Номер 4, страница 235 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

4. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны длины рёбер: AA₁ = 5, AB = 12 и AD = 8. Найдите тангенс угла между плоскостью ABC и плоскостью, проходящей через точку B перпендикулярно к прямой AK, где точка K — середина ребра C₁D₁.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в точку $A(0, 0, 0)$. Направим оси координат вдоль ребер параллелепипеда: ось $Ox$ — вдоль $AB$, ось $Oy$ — вдоль $AD$, ось $Oz$ — вдоль $AA_1$.

В этой системе координат, исходя из длин ребер $AB=12$, $AD=8$, $AA_1=5$, найдем координаты необходимых нам точек:

• $A(0, 0, 0)$
• $C_1(12, 8, 5)$
• $D_1(0, 8, 5)$

Точка $K$ — середина ребра $C_1D_1$. Ее координаты равны полусумме соответствующих координат точек $C_1$ и $D_1$:$K = \left(\frac{12+0}{2}; \frac{8+8}{2}; \frac{5+5}{2}\right) = (6; 8; 5)$.

Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Найдем нормальные векторы для каждой из плоскостей.

1. Первая плоскость — это плоскость $ABC$. В нашей системе координат она совпадает с плоскостью $Oxy$. Ее уравнение $z=0$. Нормальный вектор $\vec{n_1}$ к этой плоскости коллинеарен оси $Oz$. В качестве нормального вектора можно взять вектор $\vec{n_1} = \{0; 0; 1\}$.

2. Вторая плоскость (назовем ее $\beta$) по условию проходит через точку $B$ и перпендикулярна прямой $AK$. Это означает, что вектор $\vec{AK}$ является нормальным вектором для плоскости $\beta$. Найдем его координаты:$\vec{AK} = \{6-0; 8-0; 5-0\} = \{6; 8; 5\}$.Итак, нормальный вектор второй плоскости $\vec{n_2} = \{6; 8; 5\}$.

Пусть $\varphi$ — искомый угол между плоскостью $ABC$ и плоскостью $\beta$. Косинус этого угла можно найти по формуле для угла между векторами $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$:

$\cos\varphi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов:$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 \cdot 6 + 0 \cdot 8 + 1 \cdot 5 = 5$.

Вычислим длины (модули) векторов:$|\vec{n_1}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1$$|\vec{n_2}| = \sqrt{6^2 + 8^2 + 5^2} = \sqrt{36 + 64 + 25} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$

Теперь подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:$\cos\varphi = \frac{|5|}{1 \cdot 5\sqrt{5}} = \frac{5}{5\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

Нам необходимо найти тангенс этого угла. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $1 + \text{tg}^2\varphi = \frac{1}{\cos^2\varphi}$.Сначала найдем квадрат косинуса:$\cos^2\varphi = \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 = \frac{1}{5}$.

Теперь выразим и вычислим квадрат тангенса:$\text{tg}^2\varphi = \frac{1}{\cos^2\varphi} - 1 = \frac{1}{1/5} - 1 = 5 - 1 = 4$.

Поскольку угол между плоскостями по определению является острым (от $0^\circ$ до $90^\circ$), его тангенс — величина положительная.$\text{tg}\varphi = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: 2