Номер 14, страница 237 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

16. Задачи для подготовки к ЕГЭ - номер 14, страница 237.

Условие.

14. Четырёхугольник ABCD — трапеция с основаниями AD и BC. Найдите AC, если AB = 27, CD = 28, BC = 5 и cos ∠BCD = -$\frac{2}{7}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 6.

Пусть $ABCD$ - данная трапеция с основаниями $AD$ и $BC$. Для решения задачи проведём из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на основание $AD$. Так как $BC \parallel AD$ и $BH \perp AD$, $CK \perp AD$, то четырёхугольник $BCKH$ является прямоугольником. Из этого следует, что $HK = BC = 5$ и высоты трапеции равны: $BH = CK$.

Поскольку основания трапеции $AD$ и $BC$ параллельны, а сторона $CD$ является секущей, сумма односторонних внутренних углов $\angle ADC$ и $\angle BCD$ равна $180^\circ$: $\angle ADC + \angle BCD = 180^\circ$. Это позволяет найти косинус угла $\angle ADC$, используя формулу приведения: $\cos \angle ADC = \cos(180^\circ - \angle BCD) = -\cos \angle BCD$. Подставляя известное значение $\cos \angle BCD = -\frac{2}{7}$: $\cos \angle ADC = -(-\frac{2}{7}) = \frac{2}{7}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CKD$. Катет $KD$ можно выразить через гипотенузу $CD = 28$ и косинус прилежащего угла $\angle KDC$ (который равен $\angle ADC$): $KD = CD \cdot \cos \angle KDC = 28 \cdot \frac{2}{7} = 8$. Высоту $CK$ найдем по теореме Пифагора: $CK^2 = CD^2 - KD^2 = 28^2 - 8^2 = 784 - 64 = 720$. $CK = \sqrt{720} = \sqrt{144 \cdot 5} = 12\sqrt{5}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. Мы знаем, что гипотенуза $AB = 27$ и катет $BH = CK = 12\sqrt{5}$. Найдем второй катет $AH$ по теореме Пифагора: $AH^2 = AB^2 - BH^2 = 27^2 - (12\sqrt{5})^2 = 729 - 720 = 9$. $AH = \sqrt{9} = 3$.

Для нахождения диагонали $AC$ воспользуемся прямоугольным треугольником $\triangle ACK$. Его катетами являются $CK$ и $AK$. Длина отрезка $AK$ складывается из длин отрезков $AH$ и $HK$: $AK = AH + HK = 3 + 5 = 8$. Применим теорему Пифагора для $\triangle ACK$: $AC^2 = AK^2 + CK^2 = 8^2 + (12\sqrt{5})^2 = 64 + 720 = 784$. Извлекая квадратный корень, получаем искомую длину диагонали $AC$: $AC = \sqrt{784} = 28$.

Ответ: 28.