Номер 9, страница 235 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

9. Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ равна 2, а диагональ боковой грани равна 5. Найдите угол между плоскостью A₁BC и плоскостью основания призмы.

Пусть дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Это означает, что основания призмы ($ABC$ и $A_1B_1C_1$) являются равносторонними треугольниками, а боковые грани ($ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$, $ACC_1A_1$) — прямоугольники, перпендикулярные основаниям.

По условию задачи, сторона основания равна $2$, то есть $AB = BC = AC = 2$. Диагональ боковой грани, например $A_1B$, равна $\sqrt{5}$.

Сначала найдем высоту призмы $h = AA_1$. Рассмотрим боковую грань $ABB_1A_1$. Это прямоугольник, а $A_1B$ — его диагональ. Треугольник $A_1AB$ является прямоугольным с гипотенузой $A_1B$. По теореме Пифагора:$A_1B^2 = AB^2 + AA_1^2$$(\sqrt{5})^2 = 2^2 + h^2$$5 = 4 + h^2$$h^2 = 1$$h = 1$Таким образом, высота призмы $AA_1 = BB_1 = CC_1 = 1$.

Нам нужно найти угол между плоскостью сечения $A_1BC$ и плоскостью основания $ABC$. Этот угол является линейным углом двугранного угла, образованного данными плоскостями. Линия пересечения этих плоскостей — прямая $BC$.

Для построения линейного угла проведем в каждой из плоскостей перпендикуляр к линии их пересечения $BC$ из одной и той же точки. Пусть $M$ — середина отрезка $BC$.

В плоскости основания $ABC$ проведем медиану $AM$. Так как треугольник $ABC$ равносторонний, медиана $AM$ также является высотой, то есть $AM \perp BC$. Длина высоты в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле $h_{\triangle} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. В нашем случае:$AM = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

В плоскости $A_1BC$ рассмотрим треугольник $A_1BC$. Найдем длины его сторон. $BC=2$. $A_1B$ и $A_1C$ являются диагоналями равных боковых граней $ABB_1A_1$ и $ACC_1A_1$. Мы знаем, что $A_1B = \sqrt{5}$. Аналогично, из прямоугольного треугольника $A_1AC$ находим $A_1C = \sqrt{AC^2 + AA_1^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$. Так как $A_1B = A_1C$, треугольник $A_1BC$ — равнобедренный с основанием $BC$.

Проведем в треугольнике $A_1BC$ медиану $A_1M$ к основанию $BC$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, $A_1M \perp BC$.

Таким образом, мы построили линейный угол двугранного угла — это угол $\angle A_1MA$. Обозначим его как $\alpha$.

Для нахождения величины угла $\alpha$ рассмотрим треугольник $A_1AM$. Так как призма правильная, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, а значит, и любой прямой в этой плоскости. Следовательно, $AA_1 \perp AM$. Это означает, что треугольник $A_1AM$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $A$.

В прямоугольном треугольнике $A_1AM$ мы знаем катеты:

• $AA_1 = h = 1$ (высота призмы)
• $AM = \sqrt{3}$ (высота основания)

Тангенс угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:$\tan(\alpha) = \frac{AA_1}{AM} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Угол, тангенс которого равен $\frac{1}{\sqrt{3}}$, составляет $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.