Номер 18, страница 237 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

18. Три окружности разных радиусов попарно касаются друг друга извне. Отрезки, соединяющие их центры, образуют прямоугольный треугольник. Найдите радиус меньшей окружности, если радиусы двух других равны 6 и 4.

Пусть радиусы трех окружностей равны $r_1=6$, $r_2=4$ и $r_3=x$, где $x$ — искомый радиус. Поскольку окружности попарно касаются друг друга извне, их центры образуют треугольник. Длины сторон этого треугольника равны суммам соответствующих радиусов:

• Сторона $a$, соединяющая центры окружностей с радиусами $r_2$ и $r_3$: $a = 4 + x$
• Сторона $b$, соединяющая центры окружностей с радиусами $r_1$ и $r_3$: $b = 6 + x$
• Сторона $c$, соединяющая центры окружностей с радиусами $r_1$ и $r_2$: $c = 6 + 4 = 10$

По условию, этот треугольник является прямоугольным, следовательно, его стороны должны удовлетворять теореме Пифагора. Необходимо рассмотреть все возможные случаи, в зависимости от того, какая из сторон является гипотенузой.

Случай 1: гипотенузой является сторона $c = 10$.

В этом случае сторона $c$ должна быть самой длинной, то есть $10 > 6+x$ и $10 > 4+x$. Оба неравенства выполняются, если $x < 4$. Применим теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:

$(4+x)^2 + (6+x)^2 = 10^2$

$16 + 8x + x^2 + 36 + 12x + x^2 = 100$

$2x^2 + 20x + 52 = 100$

$2x^2 + 20x - 48 = 0$

$x^2 + 10x - 24 = 0$

Решая это квадратное уравнение, находим корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -12$. Так как радиус не может быть отрицательным, единственное подходящее решение — $x = 2$. Это значение удовлетворяет нашему предположению $x < 4$. В этом случае радиусы окружностей равны {2, 4, 6}, и радиус меньшей окружности в этом наборе действительно равен 2.

Случай 2: гипотенузой является сторона $b = 6+x$.

В этом случае сторона $b$ должна быть самой длинной. Так как $b = 6+x$ всегда больше, чем $a = 4+x$, требуется только выполнение условия $6+x > 10$, что означает $x > 4$. Применим теорему Пифагора $a^2 + c^2 = b^2$:

$(4+x)^2 + 10^2 = (6+x)^2$

$16 + 8x + x^2 + 100 = 36 + 12x + x^2$

$116 + 8x = 36 + 12x$

$80 = 4x$

$x = 20$

Это значение удовлетворяет нашему предположению $x > 4$. В этом случае радиусы окружностей равны {4, 6, 20}, и радиус меньшей окружности в этом наборе равен 4.

Случай 3: гипотенузой является сторона $a = 4+x$.

Этот случай невозможен, так как для любого положительного радиуса $x$ сторона $b=6+x$ всегда длиннее стороны $a=4+x$, а катет не может быть длиннее гипотенузы.

Таким образом, мы получили два математически возможных сценария. В первом радиус третьей окружности равен 2, а набор радиусов — {2, 4, 6}. Меньший радиус в этом наборе — 2. Во втором сценарии радиус третьей окружности равен 20, а набор радиусов — {4, 6, 20}. Меньший радиус в этом наборе — 4. Формулировка вопроса «Найдите радиус меньшей окружности» в единственном числе предполагает одно-единственное решение. Наиболее естественная интерпретация состоит в том, что искомый радиус $x$ и является радиусом наименьшей из трех окружностей. Это условие ($x<4$) выполняется только в первом случае. Во втором случае найденный радиус $x=20$ не является наименьшим. Следовательно, наиболее логичным и соответствующим вопросу является решение из первого случая.

Ответ: 2