Номер 23, страница 238 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

23. Точка O — центр окружности радиуса 2. На продолжении радиуса OM за точку M взята точка A. Через точку A проведена прямая, касающаяся окружности в точке K. Известно, что ∠AOK = 60° Найдите радиус окружности, вписанной в угол OAK и касающейся данной окружности извне.

1. Рассмотрим треугольник $OAK$. Поскольку $AK$ — касательная к окружности, проведенная в точку $K$, радиус $OK$ перпендикулярен касательной $AK$. Следовательно, $\angle OKA = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $OAK$ является прямоугольным.

2. В прямоугольном треугольнике $OAK$ нам известны катет $OK$ (радиус данной окружности), равный $2$, и угол $\angle AOK = 60^\circ$. Найдем гипотенузу $OA$ и второй катет $AK$:
$OA = \frac{OK}{\cos(\angle AOK)} = \frac{2}{\cos(60^\circ)} = \frac{2}{1/2} = 4$.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, поэтому $\angle OAK = 90^\circ - \angle AOK = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

3. Пусть искомая окружность имеет центр $O'$ и радиус $r$. По условию, эта окружность вписана в угол $OAK$. Это означает, что ее центр $O'$ лежит на биссектрисе угла $OAK$, а расстояние от центра $O'$ до сторон угла $OA$ и $AK$ равно радиусу $r$.
Угол $OAK$ равен $30^\circ$, значит, биссектриса $AO'$ делит его на два угла по $15^\circ$. То есть, $\angle OAO' = 15^\circ$.

4. Также по условию, искомая окружность касается данной окружности внешним образом. Это означает, что расстояние между их центрами $O$ и $O'$ равно сумме их радиусов: $OO' = R + r = 2 + r$.

5. Рассмотрим треугольник $AOO'$. В нем известны сторона $OA = 4$, сторона $OO' = 2+r$ и угол $\angle OAO' = 15^\circ$. Чтобы найти $r$, мы можем использовать теорему косинусов. Для этого нам нужно найти длину стороны $AO'$.
Проведем из центра $O'$ перпендикуляр $O'P$ на сторону $OA$ (где $P$ — точка касания). Длина этого перпендикуляра равна радиусу $r$, т.е. $O'P=r$. В прямоугольном треугольнике $APO'$ катет $O'P$ лежит против угла $\angle PAO' = 15^\circ$.
Следовательно, $AO' = \frac{O'P}{\sin(15^\circ)} = \frac{r}{\sin(15^\circ)}$.

6. Теперь применим теорему косинусов к треугольнику $AOO'$:
$OO'^2 = OA^2 + AO'^2 - 2 \cdot OA \cdot AO' \cdot \cos(\angle OAO')$
$(2+r)^2 = 4^2 + \left(\frac{r}{\sin(15^\circ)}\right)^2 - 2 \cdot 4 \cdot \frac{r}{\sin(15^\circ)} \cdot \cos(15^\circ)$
$4 + 4r + r^2 = 16 + \frac{r^2}{\sin^2(15^\circ)} - 8r \frac{\cos(15^\circ)}{\sin(15^\circ)}$
$4 + 4r + r^2 = 16 + \frac{r^2}{\sin^2(15^\circ)} - 8r \cdot \cot(15^\circ)$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 = 12 - 4r - 8r \cdot \cot(15^\circ) + r^2 \left(\frac{1}{\sin^2(15^\circ)} - 1\right)$
Используя тождество $\frac{1}{\sin^2\alpha} - 1 = \frac{1-\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \cot^2\alpha$, получаем квадратное уравнение относительно $r$:
$r^2 \cot^2(15^\circ) - r(8 \cot(15^\circ) + 4) + 12 = 0$

7. Решим это уравнение. Можно заметить, что $r=2$ является одним из корней. Проверим это. Для этого нам понадобится значение $\cot(15^\circ)$:
$\cot(15^\circ) = \cot(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\cot(45^\circ)\cot(30^\circ)+1}{\cot(30^\circ)-\cot(45^\circ)} = \frac{1 \cdot \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{3+2\sqrt{3}+1}{3-1} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3}$.
Подставим $r=2$ и $\cot(15^\circ) = 2+\sqrt{3}$ в уравнение:
$2^2 (2+\sqrt{3})^2 - 2(8(2+\sqrt{3}) + 4) + 12 = 0$
$4(4+4\sqrt{3}+3) - 2(16+8\sqrt{3}+4) + 12 = 0$
$4(7+4\sqrt{3}) - 2(20+8\sqrt{3}) + 12 = 0$
$28+16\sqrt{3} - 40-16\sqrt{3} + 12 = 0$
$(28-40+12) + (16\sqrt{3}-16\sqrt{3}) = 0$
$0=0$.
Таким образом, $r_1=2$ является корнем уравнения.

8. Второй корень $r_2$ найдем по теореме Виета: $r_1 r_2 = \frac{c}{a}$.
$2 \cdot r_2 = \frac{12}{\cot^2(15^\circ)}$
$r_2 = \frac{6}{\cot^2(15^\circ)} = 6 \tan^2(15^\circ)$
Найдем $\tan(15^\circ)$:
$\tan(15^\circ) = \frac{1}{\cot(15^\circ)} = \frac{1}{2+\sqrt{3}} = 2-\sqrt{3}$.
$r_2 = 6 \cdot (2-\sqrt{3})^2 = 6 \cdot (4 - 4\sqrt{3} + 3) = 6 \cdot (7 - 4\sqrt{3}) = 42 - 24\sqrt{3}$.

9. Мы получили два возможных значения для радиуса. Корень $r_1 = 2$ соответствует окружности, центр которой находится вне треугольника $OAK$. Корень $r_2 = 42 - 24\sqrt{3} \approx 42 - 24 \cdot 1.732 = 0.432$ соответствует окружности, которая расположена в углу $A$ "между" точкой $A$ и данной окружностью. Эта конфигурация обычно и подразумевается в таких задачах.

Ответ: $42 - 24\sqrt{3}$.