Номер 33, страница 238 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

33. Окружности радиусов 4 и 9 касаются друг друга извне, лежат по одну сторону от некоторой прямой и касаются этой прямой. Найдите радиус окружности, касающейся двух данных окружностей и данной прямой.

Обозначим радиусы данных окружностей как $R_1$ и $R_2$, а радиус искомой окружности как $r$. По условию задачи имеем $R_1 = 4$ и $R_2 = 9$. Все три окружности касаются одной и той же прямой, которую мы обозначим $l$, и лежат по одну сторону от нее.

Для начала найдем общую формулу для расстояния между точками касания двух окружностей, которые касаются друг друга и прямой $l$. Пусть две окружности с радиусами $R_a$ и $R_b$ касаются друг друга внешне, а также касаются прямой $l$ в точках $T_a$ и $T_b$. Пусть их центры — $O_a$ и $O_b$. Расстояние от центра каждой окружности до прямой $l$ равно ее радиусу.

Проведем из центра меньшей окружности (например, $O_a$) отрезок, параллельный прямой $l$, до пересечения с радиусом $O_bT_b$ в точке $P$. Образуется прямоугольный треугольник $O_aPO_b$.

В этом треугольнике:
• Гипотенуза $O_aO_b$ — это расстояние между центрами, которое равно сумме радиусов, так как окружности касаются внешне: $O_aO_b = R_a + R_b$.
• Катет $O_bP$ равен разности радиусов: $O_bP = |R_b - R_a|$.
• Катет $O_aP$ равен искомому расстоянию $d_{ab}$ между точками касания $T_a$ и $T_b$ на прямой $l$.

Применим теорему Пифагора: $(O_aP)^2 + (O_bP)^2 = (O_aO_b)^2$.
$d_{ab}^2 + (R_b - R_a)^2 = (R_a + R_b)^2$.
Выразим $d_{ab}^2$:
$d_{ab}^2 = (R_a + R_b)^2 - (R_b - R_a)^2$.
Используя формулу разности квадратов, получаем:
$d_{ab}^2 = ((R_a + R_b) - (R_b - R_a))((R_a + R_b) + (R_b - R_a)) = (2R_a)(2R_b) = 4R_aR_b$.
Отсюда, расстояние между точками касания: $d_{ab} = \sqrt{4R_aR_b} = 2\sqrt{R_aR_b}$.

Теперь вернемся к нашей задаче. Искомая окружность с радиусом $r$ касается двух данных окружностей и прямой. Расположим ее в пространстве между двумя данными окружностями. В этом случае ее точка касания $T_3$ с прямой $l$ будет лежать на отрезке между точками касания $T_1$ и $T_2$ первых двух окружностей.

Это означает, что расстояние между точками $T_1$ и $T_2$ равно сумме расстояний между $T_1$ и $T_3$, и между $T_3$ и $T_2$:
$d_{12} = d_{13} + d_{23}$.

Используя выведенную нами формулу, запишем это равенство через радиусы:
$2\sqrt{R_1R_2} = 2\sqrt{R_1r} + 2\sqrt{R_2r}$.

Сократив обе части уравнения на 2, получим:
$\sqrt{R_1R_2} = \sqrt{R_1r} + \sqrt{R_2r}$.
Вынесем $\sqrt{r}$ за скобки в правой части:
$\sqrt{R_1R_2} = \sqrt{r}(\sqrt{R_1} + \sqrt{R_2})$.

Отсюда выразим $\sqrt{r}$:
$\sqrt{r} = \frac{\sqrt{R_1R_2}}{\sqrt{R_1} + \sqrt{R_2}}$.

Подставим известные значения $R_1=4$ и $R_2=9$:
$\sqrt{r} = \frac{\sqrt{4 \cdot 9}}{\sqrt{4} + \sqrt{9}} = \frac{\sqrt{36}}{2 + 3} = \frac{6}{5}$.

Чтобы найти искомый радиус $r$, возведем полученное значение в квадрат:
$r = \left(\frac{6}{5}\right)^2 = \frac{36}{25} = 1.44$.

Ответ: $1.44$.