Номер 24, страница 238 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

24. Прямая касается окружностей радиусов R и r в точках A и B. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно a, причём r ‹ R и r + R ‹ a. Найдите AB.

Поскольку в условии задачи не уточнено, является ли прямая внешней или внутренней касательной по отношению к окружностям, существует два возможных случая и, соответственно, два решения.

Случай 1: Прямая является внешней общей касательной

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры окружностей с радиусами $R$ и $r$ соответственно, причем по условию $R > r$. Прямая касается этих окружностей в точках A и B. Расстояние между центрами $O_1O_2 = a$.

Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательной: $O_1A \perp AB$ и $O_2B \perp AB$. Это означает, что отрезки $O_1A$ и $O_2B$ параллельны друг другу. Таким образом, четырехугольник $ABO_2O_1$ представляет собой прямоугольную трапецию с основаниями $O_1A = R$, $O_2B = r$ и высотой $AB$.

Для нахождения высоты трапеции $AB$ проведем из центра меньшей окружности $O_2$ отрезок $O_2C$, параллельный $AB$, до пересечения с радиусом $O_1A$ в точке C. В результате образуется прямоугольник $ABO_2C$, из которого следует, что $AB = CO_2$ и $AC = O_2B = r$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle O_1CO_2$. Он является прямоугольным, так как $O_2C \perp O_1A$ (поскольку $O_2C \parallel AB$ и $AB \perp O_1A$). Гипотенуза этого треугольника равна расстоянию между центрами, то есть $O_1O_2 = a$. Длины катетов: $CO_2 = AB$, а $O_1C$ можно найти как разность длин радиуса $O_1A$ и отрезка $AC$: $O_1C = O_1A - AC = R - r$.

Применим теорему Пифагора к треугольнику $\triangle O_1CO_2$:

$(O_1O_2)^2 = (O_1C)^2 + (CO_2)^2$

Подставим известные значения:

$a^2 = (R-r)^2 + AB^2$

Выразим отсюда $AB$:

$AB^2 = a^2 - (R-r)^2$

$AB = \sqrt{a^2 - (R-r)^2}$

Ответ: $AB = \sqrt{a^2 - (R-r)^2}$.

Случай 2: Прямая является внутренней общей касательной

В этом случае окружности расположены по разные стороны от касательной прямой. Как и в предыдущем случае, радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательной ($O_1A \perp AB$ и $O_2B \perp AB$), а значит, параллельны друг другу ($O_1A \parallel O_2B$).

Проведем из центра $O_2$ прямую, параллельную касательной $AB$, и продлим радиус $O_1A$ до пересечения с этой прямой в точке C. Полученный четырехугольник $ABO_2C$ является прямоугольником, поэтому $AB = CO_2$ и $AC = O_2B = r$.

Рассмотрим треугольник $\triangle O_1CO_2$. Он прямоугольный, так как $O_2C \perp O_1C$. Гипотенуза $O_1O_2$ равна $a$. Катет $CO_2$ равен искомой длине $AB$. Катет $O_1C$ равен сумме длин отрезков $O_1A$ и $AC$: $O_1C = O_1A + AC = R + r$.

Применим теорему Пифагора к треугольнику $\triangle O_1CO_2$:

$(O_1O_2)^2 = (O_1C)^2 + (CO_2)^2$

Подставим известные значения:

$a^2 = (R+r)^2 + AB^2$

Выразим отсюда $AB$:

$AB^2 = a^2 - (R+r)^2$

$AB = \sqrt{a^2 - (R+r)^2}$

Это решение возможно, поскольку по условию задачи $r+R < a$, что гарантирует, что выражение под корнем является положительным числом.

Ответ: $AB = \sqrt{a^2 - (R+r)^2}$.