Номер 11, страница 237 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

11. Средняя линия трапеции равна 4, углы при одном из оснований равны 40° и 50°. Найдите основания трапеции, если отрезок, соединяющий середины оснований, равен 1.

Обозначим основания трапеции как $a$ и $b$. Пусть $a$ - большее основание, а $b$ - меньшее.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. По условию задачи она равна 4. Это дает нам первое уравнение:
$\frac{a+b}{2} = 4$, откуда $a+b = 8$.

Углы при одном из оснований равны $40^\circ$ и $50^\circ$. В трапеции основание, прилежащее к острым углам, больше основания, прилежащего к тупым. Значит, данные углы расположены при большем основании $a$.

Продлим боковые стороны трапеции до их пересечения в точке $S$. Образуется треугольник, в котором основание $a$ является одной из сторон, а прилежащие к ней углы равны $40^\circ$ и $50^\circ$. Найдем угол при вершине $S$ этого треугольника, используя свойство о сумме углов треугольника:
$\angle S = 180^\circ - (40^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Следовательно, этот треугольник является прямоугольным, а основание $a$ — его гипотенузой.

Пусть $P$ и $Q$ — середины оснований $b$ и $a$ соответственно. По условию, отрезок $PQ$ равен 1.

Рассмотрим медиану $SQ$, проведенную из вершины прямого угла $S$ к гипотенузе $a$. Её длина равна половине гипотенузы: $SQ = \frac{a}{2}$.

Так как основания трапеции параллельны ($b \parallel a$), то меньший треугольник с основанием $b$ и вершиной $S$ подобен большему треугольнику. Он также является прямоугольным, и его медиана $SP$, проведенная к гипотенузе $b$, равна $SP = \frac{b}{2}$.

Медианы $SP$ и $SQ$ лежат на одной прямой, так как являются соответствующими элементами в подобных треугольниках. Длина отрезка $PQ$, соединяющего середины оснований, равна разности длин этих медиан (поскольку $a > b$, то $SQ > SP$):
$PQ = SQ - SP$.
Подставив известные значения, получаем второе уравнение:
$1 = \frac{a}{2} - \frac{b}{2}$, откуда $a-b=2$.

Теперь решим систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} a+b=8 \\ a-b=2 \end{cases}$

Складывая два уравнения, получаем: $(a+b) + (a-b) = 8+2$, что дает $2a = 10$, и следовательно, $a=5$.
Подставляя найденное значение $a=5$ в первое уравнение, находим $b$: $5+b=8$, следовательно, $b=3$.

Ответ: основания трапеции равны 3 и 5.