Номер 8, страница 237 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

16. Задачи для подготовки к ЕГЭ - номер 8, страница 237.

Условие.

8. Углы A и C треугольника ABC равны 45° и 60°. Отрезки AM, BN и CK — высоты треугольника. Найдите отношение $\frac{MN}{KN}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 6.

Пусть в треугольнике $ABC$ даны углы $\angle A = 45^{\circ}$ и $\angle C = 60^{\circ}$. Сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ}$, поэтому третий угол $\angle B = 180^{\circ} - \angle A - \angle C = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 60^{\circ} = 75^{\circ}$.

Отрезки $AM$, $BN$ и $CK$ являются высотами треугольника, опущенными на стороны $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно. Точки $M$, $N$, $K$ — основания этих высот. Требуется найти отношение длин отрезков $MN$ и $KN$.

Рассмотрим треугольник $AKN$. Так как $CK$ — высота, то $\triangle AKC$ — прямоугольный, и $AK = AC \cdot \cos(\angle A)$. Так как $BN$ — высота, то $\triangle ANB$ — прямоугольный, и $AN = AB \cdot \cos(\angle A)$.
В $\triangle AKN$ применим теорему косинусов для стороны $KN$:
$KN^2 = AK^2 + AN^2 - 2 \cdot AK \cdot AN \cdot \cos(\angle A)$
$KN^2 = (AC \cdot \cos(A))^2 + (AB \cdot \cos(A))^2 - 2 \cdot (AC \cdot \cos(A)) \cdot (AB \cdot \cos(A)) \cdot \cos(A)$
$KN^2 = \cos^2(A) \cdot (AC^2 + AB^2 - 2 \cdot AC \cdot AB \cdot \cos(A))$
Выражение в скобках по теореме косинусов для $\triangle ABC$ равно $BC^2$. Обозначим стороны $BC=a, AC=b, AB=c$. Тогда $b^2+c^2-2bc \cos(A) = a^2$.
$KN^2 = a^2 \cdot \cos^2(A) \Rightarrow KN = a \cdot |\cos(A)|$. Так как $\angle A = 45^{\circ}$ — острый, $KN = a \cdot \cos(A)$.

Аналогично рассмотрим треугольник $CMN$. Так как $AM$ — высота, то $\triangle AMC$ — прямоугольный, и $CM = AC \cdot \cos(\angle C)$. Так как $BN$ — высота, то $\triangle BNC$ — прямоугольный, и $CN = BC \cdot \cos(\angle C)$.
В $\triangle CMN$ применим теорему косинусов для стороны $MN$:
$MN^2 = CM^2 + CN^2 - 2 \cdot CM \cdot CN \cdot \cos(\angle C)$
$MN^2 = (AC \cdot \cos(C))^2 + (BC \cdot \cos(C))^2 - 2 \cdot (AC \cdot \cos(C)) \cdot (BC \cdot \cos(C)) \cdot \cos(C)$
$MN^2 = \cos^2(C) \cdot (AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(C))$
Выражение в скобках по теореме косинусов для $\triangle ABC$ равно $AB^2$. То есть $b^2+a^2-2ab \cos(C) = c^2$.
$MN^2 = c^2 \cdot \cos^2(C) \Rightarrow MN = c \cdot |\cos(C)|$. Так как $\angle C = 60^{\circ}$ — острый, $MN = c \cdot \cos(C)$.

Теперь найдем искомое отношение $\frac{MN}{KN}$:
$\frac{MN}{KN} = \frac{c \cdot \cos(C)}{a \cdot \cos(A)}$
По теореме синусов в $\triangle ABC$ имеем: $\frac{a}{\sin(A)} = \frac{c}{\sin(C)}$, откуда $\frac{c}{a} = \frac{\sin(C)}{\sin(A)}$.
Подставим это соотношение в нашу формулу: $\frac{MN}{KN} = \frac{\sin(C)}{\sin(A)} \cdot \frac{\cos(C)}{\cos(A)} = \frac{\sin(C)\cos(C)}{\sin(A)\cos(A)}$
Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$, получаем:
$\frac{MN}{KN} = \frac{\frac{1}{2}\sin(2C)}{\frac{1}{2}\sin(2A)} = \frac{\sin(2C)}{\sin(2A)}$

Подставим значения углов $A=45^{\circ}$ и $C=60^{\circ}$:
$\frac{MN}{KN} = \frac{\sin(2 \cdot 60^{\circ})}{\sin(2 \cdot 45^{\circ})} = \frac{\sin(120^{\circ})}{\sin(90^{\circ})}$
Так как $\sin(120^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 60^{\circ}) = \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(90^{\circ}) = 1$, то:
$\frac{MN}{KN} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$