Номер 17, страница 237 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

17. Трапеция с основаниями 14 и 40 вписана в окружность радиуса 25. Найдите высоту трапеции.

Поскольку трапеция вписана в окружность, она является равнобедренной. Ось симметрии равнобедренной трапеции проходит через середины оснований и через центр описанной окружности. Высота трапеции — это расстояние между ее основаниями.

Пусть основания трапеции равны $a = 40$ и $b = 14$, а радиус описанной окружности $R = 25$. Проведем через центр окружности $O$ прямую, перпендикулярную основаниям. Эта прямая пересечет основания в их серединах.

Существует два возможных случая расположения оснований относительно центра окружности.

Случай 1: Центр окружности лежит между основаниями трапеции.

В этом случае высота трапеции $h$ будет равна сумме расстояний от центра окружности до каждого из оснований.

Найдем расстояние $h_1$ от центра окружности до большего основания ($a=40$). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом $R$, половиной большего основания ($a/2$) и расстоянием $h_1$. Половина большего основания равна $40 / 2 = 20$.

По теореме Пифагора: $R^2 = h_1^2 + (a/2)^2$ $25^2 = h_1^2 + 20^2$ $625 = h_1^2 + 400$ $h_1^2 = 625 - 400 = 225$ $h_1 = \sqrt{225} = 15$

Теперь найдем расстояние $h_2$ от центра окружности до меньшего основания ($b=14$). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом $R$, половиной меньшего основания ($b/2$) и расстоянием $h_2$. Половина меньшего основания равна $14 / 2 = 7$.

По теореме Пифагора: $R^2 = h_2^2 + (b/2)^2$ $25^2 = h_2^2 + 7^2$ $625 = h_2^2 + 49$ $h_2^2 = 625 - 49 = 576$ $h_2 = \sqrt{576} = 24$

Высота трапеции $h$ равна сумме этих расстояний: $h = h_1 + h_2 = 15 + 24 = 39$

Ответ: 39

Случай 2: Основания трапеции лежат по одну сторону от центра окружности.

В этом случае высота трапеции $h$ будет равна разности расстояний от центра окружности до оснований. Расстояния от центра до оснований мы уже вычислили в первом случае: $h_1 = 15$ (до большего основания) и $h_2 = 24$ (до меньшего основания).

Высота трапеции $h$ равна разности этих расстояний: $h = h_2 - h_1 = 24 - 15 = 9$

Ответ: 9