Номер 1, страница 236 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

1. В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB равна c и ∠ABC = α. Найдите все медианы этого треугольника.

Пусть данный прямоугольный треугольник - это $ABC$, где $\angle C = 90^\circ$. Тогда $AB$ - гипотенуза, а $AC$ и $BC$ - катеты. По условию, длина гипотенузы $AB = c$ и $\angle ABC = \alpha$.

Для нахождения медиан нам понадобятся длины катетов. Выразим их через гипотенузу $c$ и угол $\alpha$ из прямоугольного треугольника $ABC$:
Катет $AC$ (противолежащий углу $\alpha$): $AC = AB \cdot \sin(\angle ABC) = c \cdot \sin(\alpha)$.
Катет $BC$ (прилежащий к углу $\alpha$): $BC = AB \cdot \cos(\angle ABC) = c \cdot \cos(\alpha)$.

Теперь найдем длины каждой из трех медиан.

Медиана, проведенная к гипотенузе

Обозначим медиану, проведенную из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$, как $m_c$. По свойству прямоугольного треугольника, медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.

$m_c = \frac{AB}{2} = \frac{c}{2}$

Ответ: $m_c = \frac{c}{2}$

Медиана, проведенная к катету $BC$

Обозначим медиану, проведенную из вершины $A$ к катету $BC$, как $m_a$. Пусть точка $D$ - середина катета $BC$. Тогда $AD = m_a$.

Рассмотрим треугольник $ACD$. Он является прямоугольным, так как $\angle C = 90^\circ$. Его катеты - $AC$ и $CD$. Длина $CD$ равна половине длины катета $BC$:
$CD = \frac{BC}{2} = \frac{c \cdot \cos(\alpha)}{2}$

По теореме Пифагора для треугольника $ACD$:
$m_a^2 = AC^2 + CD^2$
$m_a^2 = (c \cdot \sin(\alpha))^2 + \left(\frac{c \cdot \cos(\alpha)}{2}\right)^2 = c^2\sin^2(\alpha) + \frac{c^2\cos^2(\alpha)}{4}$

Вынесем общий множитель $\frac{c^2}{4}$:
$m_a^2 = \frac{c^2}{4}(4\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha))$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, преобразуем выражение в скобках:
$4\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 3\sin^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 + 3\sin^2(\alpha)$

Таким образом:
$m_a^2 = \frac{c^2}{4}(1 + 3\sin^2(\alpha))$
$m_a = \frac{c}{2}\sqrt{1 + 3\sin^2(\alpha)}$

Ответ: $m_a = \frac{c}{2}\sqrt{1 + 3\sin^2(\alpha)}$

Медиана, проведенная к катету $AC$

Обозначим медиану, проведенную из вершины $B$ к катету $AC$, как $m_b$. Пусть точка $E$ - середина катета $AC$. Тогда $BE = m_b$.

Рассмотрим треугольник $BCE$. Он является прямоугольным ($\angle C = 90^\circ$). Его катеты - $BC$ и $CE$. Длина $CE$ равна половине длины катета $AC$:
$CE = \frac{AC}{2} = \frac{c \cdot \sin(\alpha)}{2}$

По теореме Пифагора для треугольника $BCE$:
$m_b^2 = BC^2 + CE^2$
$m_b^2 = (c \cdot \cos(\alpha))^2 + \left(\frac{c \cdot \sin(\alpha)}{2}\right)^2 = c^2\cos^2(\alpha) + \frac{c^2\sin^2(\alpha)}{4}$

Вынесем общий множитель $\frac{c^2}{4}$:
$m_b^2 = \frac{c^2}{4}(4\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha))$

Используя основное тригонометрическое тождество, преобразуем выражение в скобках:
$4\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 3\cos^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1 + 3\cos^2(\alpha)$

Таким образом:
$m_b^2 = \frac{c^2}{4}(1 + 3\cos^2(\alpha))$
$m_b = \frac{c}{2}\sqrt{1 + 3\cos^2(\alpha)}$

Ответ: $m_b = \frac{c}{2}\sqrt{1 + 3\cos^2(\alpha)}$