Номер 35, страница 239 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

35. На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC отмечены точки K, L и M так, что AK : KB = 2 : 3, BL : LC = 1 : 2 и CM : MA = 3 : 1. В каком отношении точка пересечения отрезков KL и BM делит отрезок BM?

Для решения данной задачи воспользуемся методом векторов. Введем базисные векторы, отложенные от одной из вершин треугольника, например, от вершины B.

Пусть $\vec{BA} = \vec{a}$ и $\vec{BC} = \vec{c}$.

По условию задачи, на сторонах треугольника отмечены точки K, L, M. Выразим векторы, ведущие к этим точкам, через базисные векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$.

1. Точка K лежит на стороне AB и делит ее в отношении $AK:KB = 2:3$. Это значит, что $KB$ составляет 3 части из 5 частей отрезка AB. Следовательно, вектор $\vec{BK}$ составляет $\frac{3}{5}$ от вектора $\vec{BA}$.
$\vec{BK} = \frac{3}{5} \vec{BA} = \frac{3}{5} \vec{a}$.

2. Точка L лежит на стороне BC и делит ее в отношении $BL:LC = 1:2$. Это значит, что $BL$ составляет 1 часть из 3 частей отрезка BC. Следовательно, вектор $\vec{BL}$ составляет $\frac{1}{3}$ от вектора $\vec{BC}$.
$\vec{BL} = \frac{1}{3} \vec{BC} = \frac{1}{3} \vec{c}$.

3. Точка M лежит на стороне AC и делит ее в отношении $CM:MA = 3:1$. Чтобы выразить вектор $\vec{BM}$, воспользуемся правилом нахождения вектора, проведенного из вершины треугольника к точке на противоположной стороне. В треугольнике ABC точка M делит сторону AC.
$\vec{BM} = \frac{1}{3+1}\vec{BC} + \frac{3}{3+1}\vec{BA} = \frac{1}{4}\vec{c} + \frac{3}{4}\vec{a}$.

Пусть O — точка пересечения отрезков KL и BM. Поскольку точка O лежит на отрезке BM, вектор $\vec{BO}$ коллинеарен вектору $\vec{BM}$, а значит, его можно выразить как $\vec{BO} = \lambda \vec{BM}$ для некоторого скаляра $\lambda \in (0, 1)$.
$\vec{BO} = \lambda \left( \frac{3}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{c} \right) = \frac{3\lambda}{4}\vec{a} + \frac{\lambda}{4}\vec{c}$.
Отношение, в котором точка O делит отрезок BM, равно $BO:OM = \lambda : (1-\lambda)$. Нам нужно найти значение $\lambda$.

С другой стороны, точка O лежит на отрезке KL. Это означает, что вектор $\vec{BO}$ можно выразить как линейную комбинацию векторов $\vec{BK}$ и $\vec{BL}$:
$\vec{BO} = (1-\mu)\vec{BK} + \mu\vec{BL}$ для некоторого скаляра $\mu \in (0, 1)$.
Подставим выражения для $\vec{BK}$ и $\vec{BL}$:
$\vec{BO} = (1-\mu)\left(\frac{3}{5}\vec{a}\right) + \mu\left(\frac{1}{3}\vec{c}\right) = \frac{3(1-\mu)}{5}\vec{a} + \frac{\mu}{3}\vec{c}$.

Теперь у нас есть два разных выражения для одного и того же вектора $\vec{BO}$. Поскольку базисные векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ неколлинеарны (так как они представляют стороны треугольника), мы можем приравнять коэффициенты при них в обоих выражениях:

$\begin{cases} \frac{3\lambda}{4} = \frac{3(1-\mu)}{5} \\ \frac{\lambda}{4} = \frac{\mu}{3} \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $\mu$:
$\mu = \frac{3\lambda}{4}$.

Подставим это выражение для $\mu$ в первое уравнение:

$\frac{3\lambda}{4} = \frac{3\left(1 - \frac{3\lambda}{4}\right)}{5}$

Сократим на 3:

$\frac{\lambda}{4} = \frac{1 - \frac{3\lambda}{4}}{5}$

Умножим обе части на 20, чтобы избавиться от знаменателей:

$5\lambda = 4\left(1 - \frac{3\lambda}{4}\right)$

$5\lambda = 4 - 3\lambda$

$8\lambda = 4$

$\lambda = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Мы нашли, что $\lambda = \frac{1}{2}$. Это означает, что $\vec{BO} = \frac{1}{2}\vec{BM}$. Таким образом, точка O является серединой отрезка BM.

Следовательно, отношение, в котором точка O делит отрезок BM, составляет $BO:OM = \frac{1}{2} : \left(1-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} : \frac{1}{2} = 1:1$.

Ответ: 1:1.