Номер 38, страница 239 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

38. В треугольнике ABC медиана AD и биссектриса BE перпендикулярны и пересекаются в точке F. Площадь треугольника DEF равна 5. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение

Рассмотрим треугольник $ABD$. По условию, $BE$ является биссектрисой угла $\angle ABC$, поэтому отрезок $BF$ является биссектрисой угла $\angle ABD$. Также по условию медиана $AD$ перпендикулярна биссектрисе $BE$, что означает, что $BF$ является высотой в треугольнике $ABD$, проведенной к стороне $AD$.

Если в треугольнике биссектриса, проведенная из некоторой вершины, является и высотой, то этот треугольник — равнобедренный. Следовательно, треугольник $ABD$ является равнобедренным с основанием $AD$. Отсюда следует, что его боковые стороны равны: $AB = BD$. Кроме того, в равнобедренном треугольнике высота к основанию является также и медианой, поэтому точка $F$ — середина отрезка $AD$, то есть $AF = FD$.

По условию $AD$ — медиана треугольника $ABC$, а это значит, что точка $D$ является серединой стороны $BC$. Таким образом, $BD = DC$. Сопоставляя это с полученным ранее равенством $AB = BD$, имеем $AB = BD = DC$. Отсюда следует, что длина стороны $BC$ в два раза больше длины стороны $AB$: $BC = BD + DC = 2 \cdot AB$.

Применим свойство биссектрисы угла для биссектрисы $BE$ в треугольнике $ABC$. Биссектриса делит противолежащую сторону $AC$ на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: $ \frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} $. Подставим в это соотношение найденное равенство $BC = 2 \cdot AB$: $ \frac{AE}{EC} = \frac{AB}{2 \cdot AB} = \frac{1}{2} $. Из этого соотношения следует, что $EC = 2 \cdot AE$, и вся сторона $AC$ выражается через $AE$ как $AC = AE + EC = AE + 2 \cdot AE = 3 \cdot AE$.

Теперь перейдем к вычислению площадей. По условию, площадь треугольника $DEF$ равна 5, то есть $S_{DEF} = 5$. Рассмотрим треугольник $ADE$. Поскольку $F$ — середина стороны $AD$, отрезок $EF$ является медианой треугольника $ADE$. Медиана делит треугольник на два треугольника с равными площадями. Следовательно: $ S_{AEF} = S_{DEF} = 5 $. Площадь треугольника $ADE$ равна сумме площадей этих двух треугольников: $ S_{ADE} = S_{AEF} + S_{DEF} = 5 + 5 = 10 $.

Далее найдем площадь всего треугольника $ABC$. Медиана $AD$ делит треугольник $ABC$ на два равновеликих треугольника: $S_{ABD} = S_{ADC}$. Следовательно, $S_{ABC} = 2 \cdot S_{ADC}$. Рассмотрим треугольники $ADE$ и $ADC$. У них общая высота, проведенная из вершины $D$ к прямой $AC$. Отношение их площадей равно отношению их оснований $AE$ и $AC$: $ \frac{S_{ADE}}{S_{ADC}} = \frac{AE}{AC} = \frac{AE}{3 \cdot AE} = \frac{1}{3} $. Отсюда можем выразить площадь треугольника $ADC$: $ S_{ADC} = 3 \cdot S_{ADE} = 3 \cdot 10 = 30 $. Наконец, находим площадь треугольника $ABC$: $ S_{ABC} = 2 \cdot S_{ADC} = 2 \cdot 30 = 60 $.

Ответ: 60.