Номер 36, страница 239 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

36. Сторона треугольника равна 36. Прямая, параллельная этой стороне, разделяет треугольник на две равновеликие части. Найдите длину отрезка этой прямой, заключённого между сторонами треугольника.

Пусть дан треугольник $\triangle ABC$, в котором сторона $AC = 36$. Проведена прямая $MN$, параллельная стороне $AC$ ($M$ лежит на стороне $AB$, $N$ — на стороне $BC$), которая делит треугольник на две равновеликие части: малый треугольник $\triangle MBN$ и трапецию $AMNC$.

По условию, площади этих двух частей равны, то есть $S_{\triangle MBN} = S_{AMNC}$. Площадь всего треугольника $\triangle ABC$ равна сумме площадей его частей: $S_{\triangle ABC} = S_{\triangle MBN} + S_{AMNC}$. Следовательно, $S_{\triangle ABC} = 2 \cdot S_{\triangle MBN}$, откуда получаем отношение площадей: $\frac{S_{\triangle MBN}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{1}{2}$.

Поскольку прямая $MN$ параллельна стороне $AC$, то треугольник $\triangle MBN$ подобен исходному треугольнику $\triangle ABC$ (по трём углам: $\angle B$ — общий, $\angle BMN = \angle BAC$ и $\angle BNM = \angle BCA$ как соответственные).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия $k$. Коэффициент подобия, в свою очередь, равен отношению длин соответственных сторон: $\frac{S_{\triangle MBN}}{S_{\triangle ABC}} = k^2 = \left(\frac{MN}{AC}\right)^2$.

Обозначим искомую длину отрезка $MN$ через $x$. Подставим известные значения в полученное соотношение: $\frac{1}{2} = \left(\frac{x}{36}\right)^2$.

Решим это уравнение, чтобы найти $x$. Извлекая квадратный корень из обеих частей (и учитывая, что длина отрезка должна быть положительной), получаем: $\frac{x}{36} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Отсюда $x = \frac{36}{\sqrt{2}}$. Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{2}$: $x = \frac{36 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{36\sqrt{2}}{2} = 18\sqrt{2}$.

Ответ: $18\sqrt{2}$.