Номер 6, страница 236 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

16. Задачи для подготовки к ЕГЭ - номер 6, страница 236.

Условие.

6. В треугольнике ABC проведены высоты BM и CN, точка O — центр вписанной в треугольник окружности. Известно, что BC = 24, MN = 12. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BOC.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 6.

1. Найдем угол A треугольника ABC.

Поскольку $BM$ и $CN$ — высоты треугольника $ABC$, то $BM \perp AC$ и $CN \perp AB$. Это означает, что $\angle BNC = 90^\circ$ и $\angle BMC = 90^\circ$.

Рассмотрим четырехугольник $BCMN$. Углы $\angle BNC$ и $\angle BMC$ равны $90^\circ$ и опираются на один и тот же отрезок $BC$. Это свойство вписанного четырехугольника: если две вершины лежат по одну сторону от прямой, соединяющей две другие вершины, и отрезок между этими двумя вершинами виден из двух первых под одинаковым углом, то все четыре точки лежат на одной окружности. Следовательно, вокруг четырехугольника $BCMN$ можно описать окружность, и $BC$ будет ее диаметром.

Теперь рассмотрим треугольники $AMN$ и $ABC$. Они имеют общий угол $\angle A$. Из прямоугольного треугольника $ANC$ имеем $\cos(\angle A) = \frac{AN}{AC}$. Из прямоугольного треугольника $AMB$ имеем $\cos(\angle A) = \frac{AM}{AB}$. Отсюда следует, что $\frac{AN}{AC} = \frac{AM}{AB} = \cos(\angle A)$.

Таким образом, треугольник $AMN$ подобен треугольнику $ABC$ по второму признаку подобия (две стороны пропорциональны, и угол между ними равен). Коэффициент подобия $k$ равен $\cos(\angle A)$.

Отношение соответствующих сторон подобных треугольников равно коэффициенту подобия: $$ \frac{MN}{BC} = k = \cos(\angle A) $$

Подставим известные значения $MN = 12$ и $BC = 24$: $$ \cos(\angle A) = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} $$ Следовательно, $\angle A = 60^\circ$.

2. Найдем угол BOC.

Точка $O$ — центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности. Это означает, что $O$ является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Следовательно, $BO$ — биссектриса угла $\angle B$, и $CO$ — биссектриса угла $\angle C$. Тогда $\angle OBC = \frac{1}{2}\angle ABC$ и $\angle OCB = \frac{1}{2}\angle ACB$.

Рассмотрим сумму углов в треугольнике $BOC$: $$ \angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180^\circ $$ $$ \angle BOC = 180^\circ - (\angle OBC + \angle OCB) = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle ABC + \angle ACB) $$

Из суммы углов треугольника $ABC$ мы знаем, что $\angle ABC + \angle ACB = 180^\circ - \angle A$. Подставим это в выражение для $\angle BOC$: $$ \angle BOC = 180^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ - \angle A) = 180^\circ - 90^\circ + \frac{\angle A}{2} = 90^\circ + \frac{\angle A}{2} $$

Так как мы нашли, что $\angle A = 60^\circ$: $$ \angle BOC = 90^\circ + \frac{60^\circ}{2} = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ $$

3. Найдем радиус окружности, описанной около треугольника BOC.

Пусть $R$ — радиус окружности, описанной около треугольника $BOC$. По теореме синусов для треугольника $BOC$: $$ \frac{BC}{\sin(\angle BOC)} = 2R $$

Отсюда: $$ R = \frac{BC}{2\sin(\angle BOC)} $$

Нам известно, что $BC=24$ и $\angle BOC = 120^\circ$. Найдем синус этого угла: $$ \sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

Подставим все значения в формулу для радиуса: $$ R = \frac{24}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{24}{\sqrt{3}} $$

Избавимся от иррациональности в знаменателе: $$ R = \frac{24\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3} $$

Ответ: $8\sqrt{3}$