Номер 26, страница 238 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

26. Треугольник ABC вписан в окружность радиуса 12, AB = 6 и BC = 4. Найдите AC.

Для решения задачи воспользуемся обобщенной теоремой синусов и теоремой косинусов.

Пусть стороны треугольника $ABC$ равны $a = BC = 4$, $c = AB = 6$ и $b = AC$. Радиус описанной окружности $R=12$. Углы, противолежащие сторонам $a$, $b$, $c$, обозначим как $A$, $B$, $C$ соответственно.

Согласно обобщенной теореме синусов, для любого треугольника выполняется соотношение:$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

Найдем синусы углов $A$ и $C$:$\sin A = \frac{a}{2R} = \frac{4}{2 \cdot 12} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$
$\sin C = \frac{c}{2R} = \frac{6}{2 \cdot 12} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$

Для дальнейших вычислений нам понадобятся косинусы этих углов. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, откуда $\cos\alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2\alpha}$. Так как угол треугольника может быть как острым (косинус положительный), так и тупым (косинус отрицательный), мы должны рассмотреть все возможные случаи.
$\cos A = \pm\sqrt{1 - \sin^2 A} = \pm\sqrt{1 - \left(\frac{1}{6}\right)^2} = \pm\sqrt{1 - \frac{1}{36}} = \pm\frac{\sqrt{35}}{6}$
$\cos C = \pm\sqrt{1 - \sin^2 C} = \pm\sqrt{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2} = \pm\sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \pm\frac{\sqrt{15}}{4}$

Сумма углов в треугольнике $A+B+C = 180^\circ$, поэтому $A+C < 180^\circ$. Проанализируем возможные комбинации острых и тупых углов $A$ и $C$.
Пусть $\alpha = \arcsin(1/6)$ и $\gamma = \arcsin(1/4)$.
1. Оба угла $A$ и $C$ острые: $A = \alpha$, $C = \gamma$. Сумма $A+C = \alpha+\gamma < 90^\circ+90^\circ=180^\circ$. Этот случай возможен.
2. Угол $A$ острый, угол $C$ тупой: $A = \alpha$, $C = 180^\circ - \gamma$. Сумма $A+C = \alpha + 180^\circ - \gamma$. Для того чтобы $A+C < 180^\circ$, должно выполняться $\alpha < \gamma$. Так как $1/6 < 1/4$ и функция арксинус возрастающая, то $\arcsin(1/6) < \arcsin(1/4)$, т.е. $\alpha < \gamma$. Этот случай также возможен.
3. Угол $A$ тупой, угол $C$ острый: $A = 180^\circ - \alpha$, $C = \gamma$. Сумма $A+C = 180^\circ - \alpha + \gamma$. Для того чтобы $A+C < 180^\circ$, должно выполняться $\gamma < \alpha$, что неверно. Этот случай невозможен.
4. Оба угла $A$ и $C$ тупые. Сумма $A+C > 180^\circ$. Невозможно.

Таким образом, существуют два возможных треугольника, удовлетворяющих условию задачи. Найдем сторону $AC$ для каждого из них.
По теореме косинусов для стороны $AC$:$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$$b^2 = c^2 + a^2 - 2ca \cos B = 6^2 + 4^2 - 2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot \cos B = 52 - 48 \cos B$
Выразим $\cos B$ через углы $A$ и $C$: $B = 180^\circ - (A+C)$, следовательно $\cos B = \cos(180^\circ - (A+C)) = -\cos(A+C)$.
$\cos(A+C) = \cos A \cos C - \sin A \sin C$.

Случай 1: Углы $A$ и $C$ — острые.
$\cos A = \frac{\sqrt{35}}{6}$ и $\cos C = \frac{\sqrt{15}}{4}$.
$\cos(A+C) = \frac{\sqrt{35}}{6} \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{4} = \frac{\sqrt{525}}{24} - \frac{1}{24} = \frac{\sqrt{25 \cdot 21} - 1}{24} = \frac{5\sqrt{21} - 1}{24}$.
$\cos B = -\cos(A+C) = -\frac{5\sqrt{21} - 1}{24} = \frac{1 - 5\sqrt{21}}{24}$.
Так как $5\sqrt{21} > 1$, $\cos B < 0$, значит угол $B$ — тупой.
$AC^2 = 52 - 48 \left(\frac{1 - 5\sqrt{21}}{24}\right) = 52 - 2(1 - 5\sqrt{21}) = 52 - 2 + 10\sqrt{21} = 50 + 10\sqrt{21}$.
$AC = \sqrt{50 + 10\sqrt{21}}$. Это выражение можно упростить по формуле сложного радикала: $\sqrt{X+\sqrt{Y}} = \sqrt{\frac{X+\sqrt{X^2-Y}}{2}} + \sqrt{\frac{X-\sqrt{X^2-Y}}{2}}$.
$AC = \sqrt{50 + \sqrt{2100}} = \sqrt{\frac{50+\sqrt{2500-2100}}{2}} + \sqrt{\frac{50-\sqrt{2500-2100}}{2}} = \sqrt{\frac{50+20}{2}} + \sqrt{\frac{50-20}{2}} = \sqrt{35} + \sqrt{15}$.

Случай 2: Угол $A$ — острый, угол $C$ — тупой.
$\cos A = \frac{\sqrt{35}}{6}$ и $\cos C = -\frac{\sqrt{15}}{4}$.
$\cos(A+C) = \frac{\sqrt{35}}{6} \cdot \left(-\frac{\sqrt{15}}{4}\right) - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{4} = -\frac{5\sqrt{21}}{24} - \frac{1}{24} = -\frac{5\sqrt{21} + 1}{24}$.
$\cos B = -\cos(A+C) = \frac{5\sqrt{21} + 1}{24}$.
Так как $\cos B > 0$, угол $B$ — острый.
$AC^2 = 52 - 48 \left(\frac{1 + 5\sqrt{21}}{24}\right) = 52 - 2(1 + 5\sqrt{21}) = 52 - 2 - 10\sqrt{21} = 50 - 10\sqrt{21}$.
$AC = \sqrt{50 - 10\sqrt{21}} = \sqrt{50 - \sqrt{2100}} = \sqrt{\frac{50+20}{2}} - \sqrt{\frac{50-20}{2}} = \sqrt{35} - \sqrt{15}$.

Оба решения являются корректными.
Ответ: $AC = \sqrt{35} + \sqrt{15}$ или $AC = \sqrt{35} - \sqrt{15}$.