Номер 29, страница 238 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

16. Задачи для подготовки к ЕГЭ - номер 29, страница 238.

Условие.

29. Окружность S₁ проходит через центр окружности S₂ и пересекает её в точках A и B. Хорда AC окружности S₁ касается окружности S₂ в точке A и делит первую окружность на дуги, градусные меры которых относятся как 5 : 7. Найдите градусные меры дуг, на которые окружность S₂ делится окружностью S₁.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 6.

1. Анализ данных о хорде AC в окружности S1

По условию, хорда AC делит окружность $S_1$ на две дуги, градусные меры которых относятся как $5:7$. Полная окружность составляет $360^\circ$.

Пусть градусные меры этих дуг равны $5x$ и $7x$. Тогда их сумма равна $360^\circ$:

$5x + 7x = 360^\circ$

$12x = 360^\circ$

$x = 30^\circ$

Следовательно, градусные меры дуг, на которые хорда AC делит окружность $S_1$, равны $5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$ и $7 \cdot 30^\circ = 210^\circ$. Градусная мера меньшей дуги AC равна $150^\circ$.

2. Использование условия касания и определение ключевых углов

Обозначим центры окружностей $S_1$ и $S_2$ как $O_1$ и $O_2$ соответственно. По условию, хорда AC окружности $S_1$ касается окружности $S_2$ в точке A. Это означает, что радиус $O_2A$ окружности $S_2$ перпендикулярен касательной AC. Таким образом, $\angle O_2AC = 90^\circ$.

Точки A, C и $O_2$ лежат на окружности $S_1$ (так как $O_2$ находится на $S_1$ по условию). Значит, треугольник $\triangle O_2AC$ вписан в окружность $S_1$. Поскольку угол $\angle O_2AC$ этого треугольника прямой, он опирается на диаметр. Следовательно, гипотенуза $O_2C$ является диаметром окружности $S_1$.

3. Нахождение углов вспомогательных треугольников

Рассмотрим треугольник $\triangle AO_1C$. Он равнобедренный, так как $O_1A = O_1C$ (радиусы окружности $S_1$). Центральный угол $\angle AO_1C$ опирается на меньшую дугу AC, градусная мера которой $150^\circ$. Таким образом, $\angle AO_1C = 150^\circ$. Углы при основании этого треугольника равны: $\angle O_1AC = \angle O_1CA = (180^\circ - 150^\circ) / 2 = 15^\circ$.

Теперь мы можем найти угол $\angle O_2AO_1$. Известно, что $\angle O_2AC = 90^\circ$ и $\angle O_1AC = 15^\circ$. Отсюда $\angle O_2AO_1 = \angle O_2AC - \angle O_1AC = 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle O_1O_2A$. В нем стороны $O_1A$ и $O_1O_2$ являются радиусами окружности $S_1$ (так как точка $O_2$ лежит на $S_1$). Значит, $\triangle O_1O_2A$ — равнобедренный с основанием $O_2A$. Углы при основании равны: $\angle O_1O_2A = \angle O_1AO_2$. Так как мы нашли, что $\angle O_1AO_2 = 75^\circ$, то и $\angle O_1O_2A = 75^\circ$.

4. Вычисление искомых градусных мер дуг

Искомые дуги — это дуги AB на окружности $S_2$. Чтобы найти их градусные меры, нужно определить величину центрального угла $\angle AO_2B$ в окружности $S_2$.

Рассмотрим треугольники $\triangle O_1O_2A$ и $\triangle O_1O_2B$. Они равны по трем сторонам (признак SSS): $O_1A = O_1B$ (как радиусы $S_1$), $O_2A = O_2B$ (как радиусы $S_2$), и $O_1O_2$ — их общая сторона.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle AO_2O_1 = \angle BO_2O_1$. Мы уже установили, что $\angle AO_2O_1 = \angle O_1O_2A = 75^\circ$. Следовательно, $\angle BO_2O_1 = 75^\circ$.

Центральный угол $\angle AO_2B$ в окружности $S_2$ равен сумме этих двух углов:

$\angle AO_2B = \angle AO_2O_1 + \angle BO_2O_1 = 75^\circ + 75^\circ = 150^\circ$.

Таким образом, градусная мера одной из дуг AB окружности $S_2$ равна $150^\circ$.

Градусная мера второй (большей) дуги AB равна $360^\circ - 150^\circ = 210^\circ$.

Ответ: Градусные меры дуг, на которые окружность $S_2$ делится окружностью $S_1$, равны $150^\circ$ и $210^\circ$.