Номер 16, страница 236 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

16. Основание пирамиды DABC — равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = BC = 13, AC = 24. Ребро DB перпендикулярно к плоскости основания и равно 20. Найдите тангенс двугранного угла DACB.

Двугранный угол $DACB$ образован плоскостями $(ABC)$ и $(DAC)$. Общим ребром этих плоскостей является прямая $AC$. Для нахождения тангенса этого угла построим его линейный угол.

1. В плоскости основания $ABC$ проведем высоту $BH$ к стороне $AC$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$ ($AB=BC=13$), то высота $BH$ является также и медианой. Следовательно, точка $H$ делит отрезок $AC$ пополам:

$AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{24}{2} = 12$.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$ (угол $\angle BHC = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем длину катета $BH$:

$BH^2 + HC^2 = BC^2$

$BH^2 + 12^2 = 13^2$

$BH^2 + 144 = 169$

$BH^2 = 169 - 144 = 25$

$BH = \sqrt{25} = 5$.

3. По условию, ребро $DB$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$. Это значит, что $DB$ является перпендикуляром к плоскости, а отрезок $DH$ — наклонной к этой плоскости. Отрезок $BH$ является проекцией наклонной $DH$ на плоскость $(ABC)$.

4. Мы построили $BH \perp AC$. По теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной ($BH$) перпендикулярна некоторой прямой в плоскости ($AC$), то и сама наклонная ($DH$) перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $DH \perp AC$.

5. Поскольку $BH \perp AC$ и $DH \perp AC$, то угол $\angle BHD$ является линейным углом двугранного угла $DACB$.

6. Рассмотрим треугольник $DBH$. Так как $DB \perp (ABC)$, то ребро $DB$ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе и $BH$. Следовательно, $\angle DBH = 90^\circ$, и треугольник $DBH$ является прямоугольным.

7. В прямоугольном треугольнике $DBH$ тангенс угла $\angle BHD$ равен отношению противолежащего катета $DB$ к прилежащему катету $BH$:

$\text{tg}(\angle BHD) = \frac{DB}{BH}$

Подставим известные значения $DB = 20$ и $BH = 5$:

$\text{tg}(\angle BHD) = \frac{20}{5} = 4$.

Ответ: 4