сторона $AB$ (гипотенуза) имеет положительную длину, следовательно, равенство $CH=AB$ выполняться не может.

Случай 1: Угол ACB — острый ($\angle ACB < 90^\circ$)

В этом случае ортоцентр $H$ лежит внутри треугольника. Рассмотрим треугольники $\triangle ADB$ и $\triangle CDH$.

1. $\triangle ADB$ является прямоугольным, так как $AD$ — высота, следовательно, $\angle ADB = 90^\circ$. Его острые углы — это $\angle B$ и $\angle BAD = 90^\circ - \angle B$.

2. $\triangle CDH$ также является прямоугольным. Поскольку $H$ лежит на высоте $AD$, а $D$ — на стороне $BC$, то отрезок $HD$ перпендикулярен отрезку $CD$. Таким образом, $\angle HDC = 90^\circ$.

3. Найдем острые углы $\triangle CDH$. Угол $\angle HCD$ является частью угла $\angle C$. Так как $H$ лежит на высоте $CF$, то $\angle HCD = \angle FCD = \angle FCB$. В прямоугольном треугольнике $\triangle BFC$ ($\angle BFC = 90^\circ$), угол $\angle FCB = 90^\circ - \angle FBC = 90^\circ - \angle B$.

4. Третий угол треугольника, $\angle CHD = 180^\circ - 90^\circ - (90^\circ - \angle B) = \angle B$.

Таким образом, углы треугольника $\triangle ADB$ ($90^\circ, \angle B, 90^\circ - \angle B$) соответственно равны углам треугольника $\triangle CDH$ ($90^\circ, \angle B, 90^\circ - \angle B$). Следовательно, эти треугольники подобны ($\triangle ADB \sim \triangle HDC$).

Из подобия следует соотношение соответственных сторон:$$ \frac{AB}{HC} = \frac{AD}{HD} = \frac{DB}{DC} $$По условию задачи $CH = AB$, значит, отношение $\frac{AB}{HC} = 1$.Из этого следует, что $AD = HD$. Но точка $H$ лежит на отрезке $AD$, поэтому равенство $AD=HD$ возможно только если точка $A$ совпадает с точкой $H$. Это означает, что сам угол $\angle A$ является прямым, то есть $\angle BAC = 90^\circ$.Также из $\frac{DB}{DC} = 1$ следует, что $DB=DC$. Это означает, что высота $AD$ является также и медианой, а значит треугольник $ABC$ — равнобедренный с $AB=AC$. Отсюда $\angle B = \angle C$.

Итак, мы получили, что треугольник $ABC$ является прямоугольным ($\angle A = 90^\circ$) и равнобедренным ($\angle B = \angle C$). Сумма углов треугольника равна $180^\circ$:$$ 90^\circ + \angle C + \angle C = 180^\circ \implies 2\angle C = 90^\circ \implies \angle C = 45^\circ $$Этот случай последователен и дает один из возможных ответов.

Случай 2: Угол ACB — тупой ($\angle ACB > 90^\circ$)

В этом случае ортоцентр $H$ находится вне треугольника, а углы $\angle A$ и $\angle B$ должны быть острыми. Высота $AD$ из вершины $A$ опускается на продолжение стороны $BC$ за точку $C$.

Рассмотрим снова треугольники $\triangle ADB$ и $\triangle CDH$.

1. $\triangle ADB$ — прямоугольный ($\angle ADB=90^\circ$), его углы: $\angle B$ и $90^\circ - \angle B$.

2. $\triangle CDH$ — прямоугольный ($\angle CDH=90^\circ$). Угол $\angle HCD$ — это угол между высотой $CF$ и продолжением стороны $BC$. Этот угол равен $\angle BCF = 90^\circ - \angle B$. Третий угол, $\angle CHD = B$.

Как и в первом случае, треугольники $\triangle ADB$ и $\triangle CDH$ подобны. В данном случае подобие будет $\triangle ADB \sim \triangle CDH$.$$ \frac{AB}{CH} = \frac{AD}{CD} = \frac{DB}{DH} $$Из условия $AB=CH$ получаем $\frac{AB}{CH} = 1$.Следовательно, $AD = CD$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADC$. Мы получили, что его катеты $AD$ и $CD$ равны. Это означает, что $\triangle ADC$ — равнобедренный прямоугольный треугольник. Его острый угол $\angle ACD$ равен $45^\circ$.

По построению, точка $D$ лежит на продолжении стороны $BC$ за точку $C$, поэтому углы $\angle ACB$ и $\angle ACD$ являются смежными. Их сумма равна $180^\circ$.$$ \angle ACB + \angle ACD = 180^\circ $$$$ \angle ACB = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ $$Этот случай также дает возможное решение.

