Номер 5, страница 236 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

16. Задачи для подготовки к ЕГЭ - номер 5, страница 236.

Условие.

5. Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H. Известно, что CH = AB. Найдите угол ACB.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 6.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведены высоты $AD$ (на сторону $BC$), $BE$ (на сторону $AC$) и $CF$ (на сторону $AB$). Точка их пересечения — ортоцентр $H$. По условию задачи известно, что $CH = AB$. Необходимо найти величину угла $\angle ACB$.

Рассмотрим два возможных случая в зависимости от того, является ли угол $\angle ACB$ острым или тупым. Случай, когда $\angle ACB = 90^\circ$, невозможен. В прямоугольном треугольнике ортоцентр $H$ совпадает с вершиной прямого угла $C$, поэтому отрезок $CH$ имеет нулевую длину. Но сторона $AB$ (гипотенуза) имеет положительную длину, следовательно, равенство $CH=AB$ выполняться не может.

Случай 1: Угол ACB — острый ($\angle ACB < 90^\circ$)

В этом случае ортоцентр $H$ лежит внутри треугольника. Рассмотрим треугольники $\triangle ADB$ и $\triangle CDH$.

1. $\triangle ADB$ является прямоугольным, так как $AD$ — высота, следовательно, $\angle ADB = 90^\circ$. Его острые углы — это $\angle B$ и $\angle BAD = 90^\circ - \angle B$.

2. $\triangle CDH$ также является прямоугольным. Поскольку $H$ лежит на высоте $AD$, а $D$ — на стороне $BC$, то отрезок $HD$ перпендикулярен отрезку $CD$. Таким образом, $\angle HDC = 90^\circ$.

3. Найдем острые углы $\triangle CDH$. Угол $\angle HCD$ является частью угла $\angle C$. Так как $H$ лежит на высоте $CF$, то $\angle HCD = \angle FCD = \angle FCB$. В прямоугольном треугольнике $\triangle BFC$ ($\angle BFC = 90^\circ$), угол $\angle FCB = 90^\circ - \angle FBC = 90^\circ - \angle B$.

4. Третий угол треугольника, $\angle CHD = 180^\circ - 90^\circ - (90^\circ - \angle B) = \angle B$.

Таким образом, углы треугольника $\triangle ADB$ ($90^\circ, \angle B, 90^\circ - \angle B$) соответственно равны углам треугольника $\triangle CDH$ ($90^\circ, \angle B, 90^\circ - \angle B$). Следовательно, эти треугольники подобны ($\triangle ADB \sim \triangle HDC$).

Из подобия следует соотношение соответственных сторон:$$ \frac{AB}{HC} = \frac{AD}{HD} = \frac{DB}{DC} $$По условию задачи $CH = AB$, значит, отношение $\frac{AB}{HC} = 1$.Из этого следует, что $AD = HD$. Но точка $H$ лежит на отрезке $AD$, поэтому равенство $AD=HD$ возможно только если точка $A$ совпадает с точкой $H$. Это означает, что сам угол $\angle A$ является прямым, то есть $\angle BAC = 90^\circ$.Также из $\frac{DB}{DC} = 1$ следует, что $DB=DC$. Это означает, что высота $AD$ является также и медианой, а значит треугольник $ABC$ — равнобедренный с $AB=AC$. Отсюда $\angle B = \angle C$.

Итак, мы получили, что треугольник $ABC$ является прямоугольным ($\angle A = 90^\circ$) и равнобедренным ($\angle B = \angle C$). Сумма углов треугольника равна $180^\circ$:$$ 90^\circ + \angle C + \angle C = 180^\circ \implies 2\angle C = 90^\circ \implies \angle C = 45^\circ $$Этот случай последователен и дает один из возможных ответов.

Случай 2: Угол ACB — тупой ($\angle ACB > 90^\circ$)

В этом случае ортоцентр $H$ находится вне треугольника, а углы $\angle A$ и $\angle B$ должны быть острыми. Высота $AD$ из вершины $A$ опускается на продолжение стороны $BC$ за точку $C$.

Рассмотрим снова треугольники $\triangle ADB$ и $\triangle CDH$.

1. $\triangle ADB$ — прямоугольный ($\angle ADB=90^\circ$), его углы: $\angle B$ и $90^\circ - \angle B$.

2. $\triangle CDH$ — прямоугольный ($\angle CDH=90^\circ$). Угол $\angle HCD$ — это угол между высотой $CF$ и продолжением стороны $BC$. Этот угол равен $\angle BCF = 90^\circ - \angle B$. Третий угол, $\angle CHD = B$.

Как и в первом случае, треугольники $\triangle ADB$ и $\triangle CDH$ подобны. В данном случае подобие будет $\triangle ADB \sim \triangle CDH$.$$ \frac{AB}{CH} = \frac{AD}{CD} = \frac{DB}{DH} $$Из условия $AB=CH$ получаем $\frac{AB}{CH} = 1$.Следовательно, $AD = CD$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADC$. Мы получили, что его катеты $AD$ и $CD$ равны. Это означает, что $\triangle ADC$ — равнобедренный прямоугольный треугольник. Его острый угол $\angle ACD$ равен $45^\circ$.

По построению, точка $D$ лежит на продолжении стороны $BC$ за точку $C$, поэтому углы $\angle ACB$ и $\angle ACD$ являются смежными. Их сумма равна $180^\circ$.$$ \angle ACB + \angle ACD = 180^\circ $$$$ \angle ACB = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ $$Этот случай также дает возможное решение.

Ответ: $45^\circ$ или $135^\circ$.