Номер 19, страница 237 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

19. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности и гипотенузы делит гипотенузу на отрезки, равные 5 и 12. Найдите катеты треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник, катеты которого равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$.

По условию, точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 и 12. Следовательно, длина гипотенузы $c$ равна их сумме: $c = 5 + 12 = 17$.

Воспользуемся свойством отрезков касательных, проведенных из одной вершины к вписанной окружности: отрезки касательных от вершины до точек касания равны. Пусть $r$ — радиус вписанной окружности.

Обозначим вершины треугольника как $A$, $B$ и $C$, где $\angle C = 90^\circ$. Пусть точка касания на гипотенузе $AB$ делит ее на отрезки, примыкающие к вершинам $A$ и $B$, равные 5 и 12 соответственно. Тогда, согласно свойству касательных, отрезки касательных от вершины $A$ до точек касания на катете $AC$ и гипотенузе $AB$ равны 5. Аналогично, отрезки касательных от вершины $B$ до точек касания на катете $BC$ и гипотенузе $AB$ равны 12.

В прямоугольном треугольнике четырехугольник, образованный вершиной прямого угла $C$, центром вписанной окружности и точками касания на катетах, является квадратом со стороной, равной радиусу вписанной окружности $r$.

Таким образом, длины катетов можно выразить через $r$:

Катет $a = 12 + r$

Катет $b = 5 + r$

Применим теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:

$(12+r)^2 + (5+r)^2 = 17^2$

Раскроем скобки:

$144 + 24r + r^2 + 25 + 10r + r^2 = 289$

Приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение:

$2r^2 + 34r + 169 = 289$

$2r^2 + 34r - 120 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:

$r^2 + 17r - 60 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать дискриминант или теорему Виета. Найдем корни:

$D = 17^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 289 + 240 = 529 = 23^2$

$r_1 = \frac{-17 - 23}{2} = \frac{-40}{2} = -20$

$r_2 = \frac{-17 + 23}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Так как радиус окружности не может быть отрицательной величиной, выбираем корень $r=3$.

Теперь найдем длины катетов:

Первый катет: $a = 12 + r = 12 + 3 = 15$.

Второй катет: $b = 5 + r = 5 + 3 = 8$.

Проверим: $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$. Равенство выполняется.

Ответ: катеты треугольника равны 8 и 15.