Ответ: $45^\circ$ или $135^\circ$.

6. В треугольнике ABC проведены высоты BM и CN, точка O — центр вписанной в треугольник окружности. Известно, что BC = 24, MN = 12. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BOC.

1. Найдем угол A треугольника ABC.

Поскольку $BM$ и $CN$ — высоты треугольника $ABC$, то $BM \perp AC$ и $CN \perp AB$. Это означает, что $\angle BNC = 90^\circ$ и $\angle BMC = 90^\circ$.

Рассмотрим четырехугольник $BCMN$. Углы $\angle BNC$ и $\angle BMC$ равны $90^\circ$ и опираются на один и тот же отрезок $BC$. Это свойство вписанного четырехугольника: если две вершины лежат по одну сторону от прямой, соединяющей две другие вершины, и отрезок между этими двумя вершинами виден из двух первых под одинаковым углом, то все четыре точки лежат на одной окружности. Следовательно, вокруг четырехугольника $BCMN$ можно описать окружность, и $BC$ будет ее диаметром.

Теперь рассмотрим треугольники $AMN$ и $ABC$. Они имеют общий угол $\angle A$. Из прямоугольного треугольника $ANC$ имеем $\cos(\angle A) = \frac{AN}{AC}$. Из прямоугольного треугольника $AMB$ имеем $\cos(\angle A) = \frac{AM}{AB}$. Отсюда следует, что $\frac{AN}{AC} = \frac{AM}{AB} = \cos(\angle A)$.

Таким образом, треугольник $AMN$ подобен треугольнику $ABC$ по второму признаку подобия (две стороны пропорциональны, и угол между ними равен). Коэффициент подобия $k$ равен $\cos(\angle A)$.

Отношение соответствующих сторон подобных треугольников равно коэффициенту подобия: $$ \frac{MN}{BC} = k = \cos(\angle A) $$

Подставим известные значения $MN = 12$ и $BC = 24$: $$ \cos(\angle A) = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} $$ Следовательно, $\angle A = 60^\circ$.

2. Найдем угол BOC.

Точка $O$ — центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности. Это означает, что $O$ является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Следовательно, $BO$ — биссектриса угла $\angle B$, и $CO$ — биссектриса угла $\angle C$. Тогда $\angle OBC = \frac{1}{2}\angle ABC$ и $\angle OCB = \frac{1}{2}\angle ACB$.

Рассмотрим сумму углов в треугольнике $BOC$: $$ \angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180^\circ $$ $$ \angle BOC = 180^\circ - (\angle OBC + \angle OCB) = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle ABC + \angle ACB) $$

Из суммы углов треугольника $ABC$ мы знаем, что $\angle ABC + \angle ACB = 180^\circ - \angle A$. Подставим это в выражение для $\angle BOC$: $$ \angle BOC = 180^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ - \angle A) = 180^\circ - 90^\circ + \frac{\angle A}{2} = 90^\circ + \frac{\angle A}{2} $$

Так как мы нашли, что $\angle A = 60^\circ$: $$ \angle BOC = 90^\circ + \frac{60^\circ}{2} = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ $$

3. Найдем радиус окружности, описанной около треугольника BOC.

Пусть $R$ — радиус окружности, описанной около треугольника $BOC$. По теореме синусов для треугольника $BOC$: $$ \frac{BC}{\sin(\angle BOC)} = 2R $$

Отсюда: $$ R = \frac{BC}{2\sin(\angle BOC)} $$

Нам известно, что $BC=24$ и $\angle BOC = 120^\circ$. Найдем синус этого угла: $$ \sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

Подставим все значения в формулу для радиуса: $$ R = \frac{24}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{24}{\sqrt{3}} $$

Избавимся от иррациональности в знаменателе: $$ R = \frac{24\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3} $$

Ответ: $8\sqrt{3}$

7. Точки A₁, B₁ и C₁ — основания высот треугольника ABC. Углы треугольника A₁B₁C₁ равны 90°, 60° и 30°. Найдите углы треугольника ABC.

Пусть углы треугольника $ABC$ в вершинах $A$, $B$, $C$ равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ соответственно. Треугольник $A_1B_1C_1$, образованный основаниями высот, называется ортотреугольником. Углы ортотреугольника связаны с углами исходного треугольника, и эта связь зависит от того, является ли исходный треугольник остроугольным или тупоугольным (в прямоугольном треугольнике ортотреугольник вырождается в точку, поэтому этот случай не рассматриваем).

