Номер 28, страница 238 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

16. Задачи для подготовки к ЕГЭ - номер 28, страница 238.

Условие.

28. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника со сторонами 13, 13 и 24 и расстояние между центрами этих окружностей.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 6.

Дан треугольник со сторонами $a = 13$, $b = 13$ и $c = 24$. Поскольку две стороны равны, треугольник является равнобедренным. Для нахождения радиусов и расстояния между центрами нам потребуется вычислить площадь $S$ и полупериметр $p$ треугольника.

1. Вычисление полупериметра и площади.

Полупериметр $p$ равен половине суммы длин всех сторон:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+13+24}{2} = \frac{50}{2} = 25$

Площадь $S$ найдем по формуле Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$S = \sqrt{25(25-13)(25-13)(25-24)} = \sqrt{25 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 1} = \sqrt{25 \cdot 144} = 5 \cdot 12 = 60$

Итак, площадь треугольника равна $60$.

2. Нахождение радиусов вписанной и описанной окружностей.

Радиус вписанной окружности ($r$) вычисляется по формуле:

$r = \frac{S}{p}$

Подставляем известные значения $S=60$ и $p=25$:

$r = \frac{60}{25} = \frac{12}{5} = 2.4$

Радиус описанной окружности ($R$) вычисляется по формуле:

$R = \frac{abc}{4S}$

Подставляем значения сторон и площади:

$R = \frac{13 \cdot 13 \cdot 24}{4 \cdot 60} = \frac{169 \cdot 24}{240} = \frac{169}{10} = 16.9$

Ответ: Радиус вписанной окружности равен $2.4$, а радиус описанной окружности равен $16.9$.

3. Нахождение расстояния между центрами этих окружностей.

Расстояние $d$ между центром вписанной окружности (инцентром) и центром описанной окружности (циркумцентром) находится по формуле Эйлера:

$d^2 = R(R - 2r)$

Подставляем найденные значения $R = 16.9$ и $r = 2.4$:

$d^2 = 16.9 \cdot (16.9 - 2 \cdot 2.4) = 16.9 \cdot (16.9 - 4.8) = 16.9 \cdot 12.1$

$d^2 = \frac{169}{10} \cdot \frac{121}{10} = \frac{169 \cdot 121}{100} = \frac{13^2 \cdot 11^2}{10^2}$

Теперь извлечем квадратный корень, чтобы найти $d$:

$d = \sqrt{\frac{13^2 \cdot 11^2}{10^2}} = \frac{13 \cdot 11}{10} = \frac{143}{10} = 14.3$

Ответ: Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей равно $14.3$.