Номер 22, страница 238 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

22. Окружности S₁ и S₂ радиусов R и r соответственно (R > r) касаются в точке A. Через точку B, лежащую на окружности S₁, проведена прямая, касающаяся окружности S₂ в точке M. Найдите отрезок BM, если известно, что AB = a.

Для решения данной задачи воспользуемся свойством степени точки относительно окружности. Степень точки $B$ относительно окружности $S_2$ равна квадрату длины отрезка касательной $BM$, проведенной из точки $B$ к этой окружности. Также степень точки $B$ можно выразить через отрезки секущей. Проведем прямую через точки $A$ и $B$. Пусть эта прямая пересекает окружность $S_2$ второй раз в точке $C$ (первая точка пересечения — $A$). По теореме о касательной и секущей, квадрат длины отрезка касательной $BM$ равен произведению длин отрезков секущей от точки $B$ до точек пересечения с окружностью: $BM^2 = BA \cdot BC$. Длина отрезка $BA$ нам известна по условию и равна $a$. Чтобы найти $BM$, нам необходимо найти длину отрезка $BC$. Для этого нужно определить положение точки $C$ на прямой $AB$. Это положение зависит от того, как именно касаются окружности — внешним или внутренним образом. Поскольку в условии задачи это не уточнено, рассмотрим оба возможных случая.

Случай 1. Окружности касаются внешним образом.

В этом случае центры окружностей лежат на линии центров по разные стороны от точки касания $A$. Существует гомотетия с центром в точке $A$, переводящая окружность $S_2$ в окружность $S_1$. Так как окружности лежат по разные стороны от их общей касательной в точке $A$, коэффициент гомотетии $k$ будет отрицательным. Он равен отношению их радиусов, взятому со знаком минус: $k = -R/r$.

Эта гомотетия переводит точку $C$ (лежащую на окружности $S_2$ и прямой $AB$) в точку $B$ (лежащую на окружности $S_1$ и той же прямой). Следовательно, для векторов справедливо соотношение $\vec{AB} = k \cdot \vec{AC} = -\frac{R}{r} \vec{AC}$.

Из векторного равенства следует, что точки $B$, $A$ и $C$ лежат на одной прямой, причем точка $A$ находится между точками $B$ и $C$. Для длин отрезков справедливо равенство $AB = \frac{R}{r} AC$.

Так как по условию $AB = a$, мы можем выразить длину отрезка $AC$: $AC = a \frac{r}{R}$.

Теперь мы можем найти длину отрезка $BC$. Так как $A$ лежит между $B$ и $C$, то $BC = BA + AC$.

$BC = a + a \frac{r}{R} = a \left(1 + \frac{r}{R}\right) = a \frac{R+r}{R}$.

Подставляем найденные значения в формулу для степени точки $B$:

$BM^2 = BA \cdot BC = a \cdot \left(a \frac{R+r}{R}\right) = a^2 \frac{R+r}{R}$.

Отсюда находим искомую длину отрезка $BM$:

$BM = \sqrt{a^2 \frac{R+r}{R}} = a \sqrt{\frac{R+r}{R}}$.

Ответ: $BM = a \sqrt{\frac{R+r}{R}}$.

Случай 2. Окружности касаются внутренним образом.

Поскольку по условию $R>r$, окружность $S_2$ находится внутри окружности $S_1$. Их центры лежат на линии центров по одну сторону от точки касания $A$.

Гомотетия с центром в точке $A$, переводящая окружность $S_2$ в $S_1$, в этом случае имеет положительный коэффициент $k$, равный отношению их радиусов: $k = R/r$.

Эта гомотетия, как и в первом случае, переводит точку $C$ (вторую точку пересечения прямой $AB$ с окружностью $S_2$) в точку $B$. Таким образом, для векторов получаем $\vec{AB} = k \cdot \vec{AC} = \frac{R}{r} \vec{AC}$.

Положительный коэффициент гомотетии означает, что точки $B$ и $C$ лежат по одну сторону от центра гомотетии $A$. Так как $k = R/r > 1$, то $AB > AC$. Это значит, что на прямой точка $C$ лежит между точками $A$ и $B$.

Для длин отрезков получаем $AB = \frac{R}{r} AC$, откуда, зная $AB = a$, находим $AC = a \frac{r}{R}$.

Длина отрезка $BC$ в этом случае равна разности длин $AB$ и $AC$: $BC = AB - AC$.

$BC = a - a \frac{r}{R} = a \left(1 - \frac{r}{R}\right) = a \frac{R-r}{R}$.

Теперь подставляем найденные значения в формулу для степени точки $B$ относительно окружности $S_2$: $BM^2 = BA \cdot BC$.

$BM^2 = a \cdot \left(a \frac{R-r}{R}\right) = a^2 \frac{R-r}{R}$.

Тогда искомая длина отрезка $BM$ равна:

$BM = \sqrt{a^2 \frac{R-r}{R}} = a \sqrt{\frac{R-r}{R}}$.

Ответ: $BM = a \sqrt{\frac{R-r}{R}}$.