Номер 3, страница 236 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

3. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 5 и 20. Найдите биссектрису, проведённую к боковой стороне треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB$ и $BC$. Согласно условию задачи, длина основания $AC = 5$, а длины боковых сторон $AB = BC = 20$.

Необходимо найти длину биссектрисы, проведённой к боковой стороне. В равнобедренном треугольнике биссектрисы, проведённые из углов при основании ($A$ и $C$), равны между собой. Найдём длину биссектрисы $AD$, проведённой из вершины $A$ к стороне $BC$.

Для решения задачи можно использовать комбинацию свойства биссектрисы и теоремы косинусов.

Сначала воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника, которое гласит, что биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Для биссектрисы $AD$ в треугольнике $ABC$ это свойство записывается в виде соотношения:

$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$

Подставим известные значения длин сторон:

$\frac{BD}{DC} = \frac{20}{5} = 4$

Из этого соотношения следует, что $BD = 4 \cdot DC$.

Точка $D$ делит сторону $BC$ на два отрезка, $BD$ и $DC$, сумма длин которых равна длине всей стороны: $BD + DC = BC = 20$.

Подставим выражение для $BD$ в это уравнение:

$4 \cdot DC + DC = 20$

$5 \cdot DC = 20$

$DC = \frac{20}{5} = 4$

Теперь найдём длину второго отрезка: $BD = 4 \cdot DC = 4 \cdot 4 = 16$.

Далее, для нахождения длины самой биссектрисы $AD$, применим теорему косинусов. Сначала найдём косинус угла $C$ из исходного треугольника $ABC$. По теореме косинусов:

$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)$

Подставим числовые значения:

$20^2 = 5^2 + 20^2 - 2 \cdot 5 \cdot 20 \cdot \cos(\angle C)$

$400 = 25 + 400 - 200 \cdot \cos(\angle C)$

Упростив, получаем:

$0 = 25 - 200 \cdot \cos(\angle C)$

$200 \cdot \cos(\angle C) = 25$

$\cos(\angle C) = \frac{25}{200} = \frac{1}{8}$

Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. Нам известны длины двух его сторон ($AC = 5$ и $DC = 4$) и косинус угла между ними ($\cos(\angle C) = 1/8$). Применим теорему косинусов к этому треугольнику, чтобы найти длину стороны $AD$:

$AD^2 = AC^2 + DC^2 - 2 \cdot AC \cdot DC \cdot \cos(\angle C)$

$AD^2 = 5^2 + 4^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \frac{1}{8}$

$AD^2 = 25 + 16 - \frac{40}{8}$

$AD^2 = 41 - 5$

$AD^2 = 36$

Извлекая квадратный корень, находим длину биссектрисы:

$AD = \sqrt{36} = 6$

Ответ: 6