Номер 21, страница 236 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

21. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания равна 1, а боковое ребро равно 2. Найдите косинус угла между прямой AC и плоскостью SAF.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с центром в точке O — центре основания пирамиды. Ось Oz направим вдоль высоты пирамиды SO. Основание ABCDEF расположим в плоскости Oxy.

Пусть сторона правильного шестиугольника в основании равна $a=1$. Тогда расстояние от центра шестиугольника до любой его вершины также равно 1 ($OA=OB=\dots=OF=1$). Расположим вершину A на положительной части оси Ox. Тогда ее координаты $A(1, 0, 0)$. Зная, что угол между радиусами, проведенными к соседним вершинам, равен $360^\circ/6 = 60^\circ$, найдем координаты других нужных нам вершин основания. Для вершины C угол $\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$, поэтому ее координаты: $(1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$. Для вершины F угол $\angle AOF = -60^\circ$ (или $300^\circ$), ее координаты: $(1 \cdot \cos(-60^\circ), 1 \cdot \sin(-60^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Вершина пирамиды S лежит на оси Oz, ее координаты $S(0, 0, h)$. Длина бокового ребра $SA$ равна 2. Найдем высоту $h=SO$ из прямоугольного треугольника SOA: $SA^2 = SO^2 + OA^2$, откуда $2^2 = h^2 + 1^2$, $h^2 = 4 - 1 = 3$, и $h = \sqrt{3}$. Таким образом, координаты вершины $S(0, 0, \sqrt{3})$.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Найдем синус этого угла, используя направляющий вектор прямой и вектор нормали к плоскости. Направляющий вектор $\vec{v}$ для прямой AC: $\vec{v} = \vec{AC} = C - A = (-1/2 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-3/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости SAF найдем как векторное произведение векторов $\vec{SA}$ и $\vec{SF}$, лежащих в этой плоскости.$\vec{SA} = A - S = (1, 0, -\sqrt{3})$.$\vec{SF} = F - S = (1/2, -\sqrt{3}/2, -\sqrt{3})$.$\vec{n} = \vec{SA} \times \vec{SF} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & -\sqrt{3} \\ 1/2 & -\sqrt{3}/2 & -\sqrt{3} \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-3/2) - \mathbf{j}(-\sqrt{3}/2) + \mathbf{k}(-\sqrt{3}/2) = (-3/2, \sqrt{3}/2, -\sqrt{3}/2)$. Для удобства вычислений используем коллинеарный вектор $\vec{n'} = -2\vec{n} = (3, -\sqrt{3}, \sqrt{3})$.

Пусть $\phi$ — искомый угол между прямой AC и плоскостью SAF. Синус этого угла находится по формуле: $\sin \phi = \frac{|\vec{AC} \cdot \vec{n'}|}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{n'}|}$.

Вычислим необходимые величины:$|\vec{AC}| = \sqrt{(-3/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{9/4 + 3/4} = \sqrt{12/4} = \sqrt{3}$.$|\vec{n'}| = \sqrt{3^2 + (-\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 3 + 3} = \sqrt{15}$.$\vec{AC} \cdot \vec{n'} = (-3/2) \cdot 3 + (\sqrt{3}/2) \cdot (-\sqrt{3}) + 0 \cdot \sqrt{3} = -9/2 - 3/2 = -12/2 = -6$.

Подставим значения в формулу для синуса угла:$\sin \phi = \frac{|-6|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{15}} = \frac{6}{\sqrt{45}} = \frac{6}{3\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.

Требуется найти косинус угла $\phi$. Так как угол между прямой и плоскостью по определению находится в диапазоне $[0, \pi/2]$, его косинус неотрицателен. Из основного тригонометрического тождества $\cos^2 \phi + \sin^2 \phi = 1$ получаем:$\cos^2 \phi = 1 - \sin^2 \phi = 1 - \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$.Следовательно, $\cos \phi = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{5}$.