Номер 31, страница 238 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

16. Задачи для подготовки к ЕГЭ - номер 31, страница 238.

Условие.

31. В прямоугольном треугольнике ABC катеты AB и AC равны 4 и 3, точка D — середина гипотенузы BC. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники ADC и ABD.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 6.

Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ катеты $AB = 4$ и $AC = 3$, а прямой угол находится в вершине $A$. Найдем длину гипотенузы $BC$ по теореме Пифагора:$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

Точка $D$ — середина гипотенузы $BC$. Следовательно, $AD$ является медианой, проведенной к гипотенузе. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Таким образом,$AD = BD = DC = \frac{1}{2}BC = \frac{5}{2} = 2.5$.

Задача сводится к нахождению расстояния между центрами вписанных окружностей в треугольники $ABD$ и $ADC$. Обозначим эти центры как $O_1$ и $O_2$ соответственно.Для решения задачи воспользуемся методом координат. Поместим вершину $A$ в начало координат $(0, 0)$. Так как угол $BAC$ прямой, расположим катеты вдоль осей координат. Пусть вершина $B$ имеет координаты $(0, 4)$, а вершина $C$ — $(3, 0)$.

Координаты точки $D$, как середины отрезка $BC$, находятся как полусумма координат точек $B$ и $C$:$D = \left(\frac{0+3}{2}, \frac{4+0}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, 2\right)$.

Теперь найдем координаты центров вписанных окружностей. Координаты инцентра треугольника с вершинами $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$, $(x_3, y_3)$ и длинами противолежащих сторон $a, b, c$ вычисляются по формуле:$I = \left(\frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a+b+c}\right)$.

Найдем координаты центра $O_1$ вписанной окружности в $\triangle ABD$.
Вершины треугольника: $A(0, 0)$, $B(0, 4)$, $D(\frac{3}{2}, 2)$.
Длины сторон:

• $AB = 4$ (противолежит вершине D)
• $AD = \sqrt{(\frac{3}{2}-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 4} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$ (противолежит вершине B)
• $BD = \frac{5}{2}$ (противолежит вершине A)

Периметр $\triangle ABD$ равен $P_1 = 4 + \frac{5}{2} + \frac{5}{2} = 9$.
Координаты $O_1(x_1, y_1)$:$x_1 = \frac{\frac{5}{2} \cdot 0 + \frac{5}{2} \cdot 0 + 4 \cdot \frac{3}{2}}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.
$y_1 = \frac{\frac{5}{2} \cdot 0 + \frac{5}{2} \cdot 4 + 4 \cdot 2}{9} = \frac{10 + 8}{9} = \frac{18}{9} = 2$.
Таким образом, $O_1 = \left(\frac{2}{3}, 2\right)$.

Найдем координаты центра $O_2$ вписанной окружности в $\triangle ADC$.
Вершины треугольника: $A(0, 0)$, $D(\frac{3}{2}, 2)$, $C(3, 0)$.
Длины сторон:

• $AC = 3$ (противолежит вершине D)
• $AD = \frac{5}{2}$ (противолежит вершине C)
• $DC = \frac{5}{2}$ (противолежит вершине A)

Периметр $\triangle ADC$ равен $P_2 = 3 + \frac{5}{2} + \frac{5}{2} = 8$.
Координаты $O_2(x_2, y_2)$:$x_2 = \frac{\frac{5}{2} \cdot 0 + 3 \cdot \frac{3}{2} + \frac{5}{2} \cdot 3}{8} = \frac{\frac{9}{2} + \frac{15}{2}}{8} = \frac{\frac{24}{2}}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$.
$y_2 = \frac{\frac{5}{2} \cdot 0 + 3 \cdot 2 + \frac{5}{2} \cdot 0}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
Таким образом, $O_2 = \left(\frac{3}{2}, \frac{3}{4}\right)$.

Найдем расстояние между точками $O_1$ и $O_2$.
Расстояние $d$ между точками $O_1\left(\frac{2}{3}, 2\right)$ и $O_2\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{4}\right)$ вычисляется по формуле:$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.
$d = \sqrt{\left(\frac{3}{2} - \frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{3}{4} - 2\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{9-4}{6}\right)^2 + \left(\frac{3-8}{4}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{5}{6}\right)^2 + \left(-\frac{5}{4}\right)^2}$.
$d = \sqrt{\frac{25}{36} + \frac{25}{16}} = \sqrt{25 \left(\frac{1}{36} + \frac{1}{16}\right)} = 5 \sqrt{\frac{4+9}{144}} = 5 \sqrt{\frac{13}{144}} = \frac{5\sqrt{13}}{12}$.

Ответ: $\frac{5\sqrt{13}}{12}$.