Номер 40, страница 239 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

40. Окружность, построенная на стороне AC треугольника ABC как на диаметре, проходит через середину стороны BC и пересекает в точке D продолжение стороны AB за точку A, причём AD =$\frac{2}{3}$AB. Найдите площадь треугольника ABC, если AC = 1.

Пусть дана окружность, построенная на стороне $AC$ треугольника $ABC$ как на диаметре. Из условия известно, что $AC = 1$. Обозначим середину стороны $BC$ как точку $M$. По условию, точка $M$ лежит на этой окружности.

Поскольку $AC$ является диаметром окружности, а точка $M$ лежит на ней, то вписанный угол $\angle AMC$, опирающийся на диаметр, является прямым, то есть $\angle AMC = 90^\circ$. Таким образом, отрезок $AM$ является высотой в треугольнике $ABC$.

Также, по определению, отрезок $AM$ соединяет вершину $A$ с серединой противолежащей стороны $BC$, а значит, $AM$ — это медиана треугольника $ABC$.

Если в треугольнике медиана, проведенная к некоторой стороне, совпадает с высотой, опущенной на эту же сторону, то такой треугольник является равнобедренным. Следовательно, треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $BC$, и его боковые стороны равны: $AB = AC$.

Так как по условию $AC = 1$, то и $AB = 1$.

Далее, по условию, окружность пересекает продолжение стороны $AB$ за точку $A$ в точке $D$. Это означает, что точка $D$ также лежит на окружности с диаметром $AC$. Следовательно, вписанный угол $\angle ADC$ также опирается на диаметр и равен $90^\circ$.

Из того, что $\angle ADC = 90^\circ$, следует, что отрезок $CD$ перпендикулярен прямой $AD$. Прямая $AD$ содержит сторону $AB$ треугольника. Значит, длина отрезка $CD$ является высотой треугольника $ABC$, опущенной из вершины $C$ на прямую, содержащую сторону $AB$.

В условии сказано, что $AD = \frac{2}{3}AB$. Используя найденное значение $AB=1$, получаем длину отрезка $AD$: $AD = \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADC$. Применяя теорему Пифагора ($AC^2 = AD^2 + CD^2$), мы можем найти длину высоты $CD$:

$1^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 + CD^2$

$1 = \frac{4}{9} + CD^2$

$CD^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$CD = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

Площадь треугольника $ABC$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Возьмём в качестве основания сторону $AB$, тогда высотой будет являться отрезок $CD$.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD$

Подставляем известные значения $AB=1$ и $CD=\frac{\sqrt{5}}{3}$:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{\sqrt{5}}{6}$

Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{6}$