Номер 32, страница 238 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

32. Окружности с центрами O₁ и O₂ касаются друг друга извне в точке C. Прямая касается этих окружностей в точках A и B, отличных от точки C. Найдите угол AO₂B, если tg ∠ABC = $\frac{1}{2}$.

Пусть $r_1$ и $r_2$ — радиусы окружностей с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ соответственно, где $A$ — точка касания на первой окружности, а $B$ — на второй. Таким образом, $O_1A = r_1$ и $O_2B = r_2$.

1. Доказательство того, что $\angle ACB = 90^\circ$

Проведем общую касательную к обеим окружностям через точку их касания $C$. Пусть эта касательная пересекает прямую $AB$ в точке $M$. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезки касательных равны. Для окружности с центром $O_1$ имеем $MA = MC$. Для окружности с центром $O_2$ имеем $MB = MC$. Следовательно, $MA = MB = MC$.

Это означает, что точка $M$ является серединой отрезка $AB$, а медиана $CM$ треугольника $ABC$ равна половине стороны $AB$, к которой она проведена. По признаку прямоугольного треугольника, треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$. Таким образом, $\angle ACB = 90^\circ$.

2. Нахождение отношения радиусов $r_1$ и $r_2$

В прямоугольном треугольнике $ABC$ тангенс угла $ABC$ равен отношению противолежащего катета $AC$ к прилежащему катету $BC$: $\text{tg}(\angle ABC) = \frac{AC}{BC}$.По условию задачи $\text{tg}(\angle ABC) = \frac{1}{2}$, следовательно, $\frac{AC}{BC} = \frac{1}{2}$.

Теперь свяжем длины катетов $AC$ и $BC$ с радиусами окружностей.По теореме об угле между касательной и хордой, угол, образованный касательной $AB$ и хордой $BC$, равен вписанному углу, опирающемуся на дугу $BC$. Центральный угол $\angle BO_2C$, опирающийся на ту же дугу, в два раза больше этого вписанного угла.Значит, $\angle BO_2C = 2 \angle ABC$.

Аналогично для первой окружности, $\angle AO_1C = 2 \angle BAC$. Поскольку $\triangle ABC$ прямоугольный, $\angle BAC = 90^\circ - \angle ABC$.Следовательно, $\angle AO_1C = 2(90^\circ - \angle ABC) = 180^\circ - 2\angle ABC$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $AO_1C$ ($O_1A=O_1C=r_1$). Угол при основании $\angle O_1CA = \frac{180^\circ - \angle AO_1C}{2} = \frac{180^\circ - (180^\circ - 2\angle ABC)}{2} = \angle ABC$.По теореме синусов в $\triangle AO_1C$:$\frac{AC}{\sin(\angle AO_1C)} = \frac{r_1}{\sin(\angle O_1CA)} \implies AC = \frac{r_1 \sin(180^\circ - 2\angle ABC)}{\sin(\angle ABC)} = \frac{r_1 \sin(2\angle ABC)}{\sin(\angle ABC)} = 2r_1\cos(\angle ABC)$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $BO_2C$ ($O_2B=O_2C=r_2$). Угол при основании $\angle O_2CB = \frac{180^\circ - \angle BO_2C}{2} = \frac{180^\circ - 2\angle ABC}{2} = 90^\circ - \angle ABC$.По теореме синусов в $\triangle BO_2C$:$\frac{BC}{\sin(\angle BO_2C)} = \frac{r_2}{\sin(\angle O_2CB)} \implies BC = \frac{r_2 \sin(2\angle ABC)}{\sin(90^\circ - \angle ABC)} = \frac{r_2 \cdot 2\sin(\angle ABC)\cos(\angle ABC)}{\cos(\angle ABC)} = 2r_2\sin(\angle ABC)$.

Теперь подставим полученные выражения для $AC$ и $BC$ в соотношение $\frac{AC}{BC} = \frac{1}{2}$:$\frac{2r_1\cos(\angle ABC)}{2r_2\sin(\angle ABC)} = \frac{1}{2}$$\frac{r_1}{r_2} \text{ctg}(\angle ABC) = \frac{1}{2}$

Так как $\text{tg}(\angle ABC) = \frac{1}{2}$, то $\text{ctg}(\angle ABC) = 2$.$\frac{r_1}{r_2} \cdot 2 = \frac{1}{2} \implies \frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{4}$.

3. Нахождение угла $AO_2B$

Рассмотрим треугольник $ABO_2$. Радиус $O_2B$ проведен в точку касания $B$, поэтому он перпендикулярен касательной $AB$. Следовательно, $\angle ABO_2 = 90^\circ$, и треугольник $ABO_2$ является прямоугольным.

В прямоугольном треугольнике $ABO_2$ тангенс угла $AO_2B$ равен отношению противолежащего катета $AB$ к прилежащему катету $O_2B$:$\text{tg}(\angle AO_2B) = \frac{AB}{O_2B}$

Длина отрезка общей внешней касательной $AB$ для двух окружностей, касающихся внешне с радиусами $r_1$ и $r_2$, вычисляется по формуле $AB = 2\sqrt{r_1 r_2}$.Подставляем это выражение и $O_2B = r_2$:$\text{tg}(\angle AO_2B) = \frac{2\sqrt{r_1 r_2}}{r_2} = 2\sqrt{\frac{r_1 r_2}{r_2^2}} = 2\sqrt{\frac{r_1}{r_2}}$.

Мы уже нашли, что $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{4}$. Подставляем это значение в формулу для тангенса:$\text{tg}(\angle AO_2B) = 2\sqrt{\frac{1}{4}} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.

Угол в прямоугольном треугольнике, тангенс которого равен 1, составляет $45^\circ$.Следовательно, $\angle AO_2B = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.