Номер 20, страница 236 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

20. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания равна 1, а боковое ребро равно 2. Найдите косинус угла между прямыми SB и AE.

Для нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми SB и AE воспользуемся методом параллельного переноса. Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между одной из этих прямых и прямой, параллельной второй и пересекающей первую.

Рассмотрим основание пирамиды — правильный шестиугольник ABCDEF. В правильном шестиугольнике диагональ AE параллельна диагонали BD. Это можно доказать, введя систему координат или рассмотрев симметрию фигуры. Таким образом, искомый угол между прямыми SB и AE равен углу между прямыми SB и BD.

Прямые SB и BD пересекаются в точке B, следовательно, искомый угол равен углу $\angle SBD$ в треугольнике SBD. Найдем длины сторон этого треугольника, чтобы вычислить косинус угла по теореме косинусов.

1. Стороны SB и SD являются боковыми ребрами правильной пирамиды. По условию задачи, их длина равна 2. Итак, $SB = 2$ и $SD = 2$. Это означает, что треугольник SBD — равнобедренный.

2. Сторона BD является меньшей диагональю правильного шестиугольника ABCDEF. Её длину можно найти из треугольника BCD, который находится в основании пирамиды. В этом треугольнике стороны $BC=1$ и $CD=1$. Угол между ними, $\angle BCD$, является внутренним углом правильного шестиугольника и равен $(6-2) \cdot 180^\circ / 6 = 120^\circ$.

Применим к треугольнику BCD теорему косинусов:

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(\angle BCD)$

$BD^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ)$

$BD^2 = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$

Следовательно, длина диагонали $BD = \sqrt{3}$.

3. Теперь мы знаем все стороны треугольника SBD: $SB = 2$, $SD = 2$, $BD = \sqrt{3}$. Применим теорему косинусов к этому треугольнику, чтобы найти косинус угла $\angle SBD$:

$SD^2 = SB^2 + BD^2 - 2 \cdot SB \cdot BD \cdot \cos(\angle SBD)$

$2^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(\angle SBD)$

$4 = 4 + 3 - 4\sqrt{3} \cdot \cos(\angle SBD)$

$0 = 3 - 4\sqrt{3} \cdot \cos(\angle SBD)$

$4\sqrt{3} \cdot \cos(\angle SBD) = 3$

$\cos(\angle SBD) = \frac{3}{4\sqrt{3}}$

Для упрощения дроби избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\cos(\angle SBD) = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{4 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Косинус угла между прямыми SB и AE равен косинусу угла $\angle SBD$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{4}$