Номер 25, страница 238 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

25. Около треугольника ABC описана окружность с центром O, угол AOC равен 60°. В треугольник ABC вписана окружность с центром M. Найдите угол AMC.

Пусть $R$ — это радиус описанной около треугольника $ABC$ окружности с центром в точке $O$. В треугольнике $AOC$ стороны $OA$ и $OC$ равны как радиусы этой окружности, то есть $OA = OC = R$. Следовательно, треугольник $AOC$ является равнобедренным.

По условию задачи, угол $\angle AOC = 60^\circ$. Равнобедренный треугольник, угол при вершине которого равен $60^\circ$, является равносторонним. Таким образом, все углы треугольника $AOC$ равны $60^\circ$, а все его стороны равны радиусу $R$. В частности, сторона $AC$ треугольника $ABC$ имеет длину $R$.

Применим теорему синусов к треугольнику $ABC$:
$\frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = 2R$

Подставим в это равенство известное нам значение $AC = R$:
$\frac{R}{\sin(\angle ABC)} = 2R$
Так как радиус $R$ не может быть равен нулю, разделим обе части уравнения на $R$:
$\frac{1}{\sin(\angle ABC)} = 2$, откуда следует, что $\sin(\angle ABC) = \frac{1}{2}$.

Поскольку угол в треугольнике должен быть больше $0^\circ$ и меньше $180^\circ$, этому условию удовлетворяют два значения угла $\angle ABC$:
1. $\angle ABC = 30^\circ$ (если угол $B$ острый).
2. $\angle ABC = 150^\circ$ (если угол $B$ тупой).
Это означает, что задача имеет два возможных решения, так как оба случая допустимы.

Далее, $M$ — это центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности. По определению, центр вписанной окружности (инцентр) является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Значит, отрезки $AM$ и $CM$ являются биссектрисами углов $\angle BAC$ и $\angle BCA$ соответственно.
То есть, $\angle MAC = \frac{1}{2}\angle BAC$ и $\angle MCA = \frac{1}{2}\angle BCA$.

Рассмотрим треугольник $AMC$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$:
$\angle AMC + \angle MAC + \angle MCA = 180^\circ$
Выразим искомый угол $\angle AMC$:
$\angle AMC = 180^\circ - (\angle MAC + \angle MCA) = 180^\circ - \left(\frac{1}{2}\angle BAC + \frac{1}{2}\angle BCA\right) = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle BAC + \angle BCA)$.

Из свойства суммы углов треугольника $ABC$ мы знаем, что $\angle BAC + \angle BCA = 180^\circ - \angle ABC$.
Подставим это выражение в формулу для $\angle AMC$:
$\angle AMC = 180^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ - \angle ABC) = 180^\circ - 90^\circ + \frac{1}{2}\angle ABC = 90^\circ + \frac{\angle ABC}{2}$.

Теперь мы можем найти численные значения угла $\angle AMC$ для каждого из двух возможных случаев.

Случай 1: $\angle ABC = 30^\circ$
Подставляем это значение в полученную формулу:
$\angle AMC = 90^\circ + \frac{30^\circ}{2} = 90^\circ + 15^\circ = 105^\circ$.

Случай 2: $\angle ABC = 150^\circ$
Подставляем это значение в формулу:
$\angle AMC = 90^\circ + \frac{150^\circ}{2} = 90^\circ + 75^\circ = 165^\circ$.

Ответ: $105^\circ$ или $165^\circ$.