Номер 2, страница 235 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

2. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите косинус угла между прямой AA₁ и плоскостью BC₁D.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$ и осями, направленными вдоль ребер куба: ось $Ox$ вдоль $AB$, ось $Oy$ вдоль $AD$ и ось $Oz$ вдоль $AA_1$.

Примем длину ребра куба равной $a$. Тогда координаты вершин, необходимых для решения, будут следующими:

$A(0, 0, 0)$, $B(a, 0, 0)$, $D(0, a, 0)$, $A_1(0, 0, a)$, $C_1(a, a, a)$.

Угол $\phi$ между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Нам нужно найти косинус этого угла. Угол $\phi$ связан с углом $\theta$ между направляющим вектором прямой и вектором нормали к плоскости соотношением $\sin\phi = |\cos\theta|$.

Найдем направляющий вектор прямой $AA_1$. Так как прямая $AA_1$ проходит через точки $A(0,0,0)$ и $A_1(0,0,a)$, ее направляющий вектор:

$\vec{v} = \vec{AA_1} = (0-0, 0-0, a-0) = (0, 0, a)$.

Далее найдем вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $BC_1D$. Для этого найдем два неколлинеарных вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{DB}$ и $\vec{DC_1}$, и вычислим их векторное произведение. Координаты точек: $B(a, 0, 0)$, $D(0, a, 0)$, $C_1(a, a, a)$.

$\vec{DB} = (a-0, 0-a, 0-0) = (a, -a, 0)$.

$\vec{DC_1} = (a-0, a-a, a-0) = (a, 0, a)$.

Вектор нормали $\vec{n}$ перпендикулярен этим векторам. Найдем его как их векторное произведение:

$\vec{n} = \vec{DB} \times \vec{DC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & -a & 0 \\ a & 0 & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-a \cdot a - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(a \cdot a - 0 \cdot a) + \mathbf{k}(a \cdot 0 - (-a) \cdot a) = -a^2\mathbf{i} - a^2\mathbf{j} + a^2\mathbf{k} = (-a^2, -a^2, a^2)$.

Для удобства дальнейших вычислений можно взять любой коллинеарный вектор, например, разделив координаты $\vec{n}$ на $-a^2$ (так как $a \ne 0$). Пусть $\vec{n'} = (1, 1, -1)$.

Теперь найдем косинус угла $\theta$ между направляющим вектором прямой $\vec{v}=(0,0,a)$ и вектором нормали к плоскости $\vec{n'}=(1,1,-1)$.

$\cos\theta = \frac{\vec{v} \cdot \vec{n'}}{|\vec{v}| \cdot |\vec{n'}|} = \frac{(0)(1) + (0)(1) + (a)(-1)}{\sqrt{0^2+0^2+a^2} \cdot \sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}} = \frac{-a}{\sqrt{a^2} \cdot \sqrt{3}} = \frac{-a}{a\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Синус угла $\phi$ между прямой и плоскостью равен модулю косинуса угла между направляющим вектором прямой и вектором нормали к плоскости:

$\sin\phi = |\cos\theta| = |-\frac{1}{\sqrt{3}}| = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Мы ищем $\cos\phi$. По основному тригонометрическому тождеству $\sin^2\phi + \cos^2\phi = 1$. Угол между прямой и плоскостью по определению находится в пределах от $0$ до $90^\circ$, то есть $0 \le \phi \le \frac{\pi}{2}$, поэтому его косинус является неотрицательной величиной.

$\cos^2\phi = 1 - \sin^2\phi = 1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

$\cos\phi = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{3}$.