Номер 13, страница 237 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

13. В выпуклом четырёхугольнике ABCD отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, пересекаются под углом 60°, а их длины относятся как 1 : 3. Чему равна меньшая диагональ четырёхугольника ABCD, если большая равна 39?

Пусть $ABCD$ — данный выпуклый четырёхугольник. Обозначим длины его диагоналей $AC$ и $BD$ как $d_1$ и $d_2$ соответственно. Пусть $m_1$ и $m_2$ — длины отрезков, соединяющих середины противоположных сторон (эти отрезки также называют бимедианами).

Существует две формулы, связывающие длины диагоналей и бимедиан произвольного четырёхугольника. Если $\phi$ — угол между бимедианами, то справедливы следующие соотношения, известные как следствия из теоремы Эйлера для четырёхугольника:

1) Сумма квадратов длин диагоналей: $d_1^2 + d_2^2 = 2(m_1^2 + m_2^2)$.

2) Разность квадратов длин диагоналей: $d_1^2 - d_2^2 = \pm 4 m_1 m_2 \cos\phi$. Знак в формуле зависит от того, как соотнесены диагонали и бимедианы, но для нахождения длин можно использовать модуль разности.

По условию задачи, угол между бимедианами равен $60^\circ$, следовательно $\phi = 60^\circ$ и $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$. Длины бимедиан относятся как $1:3$. Обозначим их длины как $m_1 = x$ и $m_2 = 3x$ для некоторого положительного числа $x$.

Подставим эти значения в первую формулу:

$d_1^2 + d_2^2 = 2(x^2 + (3x)^2) = 2(x^2 + 9x^2) = 2(10x^2) = 20x^2$.

Теперь воспользуемся второй формулой. Так как мы ищем длины, нам важен модуль разности квадратов длин диагоналей:

$|d_1^2 - d_2^2| = 4 m_1 m_2 \cos(60^\circ) = 4 \cdot x \cdot 3x \cdot \frac{1}{2} = 12x^2 \cdot \frac{1}{2} = 6x^2$.

Таким образом, мы получили систему уравнений для квадратов длин диагоналей $d_1^2$ и $d_2^2$:

$d_1^2 + d_2^2 = 20x^2$

$|d_1^2 - d_2^2| = 6x^2$

Пусть $D_L$ — большая диагональ, а $D_S$ — меньшая. Тогда $D_L^2$ и $D_S^2$ — квадраты их длин. Система примет вид:

$D_L^2 + D_S^2 = 20x^2$

$D_L^2 - D_S^2 = 6x^2$

Сложив эти два уравнения, получим:

$2D_L^2 = 26x^2 \implies D_L^2 = 13x^2$.

Вычтя второе уравнение из первого, получим:

$2D_S^2 = 14x^2 \implies D_S^2 = 7x^2$.

По условию, большая диагональ равна $\sqrt{39}$. Следовательно, $D_L = \sqrt{39}$, а квадрат её длины $D_L^2 = 39$.

Приравняем полученные выражения для $D_L^2$:

$13x^2 = 39$.

Отсюда находим $x^2$:

$x^2 = \frac{39}{13} = 3$.

Теперь можем найти квадрат длины меньшей диагонали, подставив значение $x^2$:

$D_S^2 = 7x^2 = 7 \cdot 3 = 21$.

Следовательно, длина меньшей диагонали равна $D_S = \sqrt{21}$.

Ответ: $\sqrt{21}$.