Если треугольник $ABC$ остроугольный, то все его углы $\alpha, \beta, \gamma$ меньше $90^\circ$. Углы его ортотреугольника $A_1B_1C_1$ (обозначим их $\alpha', \beta', \gamma'$) вычисляются по формулам:

$\alpha' = 180^\circ - 2\alpha$

$\beta' = 180^\circ - 2\beta$

$\gamma' = 180^\circ - 2\gamma$

По условию задачи, углы ортотреугольника равны $90^\circ, 60^\circ, 30^\circ$. Сопоставим эти значения с формулами для нахождения углов исходного треугольника. Порядок сопоставления не имеет значения для итогового набора углов.

$180^\circ - 2\alpha = 90^\circ \implies 2\alpha = 90^\circ \implies \alpha = 45^\circ$

$180^\circ - 2\beta = 60^\circ \implies 2\beta = 120^\circ \implies \beta = 60^\circ$

$180^\circ - 2\gamma = 30^\circ \implies 2\gamma = 150^\circ \implies \gamma = 75^\circ$

Проверим полученные углы: $45^\circ + 60^\circ + 75^\circ = 180^\circ$. Все углы ($45^\circ, 60^\circ, 75^\circ$) меньше $90^\circ$, следовательно, предположение об остроугольном треугольнике было верным. Таким образом, мы нашли один из возможных наборов углов.

Ответ: Углы треугольника $ABC$ могут быть равны $45^\circ, 60^\circ, 75^\circ$.

Пусть один из углов треугольника $ABC$, например $\alpha$, является тупым ($\alpha > 90^\circ$). Тогда два других угла, $\beta$ и $\gamma$, должны быть острыми. В этом случае формулы для углов ортотреугольника $A_1B_1C_1$ выглядят иначе:

$\alpha' = 2\alpha - 180^\circ$

$\beta' = 2\beta$

$\gamma' = 2\gamma$

Нам нужно сопоставить этим формулам набор углов $\{90^\circ, 60^\circ, 30^\circ\}$. Угол $\alpha'$, соответствующий тупому углу $\alpha$, может быть любым из трех заданных. Рассмотрим все возможные варианты.

Предположим, что угол ортотреугольника, связанный с тупым углом $\alpha$, равен $90^\circ$.

$2\alpha - 180^\circ = 90^\circ \implies 2\alpha = 270^\circ \implies \alpha = 135^\circ$.

Остальные два угла ортотреугольника, $60^\circ$ и $30^\circ$, соответствуют удвоенным острым углам $\beta$ и $\gamma$.

$2\beta = 60^\circ \implies \beta = 30^\circ$

$2\gamma = 30^\circ \implies \gamma = 15^\circ$

Проверка: угол $\alpha = 135^\circ$ — тупой, углы $\beta=30^\circ$ и $\gamma=15^\circ$ — острые. Сумма углов: $135^\circ + 30^\circ + 15^\circ = 180^\circ$. Это второй возможный набор углов.

Ответ: Углы треугольника $ABC$ могут быть равны $135^\circ, 30^\circ, 15^\circ$.

Предположим, что угол ортотреугольника, связанный с тупым углом $\alpha$, равен $60^\circ$.

$2\alpha - 180^\circ = 60^\circ \implies 2\alpha = 240^\circ \implies \alpha = 120^\circ$.

Остальные углы, $90^\circ$ и $30^\circ$, соответствуют $2\beta$ и $2\gamma$.

$2\beta = 90^\circ \implies \beta = 45^\circ$

$2\gamma = 30^\circ \implies \gamma = 15^\circ$

Проверка: угол $\alpha = 120^\circ$ — тупой, углы $\beta=45^\circ$ и $\gamma=15^\circ$ — острые. Сумма: $120^\circ + 45^\circ + 15^\circ = 180^\circ$. Это третий возможный набор углов.

Ответ: Углы треугольника $ABC$ могут быть равны $120^\circ, 45^\circ, 15^\circ$.

Предположим, что угол ортотреугольника, связанный с тупым углом $\alpha$, равен $30^\circ$.

$2\alpha - 180^\circ = 30^\circ \implies 2\alpha = 210^\circ \implies \alpha = 105^\circ$.

Остальные углы, $90^\circ$ и $60^\circ$, соответствуют $2\beta$ и $2\gamma$.

$2\beta = 90^\circ \implies \beta = 45^\circ$

$2\gamma = 60^\circ \implies \gamma = 30^\circ$

Проверка: угол $\alpha = 105^\circ$ — тупой, углы $\beta=45^\circ$ и $\gamma=30^\circ$ — острые. Сумма: $105^\circ + 45^\circ + 30^\circ = 180^\circ$. Это четвертый возможный набор углов.

Ответ: Углы треугольника $ABC$ могут быть равны $105^\circ, 45^\circ, 30^\circ$.