Номер 22, страница 236 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

22. Диаметр основания цилиндра равен 20, а образующая цилиндра равна 28. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 12 и 16. Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

Пусть дан цилиндр с высотой $H=28$ и диаметром основания $D=20$. Следовательно, радиус основания $R = D/2 = 10$.

Плоскость пересекает верхнее и нижнее основания цилиндра по хордам. Пусть длина хорды в одном основании $l_1 = 16$, а в другом основании $l_2 = 12$. Обозначим угол между секущей плоскостью и плоскостью основания как $\alpha$.

Для нахождения тангенса угла $\alpha$ рассмотрим сечение цилиндра плоскостью, которая проходит через ось цилиндра и перпендикулярна данным хордам. Угол $\alpha$ будет равен углу наклона линии пересечения секущей плоскости с этой новой плоскостью к прямой, в которой лежит диаметр основания.

Найдем расстояния от центров оснований до соответствующих хорд. Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры оснований.

Расстояние $d_1$ от центра до хорды длиной $l_1=16$ найдем из прямоугольного треугольника, гипотенузой которого является радиус $R=10$, а одним из катетов — половина хорды, то есть $l_1/2 = 16/2 = 8$. По теореме Пифагора:
$d_1 = \sqrt{R^2 - (l_1/2)^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$.

Аналогично найдем расстояние $d_2$ от центра до хорды длиной $l_2=12$. Катетом будет половина хорды, то есть $l_2/2 = 12/2 = 6$.
$d_2 = \sqrt{R^2 - (l_2/2)^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$.

Тангенс искомого угла $\alpha$ равен отношению высоты цилиндра $H$ к горизонтальному расстоянию $L$ между хордами в плоскости построенного нами сечения. Это расстояние $L$ зависит от того, как хорды расположены относительно оси цилиндра.

В условии задачи не указано, находятся ли хорды по одну или по разные стороны от оси цилиндра. Следовательно, существуют два возможных решения.

Случай 1: Хорды расположены по разные стороны от оси цилиндра

Если хорды находятся по разные стороны от оси, то горизонтальное расстояние $L$ между ними в плоскости сечения равно сумме расстояний от центра до каждой хорды:
$L = d_1 + d_2 = 6 + 8 = 14$.
Тангенс угла наклона в этом случае равен:
$\tan(\alpha) = \frac{H}{L} = \frac{28}{14} = 2$.
Ответ: 2

Случай 2: Хорды расположены по одну сторону от оси цилиндра

Если хорды находятся по одну сторону от оси, то горизонтальное расстояние $L$ между ними в плоскости сечения равно модулю разности расстояний от центра до каждой хорды:
$L = |d_1 - d_2| = |6 - 8| = 2$.
Тангенс угла наклона в этом случае равен:
$\tan(\alpha) = \frac{H}{L} = \frac{28}{2} = 14$.
Ответ: 14